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第4章 匀速圆周运动
第4章 匀速圆周运动
弧长s
时间t
比值
时间t
比值
rad/s
时间
次数
转动次数
rω
v∝ω
v∝r
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人
第4章
匀速圆周运动
DI SI ZHANG
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
第1节 匀速圆周运动快慢的描述
[随堂检测][学生用书P59]
1．下列关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种平衡状态
B．匀速圆周运动是一种匀速运动
C．匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动是一种速度大小不变的运动
解析：选D.匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻改变，选项D正确．
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：选D.由v＝rω，得ω＝，显然只有当半径r一定时，角速度与线速度才成正比，故A错．由v＝，得T＝，只有当半径r一定时，周期与线速度才成反比，故B错．由ω＝，得线速度一定时，角速度与半径成反比，故C错．由ω＝，得T＝，显然周期与角速度成反比，角速度大的周期一定小，故D对．
3．甲沿着半径为R的圆形跑道匀速跑步，乙沿半径为2R的圆形跑道匀速跑步，在相同时间内，甲、乙各跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：选C.甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝，则角速度相同，即ω1＝ω2；又因v＝ωR，所以线速度之比v1∶v2＝R1∶R2＝1∶2，即v1＜v2.故选项C正确．
4．(多选)变速自行车靠变速齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选BC.由题意知，当A轮通过链条分别与C、D连接时，自行车有两种速度，当B轮分别与C、D连接时，又有两种速度，所以该车可变换四种挡位，选项B正确；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C正确．
5.
如图所示，直径为d的圆纸筒，以角速度ω绕O轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且Oa、Ob间的夹角为α，则子弹的速度为多少？
解析：子弹通过圆纸筒做匀速直线运动的时间为t1＝，两个弹孔与圆心连线夹角等于α的条件是在相同时间内圆纸筒转过的角度φ＝(2n＋1)π－α，则由角速度定义可知时间t2＝＝(n＝0，1，2，3…)．
由于子弹做匀速直线运动和圆纸筒做圆周运动具有等时性，所以＝(n＝0，1，2，3…)，得子弹的速度为v＝(n＝0，1，2，3…)．
答案：(n＝0，1，2，3…)
[课时作业][学生用书P122(单独成册)]
一、单项选择题
1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中改变的是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．转速
解析：选A.速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上A正确．
2．做匀速圆周运动的物体( )
A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s转过30°，则角速度为 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝
解析：选D.线速度v＝，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向在不断地改变，故不能说v恒定，选项A错误；角速度ω＝，反映质点与圆心连线转动的快慢，国际单位为rad/s，B中ω＝ rad/s＝ rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r，选项C错误；物体转动一周的时间为T，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v＝，ω＝，也可得到v＝ωr，选项D正确．
3.
如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个小木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度不相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
解析：选C.由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项C正确．
4．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.靠摩擦传动的轮子边缘的线速度大小相等，故v1＝v2＝v3，而v1＝ω1r1，v3＝ω3r3，所以ω3＝，A正确．
5．某一型号的电动滚轮铭牌上标有“120 r/min”等额定参数，由此可知( )
A．滚轮正常转动时的转速为2 r/s
B．滚轮正常转动的周期为2 s
C．滚轮正常转动的频率为120 Hz
D．以上说法都对
解析：选A.铭牌上所标注的参数即为正常转动的转速n.单位换算n＝120 r/min＝2 r/s，选项A正确；由转速n可知滚轮每秒转动2圈，则周期T＝ s＝0.5 s，选项B错误；而转动频率f＝＝ Hz＝2 Hz，选项C错误．
6．甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为3∶1
解析：选A.由题意可得：v＝rω，所以r＝，r甲∶r乙＝∶＝2∶9，A对，B错；T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，C、D错．
二、多项选择题
7．图示为自行车的传动装置示意图，A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中( )
A．B、C两点的线速度相同
B．A、B两点的线速度相同
C．A、B两点的角速度与对应的半径成正比
D．B、C两点的线速度与对应的半径成正比
解析：选BD.大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A、B两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B正确，C错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B、C两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A错误，D正确．
8．一小球沿半径为2 m的轨道做匀速圆周运动，若周期为π s，则( )
A．小球的线速度是4 m/s
B．经过 s，小球的位移大小是π m
C．经过 s，小球转过的圆心角为 rad
D．以上说法均不正确
解析：选AC.由ω＝得ω＝ rad/s＝2 rad/s，则v＝rω＝2×2 m/s＝4 m/s.经过t＝ s，小球转过的角度φ＝ωt＝2× rad＝ rad，则位移大小为r＝2 m，故选项A、C正确．
9．一走时准确的钟表，时针、分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法，正确的是( )
A．分针的周期是秒针周期的60倍
B．分针的角速度是秒针角速度的60倍
C．时针的周期是分针周期的12倍
D．时针的角速度是分针角速度的12倍
解析：选AC.秒针转动一周时间T1＝1 min＝60 s，分针转动一周时间T2＝1 h＝60 min＝3 600 s，时针转动一周时间T3＝12 h＝43 200 s，所以T2∶T1＝60∶1，A对．T3∶T2＝12∶1，C对．ω2∶ω1＝T1∶T2＝1∶60，B错．ω3∶ω2＝T2∶T3＝1∶12，D错．
三、非选择题
10.
半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距O的高度h＝________，圆盘转动的角速度大小ω＝________．
解析：小球做平抛运动，在竖直方向h＝gt2①
在水平方向R＝vt②
由①②两式可得h＝③
小球落在A点的过程中，OA转过的角度
θ＝2nπ＝ωt(n＝1，2，3，…)④
由②④两式得ω＝(n＝1，2，3，…)．
答案： (n＝1，2，3，…)
11.
一物体沿半径为40 m的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动，速度为10 m/s，在A点运动方向为正北，经周期运动至B点，在B点运动方向为正东，如图所示，求：
(1)物体从A到B的过程中路程和位移的大小；
(2)物体运动的周期和角速度的大小．
解析：(1)路程l＝×2πr＝20π m≈62.8 m，
位移大小s＝r＝40 m≈56.6 m.
(2)周期T＝＝ s≈25.1 s，
角速度ω＝＝ rad/s＝0.25 rad/s.
答案：(1)62.8 m 56.6 m
(2)25.1 s 0.25 rad/s
12．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度；
(2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径．
解析：(1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝＝2nπ≈2××3.14 rad/s＝3.14 rad/s.
(2)由v＝rω，得女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径r＝＝ m≈1.5 m.
答案：(1)3.14 rad/s (2)1.5 m
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第1节 匀速圆周运动快慢的描述
1.知道匀速圆周运动的概念及特点． 2.理解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念，会用公式进行计算．
3．理解线速度、角速度、周期之间的关系．
[学生用书P56]
一、描述匀速圆周运动的物理量
定义 大小 国际单位(符号)
线速度 做匀速圆周运动的物体通过的弧长s跟所用时间t的比值 v＝ 米每秒(m/s)
角速度 做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度φ 跟所用时间t的比值 ω＝ 弧度每秒(rad/s)
周期 周期性运动每重复一次所需要的时间 T＝＝ 秒(s)
频率 单位时间内运动重复的次数 f＝ 赫兹(Hz)
转速 转速是单位时间内的转动次数 n＝f＝ 转每秒(r/s)
若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，
分针的周期T分＝1 h＝3 600 s.
由ω＝＝得＝＝.
二、线速度、角速度、周期的关系
1．线速度与角速度的关系：物体以半径r做圆周运动，在时间T内通过的弧长为2πr，半径转过的角度为2π，线速度v＝，角速度ω＝，所以v＝rω．当r一定时，v∝ω；当ω一定时，v∝r；当v一定时，ω∝．
2．线速度与周期或频率的关系
设做匀速圆周运动的物体，半径为r，在一个周期内通过的弧长为2πr，因此有v＝＝2πf·r．
当r一定时，v∝或v∝f．
3．角速度与周期或频率的关系
做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为2π，则有ω＝＝2πf．
角速度与周期一定成反比，与频率一定成正比，即ω∝或ω∝f．
(1)由公式ω＝可知，做圆周运动半径大的物体，角速度一定小．( )
(2)飞轮转动的角速度越大，轮上同一点的线速度也越大．( )
(3)由公式r＝可知，物体转动的半径与它的线速度大小成正比．( )
提示：(1)× (2)√ (3)×
对圆周运动及其物理量的理解[学生用书P57]
1．匀速圆周运动的特点
(1)圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变速运动．
(2)做圆周运动的物体一定具有加速度，它受的合力一定不为零．
2．描述圆周运动的各物理量间的关系
大小 国际单位制单位(符号) 各物理量在图中示意 联系
线速度 v＝＝ 米每秒(m/s) 都是描述匀速圆周运动快慢的物理量，v＝ ＝ωr ＝2πfr ＝2πnr
角速度 ω＝ 弧度每秒(rad/s)
周期 T＝＝ 秒(s)
频率 f＝ 赫兹(Hz)
转速 n＝f＝ 转每秒(r/s)
3.分析物体线速度、角速度、周期间关系的方法
(1)描述物体做圆周运动的线速度、角速度、周期及半径四个量中，若知道两个量可求出另外两个，应用的公式为v＝ωr＝.
(2)分析线速度v、角速度ω、半径r间数值关系时，有如下三种情况．
①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比．
②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比．
③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比．
如图所示
命题视角1 匀速圆周运动特点的考查
(多选)关于物体做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．在相等的时间里通过的路程相等
B．在相等的时间里通过的弧长相等
C．在相等的时间里发生的位移相等
D．在相等的时间里运动半径转过的角度相等
[解析] 对于做匀速圆周运动的物体，由匀速圆周运动的定义知，在相等时间内通过的弧长相等，B选项正确；弧长就是物体运动的轨迹长度即路程，所以A选项也正确；匀速圆周运动中相等时间内转过的角度也相等，D选项正确；相等时间内的位移，即为运动的弧长所对应的弦，由于位移为矢量，各段弦长相等，但方向不同，所以位移大小相等而方向不同，C选项错误．
[答案] ABD
命题视角2 各物理量关系的计算
做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
[解题探究] (1)如何计算匀速圆周运动的线速度？
(2)线速度与角速度、周期间有怎样的关系？
[解析] (1)由线速度的定义式v＝得
v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)由v＝rω得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)由ω＝得T＝＝ s＝4π s.
[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
(1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系．
(2)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T∝适用于具有周期性运动的情况．
1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A．因为v＝ωR，所以线速度v与轨道半径R成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径R成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析：选CD.ω一定时，线速度v与轨道半径R成正比，选项A错误．v一定时，角速度ω与轨道半径R成反比，选项B错误．在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，选项C、D正确．
常见传动装置及其规律[学生用书P57]
1．同轴转动
同轴的圆盘上各点 图示
相同量 角速度：ωA＝ωB周期：TA＝TB
不同量 线速度：＝
2.皮带传动
两轮边缘或皮带上各点 图示
相同量 边缘点线速度：vA＝vB
不同量 角速度：＝周期：＝
3.齿轮传动
两齿轮啮合传动 图示
相同量 边缘点线速度：vA＝vB A、B为两齿轮边缘点
不同量 角速度：＝周期：＝
命题视角1 同轴转动装置
如图所示，圆环以过其直径的直线AB为轴匀速转动．已知其半径R＝0.5 m，周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度大小．
[解题探究] (1)P点和Q点绕直径AB的运动轨迹的圆心是否是O点？如何表示它们的半径？
(2)P点和Q点的角速度有何关系？
[解析] 由题意知P点和Q点的角速度相同，ωP＝ωQ＝＝ rad/s≈1.57 rad/s，
P点和Q点绕直径AB做匀速圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的轨迹半径分别为
rP＝Rsin 30°＝0.25 m，
rQ＝Rsin 60°＝ m，故二者线速度大小分别为
vP＝ωPrP≈0.39 m/s；
vQ＝ωQrQ≈0.68 m/s.
[答案] P点角速度为1.57 rad/s，线速度为0.39 m/s
Q点角速度为1.57 rad/s，线速度为0.68 m/s
命题视角2 传送带(齿轮)装置
如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上．其中过O1的轴与电动机相连，此轴的转速为n1，求：
(1)B齿轮的转速n2；
(2)A、B两齿轮的半径之比r1∶r2；
(3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比φA∶φB；
(4)B齿轮半径为r2，B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程sB.
[解题探究] (1)齿轮传动装置中，两轮的相同量是什么？
(2)线速度、角速度周期、转速及半径的关系？
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮的齿数是不同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处的线速度大小相等，因此齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速n2＝n1.
(2)A齿轮边缘的线速度大小v1＝ω1r1＝2πn1r1，B齿轮边缘的线速度大小v2＝ω2r2＝2πn2r2，两齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即v1＝v2，所以有2πn1r1＝2πn2r2，则两齿轮的半径之比r1∶r2＝n2∶n1＝z1∶z2.
(3)在时间t内，A、B转过的角度分别为φA＝ω1t＝2πn1t，φB＝ω2t＝2πn2t，所以两齿轮转过的角度之比φA∶φB＝n1∶n2＝z2∶z1.
(4)B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程为sB＝v2t＝ω2r2t＝.
[答案] (1)n2＝n1 (2)r1∶r2＝z1∶z2
(3)φA∶φB＝z2∶z1 (4)sB＝
命题视角3 皮带运动
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一转轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
[思路点拨] (1)A、B两轮之间属于皮带传动，a、b两点线速度大小相等．
(2)B、C两轮之间属于同轴传动，b、c两点角速度相等．
(3)v、ω的关系式：v＝ωr.
[解析] A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A、B两轮边缘上点的线速度大小相等，即va＝vb，故va∶vb＝1∶1
B、C两个轮子固定在一起，绕同一转轴转动，它们上面的任何一点具有相同的角速度，即ωb∶ωc＝1∶1
因为ω＝，va＝vb，rA＝2rB
所以ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
又因为v＝rω，ωb＝ωc，rC＝2rB
所以vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
综上可知：ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
求解传动问题的方法
(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点．
①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)；
②同轴转动(各点角速度相等)；
③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)．
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系．
(3)用“通式”表达比例关系．
①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
圆周运动中相遇和多种问题的分析方法[学生用书P59]
1．首先明确两个物体的运动性质，是匀速圆周运动、平抛运动还是匀变速直线运动．
2．建立起两个物体运动的关系，往往是时间关系和位移关系，这是解题的关键．
3．同时注意圆周运动的周期性，分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上加上2kπ，具体k的取值应视情况而定．
如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小．
[解析] 小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2
则运动时间t＝
又因为水平位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R
在时间t内圆盘转动的角速度
ω＝＝2πn (n＝1，2，3，…)．
[答案] R 2πn (n＝1，2，3，…)
2.如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求力F多大可使A、B两物体的速度相同．
解析：因为B物体在力F作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能．
设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等，方向相同)．
对A物体有t＝T＋nT＝(n＝0，1，2，…)，vA＝rω.
对B物体有F＝ma，a＝，vB＝at＝t.
令vB＝vA得，＝ωr (n＝0，1，2，…)．
解得F＝(n＝0，1，2，…)．
答案：F＝(n＝0，1，2，…)
[随堂检测][学生用书P59]
1．下列关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种平衡状态
B．匀速圆周运动是一种匀速运动
C．匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动是一种速度大小不变的运动
解析：选D.匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻改变，选项D正确．
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：选D.由v＝rω，得ω＝，显然只有当半径r一定时，角速度与线速度才成正比，故A错．由v＝，得T＝，只有当半径r一定时，周期与线速度才成反比，故B错．由ω＝，得线速度一定时，角速度与半径成反比，故C错．由ω＝，得T＝，显然周期与角速度成反比，角速度大的周期一定小，故D对．
3．甲沿着半径为R的圆形跑道匀速跑步，乙沿半径为2R的圆形跑道匀速跑步，在相同时间内，甲、乙各跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：选C.甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝，则角速度相同，即ω1＝ω2；又因v＝ωR，所以线速度之比v1∶v2＝R1∶R2＝1∶2，即v1＜v2.故选项C正确．
4．(多选)变速自行车靠变速齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选BC.由题意知，当A轮通过链条分别与C、D连接时，自行车有两种速度，当B轮分别与C、D连接时，又有两种速度，所以该车可变换四种挡位，选项B正确；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C正确．
5.
如图所示，直径为d的圆纸筒，以角速度ω绕O轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且Oa、Ob间的夹角为α，则子弹的速度为多少？
解析：子弹通过圆纸筒做匀速直线运动的时间为t1＝，两个弹孔与圆心连线夹角等于α的条件是在相同时间内圆纸筒转过的角度φ＝(2n＋1)π－α，则由角速度定义可知时间t2＝＝(n＝0，1，2，3…)．
由于子弹做匀速直线运动和圆纸筒做圆周运动具有等时性，所以＝(n＝0，1，2，3…)，得子弹的速度为v＝(n＝0，1，2，3…)．
答案：(n＝0，1，2，3…)
[课时作业][学生用书P122(单独成册)]
一、单项选择题
1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中改变的是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．转速
解析：选A.速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上A正确．
2．做匀速圆周运动的物体( )
A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s转过30°，则角速度为 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝
解析：选D.线速度v＝，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向在不断地改变，故不能说v恒定，选项A错误；角速度ω＝，反映质点与圆心连线转动的快慢，国际单位为rad/s，B中ω＝ rad/s＝ rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r，选项C错误；物体转动一周的时间为T，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v＝，ω＝，也可得到v＝ωr，选项D正确．
3.
如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个小木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度不相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
解析：选C.由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项C正确．
4．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.靠摩擦传动的轮子边缘的线速度大小相等，故v1＝v2＝v3，而v1＝ω1r1，v3＝ω3r3，所以ω3＝，A正确．
5．某一型号的电动滚轮铭牌上标有“120 r/min”等额定参数，由此可知( )
A．滚轮正常转动时的转速为2 r/s
B．滚轮正常转动的周期为2 s
C．滚轮正常转动的频率为120 Hz
D．以上说法都对
解析：选A.铭牌上所标注的参数即为正常转动的转速n.单位换算n＝120 r/min＝2 r/s，选项A正确；由转速n可知滚轮每秒转动2圈，则周期T＝ s＝0.5 s，选项B错误；而转动频率f＝＝ Hz＝2 Hz，选项C错误．
6．甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为3∶1
解析：选A.由题意可得：v＝rω，所以r＝，r甲∶r乙＝∶＝2∶9，A对，B错；T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，C、D错．
二、多项选择题
7．图示为自行车的传动装置示意图，A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中( )
A．B、C两点的线速度相同
B．A、B两点的线速度相同
C．A、B两点的角速度与对应的半径成正比
D．B、C两点的线速度与对应的半径成正比
解析：选BD.大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A、B两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B正确，C错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B、C两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A错误，D正确．
8．一小球沿半径为2 m的轨道做匀速圆周运动，若周期为π s，则( )
A．小球的线速度是4 m/s
B．经过 s，小球的位移大小是π m
C．经过 s，小球转过的圆心角为 rad
D．以上说法均不正确
解析：选AC.由ω＝得ω＝ rad/s＝2 rad/s，则v＝rω＝2×2 m/s＝4 m/s.经过t＝ s，小球转过的角度φ＝ωt＝2× rad＝ rad，则位移大小为r＝2 m，故选项A、C正确．
9．一走时准确的钟表，时针、分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法，正确的是( )
A．分针的周期是秒针周期的60倍
B．分针的角速度是秒针角速度的60倍
C．时针的周期是分针周期的12倍
D．时针的角速度是分针角速度的12倍
解析：选AC.秒针转动一周时间T1＝1 min＝60 s，分针转动一周时间T2＝1 h＝60 min＝3 600 s，时针转动一周时间T3＝12 h＝43 200 s，所以T2∶T1＝60∶1，A对．T3∶T2＝12∶1，C对．ω2∶ω1＝T1∶T2＝1∶60，B错．ω3∶ω2＝T2∶T3＝1∶12，D错．
三、非选择题
10.
半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距O的高度h＝________，圆盘转动的角速度大小ω＝________．
解析：小球做平抛运动，在竖直方向h＝gt2①
在水平方向R＝vt②
由①②两式可得h＝③
小球落在A点的过程中，OA转过的角度
θ＝2nπ＝ωt(n＝1，2，3，…)④
由②④两式得ω＝(n＝1，2，3，…)．
答案： (n＝1，2，3，…)
11.
一物体沿半径为40 m的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动，速度为10 m/s，在A点运动方向为正北，经周期运动至B点，在B点运动方向为正东，如图所示，求：
(1)物体从A到B的过程中路程和位移的大小；
(2)物体运动的周期和角速度的大小．
解析：(1)路程l＝×2πr＝20π m≈62.8 m，
位移大小s＝r＝40 m≈56.6 m.
(2)周期T＝＝ s≈25.1 s，
角速度ω＝＝ rad/s＝0.25 rad/s.
答案：(1)62.8 m 56.6 m
(2)25.1 s 0.25 rad/s
12．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度；
(2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径．
解析：(1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝＝2nπ≈2××3.14 rad/s＝3.14 rad/s.
(2)由v＝rω，得女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径r＝＝ m≈1.5 m.
答案：(1)3.14 rad/s (2)1.5 m
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