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第3章 抛体运动
第3章 抛体运动
同时
实际运动
合运动
分运动
独立进行
互不影响
分运动
合运动
合运动
分运动
逆过程
速度
位移
加速度
相加
相减
平行四边形
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人
第3章
抛体运动
DI SAN ZHANG
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
R
30°
d
C
0
A
第1节 运动的合成与分解
[随堂检测][学生用书P43]
1．关于运动的合成和分解，以下说法中正确的是( )
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
C．合运动和分运动具有等时性
D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析：选C.速度是矢量，合运动速度与分运动速度遵循平行四边形定则，故合运动的速度大小不一定等于分运动的速度大小之和，故选项A错误；速度是矢量，合运动速度与分运动速度遵循平行四边形定则，合速度可以等于、大于、小于分速度，故选项B错误；合运动和分运动同时发生，具有等时性，故选项C正确；合运动是曲线运动，分运动可能都是直线运动，如平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是自由落体运动，都是直线运动，故选项D错误．
2．某船在静水中的航行速度v1＝5 m/s，要渡过d＝50 m宽的河，河水的流速v2＝3 m/s.下列说法正确的是( )
A．该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸
B．该船渡河最小速率是4 m/s
C．河水的流速越大，渡河的时间越长
D．该船渡河所用时间至少是10 s
解析：选D.由于船在静水中的速度大于水流速度，只要船头偏向上游，船在静水中速度的平行河岸分量等于3 m/s，船就沿垂直于河岸的航线抵达对岸，选项A错误；船参与了两个分运动，相对于水的速度和顺着水流的速度，两个分速度的夹角越大，合速度越小，故最小合速度为v＝(5－3)m/s＝2 m/s，选项B错误；渡河时间取决于船垂直河岸方向的分速度，与水流速度无关，选项C错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为t＝＝10 s，选项D正确．
3．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析：选D.以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．
4．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图(a)(b)所示，求：
(1)物体所受的合力；
(2)物体的初速度；
(3)t＝8 s时物体的速度；
(4)t＝4 s内物体的位移．
解析：(1)物体在x方向：ax＝0；
y方向：ay＝＝0.5 m/s2
根据牛顿第二定律：F合＝may＝1 N，
方向沿y轴正方向．
(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，则物体的初速度为v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(3)由题图知，t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的合速度为v＝eq \r(v＋v)＝5 m/s，tan θ＝，θ＝53°，即速度方向与x轴正方向的夹角为53°.
(4)t＝4 s内，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m
物体的位移l＝≈12.6 m
tan α＝＝，所以α＝arctan
即方向与x轴正方向的夹角为arctan .
答案：(1)1 N，方向沿y轴正方向
(2)3 m/s，方向沿x轴正方向
(3)5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为53°
(4)12.6 m，方向与x轴正方向的夹角为arctan
[课时作业][学生用书P113(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列有关两个分运动的合运动，说法正确的是( )
A．合速度总是大于分速度
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．2 m/s与7 m/s的合速度可能是4 m/s
解析：选C.由平行四边形定则知，分速度(邻边)有可能大于合速度(对角线)，也可能等于合速度，还可能小于合速度，故选项A错误．两个匀变速直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，故选项B错误．由于合运动是物体的实际运动，因此合运动的方向就是物体实际运动的方向，故选项C正确．速度为2 m/s与7 m/s的合速度最大值为9 m/s，最小值为5 m/s，而4 m/s小于5 m/s，故选项D错误．
2．降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
解析：选D.降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，不会影响其竖直方向的运动，所以其下落时间不会变化，A、B错；风速越大，则降落伞水平方向的速度越大，于是落地时速度越大，C错、D对．
3．质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合力，则图中可能正确的是( )
解析：选D.做曲线运动的物体，其速度方向就是曲线上那一点的切线方向，曲线运动的轨迹向合力的方向弯曲，而合力的方向就是加速度的方向，故只有D项正确．
4．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.eq \f(dv2,\r(v－v)) B．0
C. D.
解析：选C.
根据题意画出示意图，如图所示，图中B为摩托艇登陆地点．要在最短时间内将人送上岸，v2应垂直河岸，由几何关系有
OB＝OA·tan θ＝dtan θ
而tan θ＝
故OB＝.
5.
如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A.橡皮同时参与了两个方向上的运动，水平方向上向右的匀速运动和竖直方向上向上的匀速运动，且两个方向上的速度大小相同，故橡皮的速度v＝v笔，与水平方向夹角为α，且tan α＝1，故选项A正确．
6.
如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
A．vsin α B.
C．vcos α D.
解析：选C.根据人拉绳产生的效果把人的速度v沿着绳子方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，其中v1＝vcos α，所以船的速度等于vcos α，因此选项C正确．
二、多项选择题
7.
如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做直线运动，则下列说法正确的是( )
A．若玻璃管匀速运动，则蜡块的轨迹可能为直线P
B．若玻璃管匀速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线R
C．若玻璃管匀加速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线Q
D．若玻璃管匀加速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线R
解析：选AC.若玻璃管做匀速运动，红蜡块的两个分运动都为匀速直线运动，红蜡块所受合力为零，红蜡块做直线运动，所以轨迹可能为直线P，若玻璃管做匀加速运动，则红蜡块所受合力方向向右，指向轨迹的凹侧，所以轨迹可能为Q，故A、C正确，B、D错误．
8.
如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的( )
A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间
B．速度大小一定不小于A、B的速度大小
C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内
解析：选BC.根据题述“C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等”可知，C的速度大小一定不小于A、B的速度大小，选项A错误、B正确．因为C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，速度方向不一定在CA和CB的夹角范围内，以A为参照系，此时的C船是以A为圆心做圆周运动，即速度方向垂直于AC，∠ACB小于90°的情况下，C的速度方向在ACB夹角之外，选项C正确、D错误．
9．在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述中正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC.
物体原来所受合外力为零，当将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°后其受力如图所示，其中F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，故物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2，且恒定．又F与v的夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动．选项B、C正确．
10.
在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做匀变速运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at
D．t时间内猴子对地的位移大小为
解析：选BD.猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，这两个分运动的合运动是匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；速度和位移的合成均遵循平行四边形定则，所以t时刻的速度v＝eq \r(v＋（at）2)，t时间内的位移s＝，故选项C错误，D正确．
三、非选择题
11.
如图为某直升机空投救援物资时，可以停留在离地面100 m的空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1 m/s的速度匀速水平向北运动，求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．
解析：
如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．所以t＝＝ s＝20 s.
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝ m/s.
(3)物资水平方向移动的距离为
s＝vxt＝1×20 m＝20 m.
答案：(1)20 s (2) m/s (3)20 m
12.
如图所示，河宽d＝100 m，设河水的流速为v1，船在静水中的速度为v2，小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动，若出发时船头指向河对岸的上游B点处，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点，若出发时船头指向河正对岸的C点，经过 8 min 小船到达C点下游的D点处，求：
(1)船在静水中的速度v2的大小；
(2)河水流速v1的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离CD.
解析：(1)当船头正对C点航行时，所用时间最短，由t2＝得v2＝＝ m/s≈0.208 m/s.
(2)设AB与上游河岸成α角，由题知船头正对B点航行，正好到达对岸C点，航程最短，如图所示．
由图知cos α＝
渡河时间t1＝eq \f(d,\r(v－v))
即10×60＝eq \f(100,\r(（d/t2）2－v))，解得v1＝0.125 m/s.
(3)在第二次渡河中，由运动的独立性和等时性得
＝v1t2＝0.125×8×60 m＝60 m.
答案：(1)0.208 m/s (2)0.125 m/s (3)60 m
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1
第1节 运动的合成与分解
1.理解运动的独立性、合运动与分运动． 2.掌握运动的合成与分解的方法——平行四边形定则．
3．会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题．
[学生用书P40]
一、运动的独立性
1．分运动与合运动：如果一个物体同时参与几个运动，那么这个物体的实际运动叫做合运动，参与的几个运动叫做这个合运动的分运动．
2．运动的独立性：一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不因为有其他分运动而有所改变，即两个分运动独立进行，互不影响，这就是运动的独立性．
一个物体同时参与几个运动，合运动的速度、位移与每个分运动的速度、位移大小有何关系？
提示：合运动的速度、位移可能小于、等于或大于每个分运动的速度、位移．
二、运动合成与分解的方法
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程．
(2)运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程．
结论：运动的合成与分解互为逆过程．
2．运动的合成与分解包括速度、位移、加速度三个矢量的合成与分解．
(1)两分运动在同一直线上，同向相加，反向相减．
(2)不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成或分解．
(1)合速度就是两分速度的代数和．( )
(2)合位移一定大于任意一个分位移．( )
(3)运动的合成就是把两个分运动加起来．( )
提示：(1)× (2)× (3)×
合运动与分运动关系的理解[学生用书P40]
1．合运动的判定：在一个具体运动中，物体的实际运动是合运动，合运动往往是物体相对于静止地面的运动．
2．分运动与合运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同作用效果与合运动的作用效果相同．
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束．
(3)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响．
在解决此类问题时，要深刻理解“等效性”；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性”；放心大胆地在两个方向上分别研究．
3．运动的合成与分解的方法
运动的合成与分解实际上包括位移、速度和加速度的合成与分解．由于这些量都是矢量，因此运动的合成与分解遵循矢量的运算法则——平行四边形定则．
(1)若两个分运动在同一直线上，对它们进行合成或分解的方法是选取正方向并确定各矢量的正负号，再进行代数运算．
(2)若两个分运动不在同一直线上(互成角度)，则合成与分解应按照平行四边形定则进行运算．如图所示．
在进行运动的分解时，往往根据物体运动的实际效果进行分解，从而确定运动分解的方向．
命题视角1 能量守恒定律的应用
关于运动的合成的说法中，正确的是( )
A．合运动的位移等于分运动位移的矢量和
B．合运动的时间等于分运动时间之和
C．合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度
D．合运动的速度方向与合运动的位移方向相同
[解析] 位移是矢量，合成遵循平行四边形定则，合运动的位移为分运动位移的矢量和，故选项A正确；合运动与分运动具有等时性，合运动的时间等于分运动的时间，故选项B错误；根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故选项C错误；如果是曲线运动，速度方向是轨迹的切线方向，位移方向从起点指向终点，故选项D错误．
[答案] A
命题视角2 合运动、分运动的计算
竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮．现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速移动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角．如图所示，若玻璃管的长度为1.0 m，则可知玻璃管水平方向的移动速度和水平移动的距离各为多大？
[解题探究] (1)玻璃管运动时间和蜡块的运动时间有什么关系？
(2)蜡块的运动时间受玻璃管水平运动的影响吗？
[解析] 玻璃管运动的水平速度
v水平＝v竖直cot 30°＝0.1× m/s≈0.17 m/s
玻璃管运动的时间等于红蜡块运动的时间，即
t＝＝ s＝10 s
故玻璃管水平移动的距离
x＝v水平t＝0.17×10 m＝1.7 m.
[答案] 0.17 m/s 1.7 m
物体运动性质及轨迹的判断[学生用书P41]
1．根据合加速度是否变化判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度大小或方向发生变化，则为非匀变速运动．
2．根据合加速度与合初速度是否共线判定合运动是直线运动还是曲线运动：若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动．
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．
(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动．当合加速度与合初速度方向共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
(3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动．
(4)两个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动．若合初速度与合加速度在同一直线上，即＝，则合运动为匀变速直线运动，如图甲所示；不共线时为匀变速曲线运动，如图乙所示．
命题视角1 物体运动性质的判断
(多选)互成角度α(α≠0，α≠180°)的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动( )
A．有可能是直线运动
B．一定是曲线运动
C．有可能是匀速运动
D．一定是匀变速运动
[解析] 如图所示，设匀速直线运动的速度为v1，匀变速直线运动的速度为v2，加速度为a，则合运动的速度v等于v1与v2的矢量和，合运动的加速度仍为a.由于v与a之间有夹角θ(θ≠0，θ≠180°)，故合运动为曲线运动，选项B正确．由于合运动的加速度a是恒量，故合运动是匀变速运动，选项D正确．该题的正确选项为B、D.
[答案] BD
命题视角2 运动轨迹的判断
小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是__________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
[解析] 因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
[答案] b c 不在
做曲线运动的物体，总是要受到与运动方向不在同一直线上的力的作用，使其运动轨迹发生改变，其改变后的轨迹处在一定范围之内：运动方向与合外力方向构成的夹角之间．
小船渡河问题[学生用书P42]
1．渡河时间最短问题
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，此时t短＝，此时船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝.
2．渡河位移最短问题(v水＜v船)
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．
小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
[解题探究] (1)小船渡河问题中有哪几个速度？怎样区分合速度与分速度？
(2)合运动与分运动间有何特点？
[解析] (1)小船参与了两个分运动，即船随水流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河时间等于垂直河岸的分运动的时间，即
t＝＝ s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m，即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，即合速度v应垂直于河岸，如图所示，则cos θ＝＝＝，θ＝60°，即船的航向与上游河岸成60°角．
渡河时间t＝＝ s＝ s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ′，如图所示．船的渡河时间决定于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ′，故小船渡河时间为t＝＝ s，当θ′＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
[答案] 见解析
(1)小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，小船自身动力带来的运动和随水下漂的运动是小船的两个分运动．
(2)小船渡河时间与水速无关．
(3)小船渡河的最短位移取决于船在静水中的速度v1和水流速度v2的大小关系．
1.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡河所用时间t2＝eq \f(d,\r(v－v2)) .由题意知＝k，联立以上各式得v0＝，选项B正确，选项A、C、D错误．
“关联”速度的分解模型[学生用书P42]
如图所示，在水平地面上匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2.已知v1＝v，求：
(1)两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小；
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3)绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？
[解析]
(1)将汽车的运动依据实际效果分解为沿绳方向的运动和垂直于绳方向的运动，如图所示，有v′2＝v1sin θ，又v1＝v，所以v′2＝vsin θ，因v2＝v′2，则物体上升的速度大小为vsin θ.
(2)依据v2＝vsin θ可知，当汽车向左匀速直线运动时，角度θ变大，因此绳的运动速度变大，物体将加速向上运动，即加速上升．
(3)物体加速上升，物体所受合外力的方向竖直向上，而物体受重力和拉力的作用，显然拉力F大于物体的重力mg.
[答案] (1)vsin θ (2)加速上升 (3)拉力F大于重力mg
1．“关联”速度
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．如图所示．
2．规律
(1)物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定．
(2)沿绳(或杆)方向的分速度大小相等．
3．速度分解的方法(求解方法)
为了解题方便，通常将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等列方程求解．
2．人用绳子通过光滑定滑轮拉静止在地面上的物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当人以速度v竖直向下匀速拉绳使质量为m的物体A，上升高度h后到达如图所示位置，此时绳与竖直杆的夹角为θ.已知重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．此时物体A的速度为
B．此时物体A的速度为vcos θ
C．该过程中绳对物体A做的功为mgh＋mv2
D．该过程中绳对物体A做的功为mgh＋mv2cos2θ
解析：选A.
将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，如图所示，拉绳子的速度等于A沿绳子方向的分速度，根据平行四边形定则得，实际速度vA＝，故选项A正确，选项B错误；在A上升的过程中根据动能定理有－mgh＋W＝mv－0，即绳对A做的功为W＝mgh＋m，故选项C、D错误．
[随堂检测][学生用书P43]
1．关于运动的合成和分解，以下说法中正确的是( )
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
C．合运动和分运动具有等时性
D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析：选C.速度是矢量，合运动速度与分运动速度遵循平行四边形定则，故合运动的速度大小不一定等于分运动的速度大小之和，故选项A错误；速度是矢量，合运动速度与分运动速度遵循平行四边形定则，合速度可以等于、大于、小于分速度，故选项B错误；合运动和分运动同时发生，具有等时性，故选项C正确；合运动是曲线运动，分运动可能都是直线运动，如平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是自由落体运动，都是直线运动，故选项D错误．
2．某船在静水中的航行速度v1＝5 m/s，要渡过d＝50 m宽的河，河水的流速v2＝3 m/s.下列说法正确的是( )
A．该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸
B．该船渡河最小速率是4 m/s
C．河水的流速越大，渡河的时间越长
D．该船渡河所用时间至少是10 s
解析：选D.由于船在静水中的速度大于水流速度，只要船头偏向上游，船在静水中速度的平行河岸分量等于3 m/s，船就沿垂直于河岸的航线抵达对岸，选项A错误；船参与了两个分运动，相对于水的速度和顺着水流的速度，两个分速度的夹角越大，合速度越小，故最小合速度为v＝(5－3)m/s＝2 m/s，选项B错误；渡河时间取决于船垂直河岸方向的分速度，与水流速度无关，选项C错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为t＝＝10 s，选项D正确．
3．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析：选D.以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．
4．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图(a)(b)所示，求：
(1)物体所受的合力；
(2)物体的初速度；
(3)t＝8 s时物体的速度；
(4)t＝4 s内物体的位移．
解析：(1)物体在x方向：ax＝0；
y方向：ay＝＝0.5 m/s2
根据牛顿第二定律：F合＝may＝1 N，
方向沿y轴正方向．
(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，则物体的初速度为v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(3)由题图知，t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的合速度为v＝eq \r(v＋v)＝5 m/s，tan θ＝，θ＝53°，即速度方向与x轴正方向的夹角为53°.
(4)t＝4 s内，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m
物体的位移l＝≈12.6 m
tan α＝＝，所以α＝arctan
即方向与x轴正方向的夹角为arctan .
答案：(1)1 N，方向沿y轴正方向
(2)3 m/s，方向沿x轴正方向
(3)5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为53°
(4)12.6 m，方向与x轴正方向的夹角为arctan
[课时作业][学生用书P113(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列有关两个分运动的合运动，说法正确的是( )
A．合速度总是大于分速度
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．2 m/s与7 m/s的合速度可能是4 m/s
解析：选C.由平行四边形定则知，分速度(邻边)有可能大于合速度(对角线)，也可能等于合速度，还可能小于合速度，故选项A错误．两个匀变速直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，故选项B错误．由于合运动是物体的实际运动，因此合运动的方向就是物体实际运动的方向，故选项C正确．速度为2 m/s与7 m/s的合速度最大值为9 m/s，最小值为5 m/s，而4 m/s小于5 m/s，故选项D错误．
2．降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
解析：选D.降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，不会影响其竖直方向的运动，所以其下落时间不会变化，A、B错；风速越大，则降落伞水平方向的速度越大，于是落地时速度越大，C错、D对．
3．质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合力，则图中可能正确的是( )
解析：选D.做曲线运动的物体，其速度方向就是曲线上那一点的切线方向，曲线运动的轨迹向合力的方向弯曲，而合力的方向就是加速度的方向，故只有D项正确．
4．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.eq \f(dv2,\r(v－v)) B．0
C. D.
解析：选C.
根据题意画出示意图，如图所示，图中B为摩托艇登陆地点．要在最短时间内将人送上岸，v2应垂直河岸，由几何关系有
OB＝OA·tan θ＝dtan θ
而tan θ＝
故OB＝.
5.
如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A.橡皮同时参与了两个方向上的运动，水平方向上向右的匀速运动和竖直方向上向上的匀速运动，且两个方向上的速度大小相同，故橡皮的速度v＝v笔，与水平方向夹角为α，且tan α＝1，故选项A正确．
6.
如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
A．vsin α B.
C．vcos α D.
解析：选C.根据人拉绳产生的效果把人的速度v沿着绳子方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，其中v1＝vcos α，所以船的速度等于vcos α，因此选项C正确．
二、多项选择题
7.
如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做直线运动，则下列说法正确的是( )
A．若玻璃管匀速运动，则蜡块的轨迹可能为直线P
B．若玻璃管匀速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线R
C．若玻璃管匀加速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线Q
D．若玻璃管匀加速运动，则蜡块的轨迹可能为曲线R
解析：选AC.若玻璃管做匀速运动，红蜡块的两个分运动都为匀速直线运动，红蜡块所受合力为零，红蜡块做直线运动，所以轨迹可能为直线P，若玻璃管做匀加速运动，则红蜡块所受合力方向向右，指向轨迹的凹侧，所以轨迹可能为Q，故A、C正确，B、D错误．
8.
如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的( )
A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间
B．速度大小一定不小于A、B的速度大小
C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内
解析：选BC.根据题述“C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等”可知，C的速度大小一定不小于A、B的速度大小，选项A错误、B正确．因为C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，速度方向不一定在CA和CB的夹角范围内，以A为参照系，此时的C船是以A为圆心做圆周运动，即速度方向垂直于AC，∠ACB小于90°的情况下，C的速度方向在ACB夹角之外，选项C正确、D错误．
9．在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述中正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC.
物体原来所受合外力为零，当将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°后其受力如图所示，其中F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，故物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2，且恒定．又F与v的夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动．选项B、C正确．
10.
在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做匀变速运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at
D．t时间内猴子对地的位移大小为
解析：选BD.猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，这两个分运动的合运动是匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；速度和位移的合成均遵循平行四边形定则，所以t时刻的速度v＝eq \r(v＋（at）2)，t时间内的位移s＝，故选项C错误，D正确．
三、非选择题
11.
如图为某直升机空投救援物资时，可以停留在离地面100 m的空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1 m/s的速度匀速水平向北运动，求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．
解析：
如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．所以t＝＝ s＝20 s.
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝ m/s.
(3)物资水平方向移动的距离为
s＝vxt＝1×20 m＝20 m.
答案：(1)20 s (2) m/s (3)20 m
12.
如图所示，河宽d＝100 m，设河水的流速为v1，船在静水中的速度为v2，小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动，若出发时船头指向河对岸的上游B点处，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点，若出发时船头指向河正对岸的C点，经过 8 min 小船到达C点下游的D点处，求：
(1)船在静水中的速度v2的大小；
(2)河水流速v1的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离CD.
解析：(1)当船头正对C点航行时，所用时间最短，由t2＝得v2＝＝ m/s≈0.208 m/s.
(2)设AB与上游河岸成α角，由题知船头正对B点航行，正好到达对岸C点，航程最短，如图所示．
由图知cos α＝
渡河时间t1＝eq \f(d,\r(v－v))
即10×60＝eq \f(100,\r(（d/t2）2－v))，解得v1＝0.125 m/s.
(3)在第二次渡河中，由运动的独立性和等时性得
＝v1t2＝0.125×8×60 m＝60 m.
答案：(1)0.208 m/s (2)0.125 m/s (3)60 m
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