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第4章 匀速圆周运动
第4章 匀速圆周运动
圆心
圆心
垂直
方向
大小
弹力
重力
摩擦力
合力
合外力
控制变量法
质量
角速度
半径
越大
正
正
正
mrω2
半径
圆心
改变
圆心
线速度方向
方向
大小
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人
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
甲
丁
第2节 向心力与向心加速度
[随堂检测][学生用书P63]
1．关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：选C.由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项C正确，A、B错误；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，D错误．
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
解析：选AC.在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不变时，Fn与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，Fn又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程为s＝t
C．周期T＝
D．可能发生的最大位移为2πR
解析：选B.由an＝ω2r，得ω＝＝，A错误；由an＝，得线速度v＝＝，所以时间t内通过的路程为s＝vt＝t，B正确；由an＝ω2r＝r，得T＝2π ＝2π，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D错误．
4．如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个物块A、B，A离转轴的距离为L，A、B间用长为L的细线相连．开始时，A、B与轴心在同一直线上，线正好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ.则当转台的角速度达到多大时细线中开始出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？(不计A、B大小)
解析：细线中开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线中的拉力还是零．
对B物块，根据牛顿第二定律得μmg＝mωrB，又rB＝2L
故此时转盘的角速度ω1＝ ＝
当物块A刚要开始滑动时，A、B受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线中的张力为F，根据牛顿第二定律，对A物块有μmg－F＝mωrA，rA＝L
对B物块有F＋μmg＝mωrB，rB＝2L
解得ω2＝ .
答案：
[课时作业][学生用书P124(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中正确的有( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．不一定是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析：选B.做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力提供，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以选项A、C、D错误，选项B正确．
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．图中能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的是( )
解析：选C.由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆周的切线方向．因做匀速圆周运动，合力一定指向圆心，由此可知选项C正确．
3．甲、乙两质点分别做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．线速度大的质点加速度一定大
B．角速度大的质点加速度一定大
C．向心加速度大的质点向心力一定大
D．向心加速度大的质点速度方向一定变化快
解析：选D.由a＝知，只有当r一定时，v大的a才大，故A错误；由a＝rω2 知，因ω大，所以a大的前提条件是r一定，故B错误；由F＝ma知，只有当m一定时，a大的F才大，故C错误；加速度是反映物体速度变化快慢的物理量，即速度的变化率，不过在匀速圆周运动中，反映的不是物体速度大小变化快慢，而是速度方向变化快慢．
4.
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B.旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．
5.
如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
解析：选D.由题图可知，小球做匀速圆周运动的半径R0＝r＋Lsin θ，由向心加速度公式知a＝ω2R0＝ω2(r＋Lsin θ)，选项D正确．
6.
如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，旋转的角速度为ω，已知A、B两木块所在的两点到圆盘中心O的距离分别为rA和rB，则A、B两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．r∶r
C.∶ D.eq \f(1,r)∶eq \f(1,r)
解析：选A.木块A、B在绕O点旋转的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω相等，又两木块质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2 ①，FB＝mrBω2 ②，联立①②两式得FA∶FB＝rA∶rB，故选项A正确．
二、多项选择题
7.
如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，则由图象可知( )
A．A质点运动的线速度大小不变
B．A质点运动的角速度大小不变
C．B质点运动的角速度大小不变
D．B质点运动的线速度大小不变
解析：选AC.在圆周运动中，向心加速度a＝＝rω2，由此可以看出：当线速度v一定时，向心加速度a与半径r成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比．由题中图象可知，A质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是双曲线的一支，运动时遵循a＝的规律，其线速度大小保持不变，故选项A正确，B错误．B质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是通过原点的一条直线，运动时遵循a＝rω2的规律，其角速度的大小保持不变，故选项C正确，D错误．
8．一质点做半径为r的匀速圆周运动，它的加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T，下列关系中正确的是( )
A．ω＝ B．v＝r
C．a＝vω D．T＝2π
解析：选ACD.因为a＝ω2r，所以ω＝，A正确；因为a＝，所以v＝，B错误；因为a＝ω2r，又v＝ωr，所以a＝vω，C正确；因为a＝·r，所以T＝2π，D正确．
9．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶2
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
解析：选AD.由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A对．设轮4的半径为r，则aa＝eq \f(v,ra)＝＝eq \f(v,8r)＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对.＝＝，B错．
10.
如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )
A．周期相等
B．线速度的大小相等
C．角速度相等
D．向心加速度相同
解析：
选AC.设小球的质量为m，细线长为l，细线与竖直方向的夹角为θ，对小球进行受力分析，如解析图所示．
小球的重力与细线的拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可得向心力
F＝mgtan θ
小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ
小球做圆周运动的圆心到悬点的距离为
h＝lcos θ
根据向心力公式，有
F＝m＝mω2r＝mr＝ma
所以v＝，ω＝，T＝2π，a＝gtan θ
两个做圆周运动的小球对应的h相同，θ不同，所以选项A、C正确，B、D错误．
三、非选择题
11．冬奥会上，我国选手在双人花样滑冰运动中获得金牌．赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度大小和受到的拉力大小．
解析：对申雪受力分析如图所示．
水平方向：Fcos θ＝ma
竖直方向：Fsin θ＝mg
由以上两式得：向心加速度
a＝＝g
拉力F＝＝2G.
答案：g 2G
12．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝ 时，细绳上的拉力F1；
(2)当转盘的角速度ω2＝ 时，细绳上的拉力F2.
解析：当绳的拉力为零时，设此时转盘的最大角速度是ω0，则其最大静摩擦力提供向心力，μmg＝mrω，得ω0＝ .
(1)当ω1＝ <ω0时，由静摩擦力提供向心力，绳的拉力F1为零．
(2)当ω2＝ >ω0时，由最大静摩擦力和绳的拉力的合力提供向心力，F合＝ μmg＋F2＝F向＝mrω2，F2＝μmg.
答案：(1)0 (2)μmg
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1
第2节 向心力与向心加速度
1.理解向心力和向心加速度的概念． 2.会用实验探究向心力与质量、角速度和半径的关系．
3．能用向心力及向心加速度公式进行计算．
[学生用书P60]
一、向心力及其方向
1．定义：做圆周运动的物体，受到的始终指向圆心的等效力．
2．方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直．
3．作用效果：向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功．
4．来源：可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力，做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力．
1．(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力．( )
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力．( )
(3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
二、向心力的大小
1．实验研究F向与m、r、ω的关系
(1)实验方法：控制变量法．
(2)结论：物体的质量越大、角速度越大、转动半径越大，物体所需向心力越大．
2．大小：物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比．
3．计算公式：F＝mrω2＝m．
根据公式F＝m和F＝mω2r，物体做匀速圆周运动时，当半径比较大的时候，向心力比较大还是比较小？
提示：分析向心力大小必须采用控制变量的方法，公式F＝m中，若v一定时，r越大，F越小；公式F＝mω2r中，若ω一定时，r越大，F越大．三、向心加速度
1．定义：做圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度，叫向心加速度．
2．大小：a＝ω2r＝.
3．方向：向心加速度的方向时刻改变，且始终指向圆心．
4．实质：向心加速度是用来描述物体线速度方向改变快慢的物理量．
5．对匀速圆周运动的理解：匀速圆周运动是加速度方向时刻改变，而大小不变的变速运动．所以，匀速圆周运动不是加速度恒定的运动，即不是匀变速运动而是变加速运动．
2．(1)向心加速度是描述线速度变化多少的物理量．( )
(2)匀速圆周运动的向心加速度是变化的．( )
(3)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零．( )
提示：(1)× (2)√ (3)×
向心力的理解[学生用书P60]
1．向心力特点的理解
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力，其效果是改变速度的方向，而不改变速度的大小．对物体受力分析时，不用分析向心力．
(2)若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定．
(3)若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合力在半径方向上的分力，而合力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．
2．向心力来源的理解
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．例如：
(1)地球绕太阳做圆周运动，太阳对地球的引力提供向心力(如图甲)；
(2)在光滑水平桌面上做匀速圆周运动的小球，绳对球的拉力提供向心力(如图乙)；
(3)圆盘上随圆盘一起匀速转动的物块，静摩擦力提供向心力(如图丙)；
(4)在光滑漏斗内壁上，做匀速圆周运动的小球，支持力与重力的合力提供向心力(如图丁)．
命题视角1 向心力特点的考查
关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
[解析] 力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，故选项A错误．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体速度的大小，故选项B正确．物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故选项C错误．只有匀速圆周运动中，合力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合力，而是合力指向圆心的分力提供向心力，故选项D错误．
[答案] B
命题视角2 向心力来源的分析
(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所受的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
[解题探究] (1)小球运动过程中受哪些力的作用？
(2)小球的摆动过程是匀速圆周运动吗？
[解析] 对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力. 因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D.
[答案] CD
(1)对做圆周运动的物体进行受力分析时，注意以下几点：物体的受力应是实际受到的力，是性质力，存在施力物体；不另外分析向心力．
(2)列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向心力，利用题目条件灵活运用向心力表达式．
向心加速度的理解[学生用书P61]
1．对向心加速度的理解
(1)向心加速度总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变．
(2)向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度而不是平均加速度．在匀速圆周运动中，加速度不是恒定的，这里的向心加速度，是指某时刻或某一位置的瞬时加速度，公式a＝中的速度v应为瞬时速度.
(3)
向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度．
在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体做圆周运动的实际加速度，而在一般的非匀速圆周运动中，它只是物体实际运动的一个分加速度，另一个分加速度为切向加速度，如图所示．
2．向心加速度公式的理解
公式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
(4)an与r的关系图象如图(a)、(b)所示．
命题视角1 向心加速度特点的考查
关于向心加速度的说法，正确的是( )
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
[解析] 向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量，选项A错误．向心加速度的大小可用a＝或a＝ω2r表示，当v一定时，a与r成反比，当ω一定时，a与r成正比，可见a与r的比例关系是有条件的，故B错误．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在匀速圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动也不能说是匀变速运动，应是变加速运动，故C正确，D错误．
[答案] C
命题视角2 向心加速度的计算
如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
[解题探究] (1)该题中的“传送带装置”具有哪些相同量？
(2)向心加速度的表达式和哪些物理量相关？
[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r
解得＝
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝
解得＝
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2.
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
(1)向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．
(2)在v一定的情况下，可认为物体的向心加速度a与r成反比；而在ω一定的情况下，可认为物体的向心加速度a与r成正比．
圆周运动中临界问题的分析方法[学生用书P62]
物体在做圆周运动的过程中，若所处的运动状态和受力情况受临界条件限制，就会产生临界问题，即会存在临界速度和临界力的问题．解决临界问题常用“临界值法”来分析．
1．对物体的圆周运动进行动态分析，分析随转速的变化，向心力如何变化，物体的受力如何变化，通常会涉及弹力和摩擦力的分析．
2．确定临界状态：临界状态往往由弹力为零、静摩擦力为零或静摩擦力达到最大值时来确定．
3．求解变化范围：先由临界状态时圆周运动的知识求解最值，再由题意要求指出物理量的合理取值范围．
(多选)
如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A. b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
[解析] 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝ ；
对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝ ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa[答案] AC
如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B(取g＝10 m/s2)．求：
(1)当A沿半径R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
解析：(1)对小球A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N
对重物B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T和地面的支持力N.由力的平衡条件可得T＋N＝Mg
所以N＝Mg－T＝(4×10－10)N＝30 N，由牛顿第三定律可知，重物B对地面的压力大小为30 N，方向竖直向下．
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2
则ω′＝ ＝ rad/s＝20 rad/s.
答案：(1)30 N (2)20 rad/s
[随堂检测][学生用书P63]
1．关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：选C.由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项C正确，A、B错误；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，D错误．
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
解析：选AC.在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不变时，Fn与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，Fn又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程为s＝t
C．周期T＝
D．可能发生的最大位移为2πR
解析：选B.由an＝ω2r，得ω＝＝，A错误；由an＝，得线速度v＝＝，所以时间t内通过的路程为s＝vt＝t，B正确；由an＝ω2r＝r，得T＝2π ＝2π，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D错误．
4．如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个物块A、B，A离转轴的距离为L，A、B间用长为L的细线相连．开始时，A、B与轴心在同一直线上，线正好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ.则当转台的角速度达到多大时细线中开始出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？(不计A、B大小)
解析：细线中开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线中的拉力还是零．
对B物块，根据牛顿第二定律得μmg＝mωrB，又rB＝2L
故此时转盘的角速度ω1＝ ＝
当物块A刚要开始滑动时，A、B受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线中的张力为F，根据牛顿第二定律，对A物块有μmg－F＝mωrA，rA＝L
对B物块有F＋μmg＝mωrB，rB＝2L
解得ω2＝ .
答案：
[课时作业][学生用书P124(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中正确的有( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．不一定是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析：选B.做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力提供，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以选项A、C、D错误，选项B正确．
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．图中能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的是( )
解析：选C.由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆周的切线方向．因做匀速圆周运动，合力一定指向圆心，由此可知选项C正确．
3．甲、乙两质点分别做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．线速度大的质点加速度一定大
B．角速度大的质点加速度一定大
C．向心加速度大的质点向心力一定大
D．向心加速度大的质点速度方向一定变化快
解析：选D.由a＝知，只有当r一定时，v大的a才大，故A错误；由a＝rω2 知，因ω大，所以a大的前提条件是r一定，故B错误；由F＝ma知，只有当m一定时，a大的F才大，故C错误；加速度是反映物体速度变化快慢的物理量，即速度的变化率，不过在匀速圆周运动中，反映的不是物体速度大小变化快慢，而是速度方向变化快慢．
4.
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B.旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．
5.
如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
解析：选D.由题图可知，小球做匀速圆周运动的半径R0＝r＋Lsin θ，由向心加速度公式知a＝ω2R0＝ω2(r＋Lsin θ)，选项D正确．
6.
如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，旋转的角速度为ω，已知A、B两木块所在的两点到圆盘中心O的距离分别为rA和rB，则A、B两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．r∶r
C.∶ D.eq \f(1,r)∶eq \f(1,r)
解析：选A.木块A、B在绕O点旋转的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω相等，又两木块质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2 ①，FB＝mrBω2 ②，联立①②两式得FA∶FB＝rA∶rB，故选项A正确．
二、多项选择题
7.
如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，则由图象可知( )
A．A质点运动的线速度大小不变
B．A质点运动的角速度大小不变
C．B质点运动的角速度大小不变
D．B质点运动的线速度大小不变
解析：选AC.在圆周运动中，向心加速度a＝＝rω2，由此可以看出：当线速度v一定时，向心加速度a与半径r成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比．由题中图象可知，A质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是双曲线的一支，运动时遵循a＝的规律，其线速度大小保持不变，故选项A正确，B错误．B质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是通过原点的一条直线，运动时遵循a＝rω2的规律，其角速度的大小保持不变，故选项C正确，D错误．
8．一质点做半径为r的匀速圆周运动，它的加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T，下列关系中正确的是( )
A．ω＝ B．v＝r
C．a＝vω D．T＝2π
解析：选ACD.因为a＝ω2r，所以ω＝，A正确；因为a＝，所以v＝，B错误；因为a＝ω2r，又v＝ωr，所以a＝vω，C正确；因为a＝·r，所以T＝2π，D正确．
9．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶2
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
解析：选AD.由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A对．设轮4的半径为r，则aa＝eq \f(v,ra)＝＝eq \f(v,8r)＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对.＝＝，B错．
10.
如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )
A．周期相等
B．线速度的大小相等
C．角速度相等
D．向心加速度相同
解析：
选AC.设小球的质量为m，细线长为l，细线与竖直方向的夹角为θ，对小球进行受力分析，如解析图所示．
小球的重力与细线的拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可得向心力
F＝mgtan θ
小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ
小球做圆周运动的圆心到悬点的距离为
h＝lcos θ
根据向心力公式，有
F＝m＝mω2r＝mr＝ma
所以v＝，ω＝，T＝2π，a＝gtan θ
两个做圆周运动的小球对应的h相同，θ不同，所以选项A、C正确，B、D错误．
三、非选择题
11．冬奥会上，我国选手在双人花样滑冰运动中获得金牌．赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度大小和受到的拉力大小．
解析：对申雪受力分析如图所示．
水平方向：Fcos θ＝ma
竖直方向：Fsin θ＝mg
由以上两式得：向心加速度
a＝＝g
拉力F＝＝2G.
答案：g 2G
12．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝ 时，细绳上的拉力F1；
(2)当转盘的角速度ω2＝ 时，细绳上的拉力F2.
解析：当绳的拉力为零时，设此时转盘的最大角速度是ω0，则其最大静摩擦力提供向心力，μmg＝mrω，得ω0＝ .
(1)当ω1＝ <ω0时，由静摩擦力提供向心力，绳的拉力F1为零．
(2)当ω2＝ >ω0时，由最大静摩擦力和绳的拉力的合力提供向心力，F合＝ μmg＋F2＝F向＝mrω2，F2＝μmg.
答案：(1)0 (2)μmg
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