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第4章 匀速圆周运动
第4章 匀速圆周运动
静摩擦力
静摩擦力
外高内低
重力
空气
mg－N
小于
N－mg
大于
mg＋N
消失
不足以提供
远离圆心
过荷
减速慢行
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人
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
乙
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P
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第3节 向心力的实例分析 第4节 离心运动
[随堂检测][学生用书P67]
1．在水平的圆弧形路面上行驶的汽车，速度的大小保持不变，以下说法正确的是( )
A．汽车所受的合外力为零
B．汽车的重力和路面对汽车的支持力的合力充当向心力
C．路面对汽车的滑动摩擦力充当向心力
D．路面对汽车的静摩擦力充当向心力
解析：选D.汽车在水平的圆弧形路面上行驶时，车轮与路面间的静摩擦力提供汽车做圆周运动的向心力，故汽车所受的合外力不为零，选项D正确．
2．(多选)目前，中国已投入运营的高速铁路营业里程居世界第一位．铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
解析：选AD.设铁轨之间的距离为L，内外轨高度差为h，内外轨所在平面与水平面夹角为θ，火车转弯时，若外轨、内轨对车轮均没有侧向压力，由牛顿第二定律得mgtan θ＝，由于θ很小，可认为tan θ＝sin θ＝，联立解得v＝ .由此式可知，v一定时，r越小则要求h越大，选项A正确，B错误；r一定时，v越大则要求h越大，选项C错误，D正确．
3.
如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是( )
A．FA>FB＞mg B．FAC．FA＝FB＝mg D．FA＝FB＞mg
解析：选A.当天车突然停止时，A、B两物体将做圆周运动，在最低点时，向心力由吊绳的拉力与重力的合力提供，即F－mg＝m，故F＝mg＋m，所以有FA＞FB＞mg.
4.
如图所示，质量为m的小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，ab是过轨道圆心的水平线，下列说法中正确的是( )
A．小球在ab线上方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
B．小球在ab线上方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C．小球在ab线下方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在ab线下方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选D.小球在ab线上方管道中运动时，当速度较大时小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时内侧管壁对小球无作用力，选项A错误；同理，当小球在管道中运动速度较小时，小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和内侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时外侧管壁对小球无作用力，选项B错误；小球在ab线下方运动时，小球做圆周运动的向心力是小球所受重力沿半径方向的分力与外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此种情况下内侧管壁对小球一定没有作用力，选项C错误，D正确．
5.
如图所示，质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过圆周的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D．mgR
解析：选C.小球通过最低点A时，绳子的张力和小球重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有F1－mg＝meq \f(v,R)，得v＝6Rg；由于小球恰好通过最高点B，故此时绳子张力F2＝0，小球重力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v,R)，得v＝Rg；小球由最低点A运动到最高点B的过程中，小球克服重力和空气阻力做功，根据动能定理有－mg·2R－Wf＝mv－mv＝－mgR，解得小球克服空气阻力所做的功为Wf＝mgR.
[课时作业][学生用书P126(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力等于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析：选C.向心力是根据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力或几个力的合力提供的．因此，它并不受向心力和离心力的作用．它之所以产生离心现象是由于F合2.
如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法错误的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向上汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
解析：选A.一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，A错，B、D对；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，C对．
3.
乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于失重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析：选D.由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝，则人对底座和保险带都无作用力；若v <，则保险带对人有拉力作用；若v>，则人对底座有压力，且当v>时，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时，有N－mg＝m，则N>mg，故人处于超重状态，故C错误，D正确．
4．在高速公路的转弯处，路面建得外高内低，即当车向右转弯时，则左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设转弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应满足( )
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin 2θ＝ D．cot θ＝
解析：
选B.汽车不受横向摩擦力作用，所以其受力情况如图所示．由x方向上的力提供向心力知Nsin θ＝m，由y方向上的受力平衡知Ncos θ＝mg，由以上两式解得tan θ＝.故选项B正确．
5．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为( )
A．v≥ B．v≥
C．v≥2 D．v≥
解析：选C.小球到最高点时速度v1≥0，由机械能守恒定律得：mv2＝mg·2L＋mv，解得：v≥2.故选C.
6．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是( )
A．球过最高点时，速度为零
B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为meq \f(v,L)
D．球过最高点时，速度大小为
解析：选D.开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝meq \f(v,L)，F＝meq \f(v,L)＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝m，v＝，A、B不正确．
二、多项选择题
7．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面内沿圆弧轨道俯冲时速度大小为v，则圆弧的最小半径R和此时座椅对驾驶员的支持力N分别为( )
A．R＝ B．R＝
C．N＝9mg D．N＝10mg
解析：选AD.飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员在此点受到重力mg和向上的支持力N的作用，由向心力公式可得F＝N－mg＝m＝9mg，所以N＝10mg，R＝，故选项A、D正确．
8．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
解析：选BC.在B处由牛顿第二定律得：N－G＝m，N＝G＋m，可见N>G，由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，解得v＝，h越大，滑块到达B点的速度v越大，N越大，选项B、C正确．
9．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示．则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等
解析：选AC.对小球在最高点进行受力分析．当速度为零时，F－mg＝0，结合题图象可知：a－mg＝0.当F＝0时，由向心力公式可得mg＝m，结合题图象可知mg＝m，可知：g＝，m＝，选项A正确，选项B错误；由题图象可知：b＜c，故当v2＝c时，杆对小球的弹力向下，则小球对杆的弹力方向向上，选项C正确；由向心力公式可得：mg＋F＝m，当v2＝2b时，F＝mg，选项D错误．
三、非选择题
10．如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面受到的压力不得超过3.0×105 N，(g取10 m/s2)则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
解析：(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：
N－mg＝m代入数据解得v＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：
mg－N′＝
代入数据解得N′＝105 N
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
答案：(1)10 m/s (2)105 N
11．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg.
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝.
(2)在最高点小球对棒的压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ .
(3)在最高点小球对棒的拉力为mg时，小球向心力为
mg＋mg＝mωR，ω3＝ .
答案：(1) (2) (3)
12．如图是离心实验器的原理图，用此实验器可以研究过荷对人体的影响，测量人体的抗荷能力．离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动．已知BO的长为L，AB的长为d.现观测到图中的直线AB(直线AB与舱底垂直)与水平杆的夹角为30°，求：
(1)被测者对座椅的压力是他所受重力的多少倍？
(2)实验器转动的角速度是多少？
解析：
(1)被测者受到重力和支持力的作用，这两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示．将N正交分解，可得
竖直方向：Nsin 30°＝mg
水平方向：Ncos 30°＝mRω2
解得N＝2mg
由牛顿第三定律知，被测者对座椅的压力是其所受重力的2倍．
(2)在水平方向，由牛顿第二定律得Ncos 30°＝mRω2
被测试者做圆周运动的半径R＝L＋dcos 30°
得离心实验器转动的角速度ω＝ .
答案：(1)2 (2)
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1
第3节 向心力的实例分析 第4节 离心运动
1.会分析具体问题中向心力来源，并能求出相关物理量． 2.知道离心运动及其产生条件，会用所学知识分析生活中的离心现象． 3.会用向心力知识结合牛顿第二定律分析竖直平面内的圆周运动．
[学生用书P63]
一、转弯时的向心力实例分析
1．水平路面转弯：车辆在水平路面转弯时所需向心力由静摩擦力提供，如果弯道半径一定，转弯时的最大速度由静摩擦力的最大值决定．
2．倾斜路面转弯：高速公路、铁路的弯道通常都是外高内低，若汽车或火车以设计速度转弯时，车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供．
3．空中转弯：鸟和飞机改变飞行方向所需的向心力由重力和空气对它们的作用力的合力来提供．
1．假定你是一个铁路设计的工程师，你打算用什么方法为火车转弯提供向心力？
提示：要根据弯道的半径和规定的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供．
二、竖直平面内的圆周运动实例分析
1．汽车过拱形桥
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
向心力 支持力与重力的合力提供向心力 支持力与重力的合力提供向心力
方程 mg－N＝m N－mg＝m
压力 N＝mg－m 压力小于重力，当v＝ 时N＝0 N＝mg＋m压力大于重力
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向心力．
(2)向心力方程
①在最高点：mg＋N＝m，N越小，v越小，当N＝0时，vmin＝.
②在最低点：N－mg＝m.
2．坐过山车时，为什么过山车在轨道的顶端悬空而没有落下呢？
提示：只要过山车在冲向最高点时仍有很高的速度v，所需要的向心力便会比较大．假如所需的向心力比车的重力大，部分所需的向心力便要由轨道给予过山车的反作用力N提供，两部分加起来有mg＋N＝.此时如果速度v越大，过山车与路轨之间的相互作用力也越大，它便越紧贴着轨道，不会掉下来．
三、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，将远离圆心运动，称为离心运动．
2．发生条件：合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力．
3．离心运动的应用及防止
(1)应用：离心分离器、离心干燥器、脱水筒、离心水泵．
(2)危害与防止
①飞机攀高或翻飞旋转时，离心运动往往造成飞行员过荷．
②汽车在转弯(尤其在下雨天)时需要减速慢行．
(1)做离心运动的物体一定受到离心力的作用．( )
(2)离心运动是沿半径向外的运动．( )
(3)离心运动是物体惯性的表现．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
机车(或人)转弯问题的分析与计算[学生用书P64]
1．汽车在水平路面上的转弯
(1)向心力的来源：汽车在水平路面上转弯时，路面对汽车的摩擦力提供汽车转弯所需的向心力，如图所示．
(2)最大限速：由向心力公式得f＝m，则v＝.当f＝fmax时，汽车转弯速度最大．最大限速vmax＝ .
2．汽车在倾斜路面上的转弯
(1)向心力的来源：汽车在倾斜路面上转弯时，若重力和支持力的合力恰好可以提供向心力，则汽车不受横向摩擦力作用，否则汽车的向心力需由重力、支持力和摩擦力的合力提供．
(2)重力和支持力的合力提供向心力时汽车通过弯道的速度：假设弯道倾角为θ，则汽车转弯时的向心力F＝mgtan θ(如图)．
(3)最大限速：根据向心力公式，有mgtan θ＝meq \f(v,r)，所以v0＝.
3．火车转弯问题
(1)转弯时的圆周平面：火车做圆周运动的圆周平面是水平面，火车的向心加速度和向心力均是沿水平方向指向圆心．
(2)向心力来源：如图所示．火车转弯时的向心力由重力mg和支持力N的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v,R)，解得v0＝，其中，R为弯道处的半径，θ为两轨所在平面与水平面间的夹角，v0为弯道处规定的行驶速度．
(3)速度与轨道压力的关系
①当v＝v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车均无挤压作用．
②当v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
③当v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力．
命题视角1 水平面上的转弯问题
世界花样滑冰锦标赛于2015年3月25日至3月29日在东方体育中心的“海上王冠”举行．假设溜冰时，冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员体重的k倍，运动员在冰面上做半径为R的匀速圆周运动，其安全速度为( )
A．v＝ B．v≤
C．v≤ D．v≤
[解析] 安全溜冰时所需的向心力应不大于最大静摩擦力，即m≤kmg，故v≤.
[答案] B
命题视角2 汽车在倾斜路面上的转弯问题
赛车行驶在倾斜的弯道上，如图所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是( )
A. B.
C. D.
[解题探究] (1)赛车转弯时的圆周平面是沿斜面吗？
(2)哪些力提供赛车转弯的向心力？
[解析]
设赛车的质量为m，赛车受力如图所示，可见：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.
[答案] C
命题视角3 火车转弯问题
铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下面表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车转弯时的速率v(以km/h为单位，结果取整数；当倾角很小时，取sin α≈tan α)；
(3)随着人们生活节奏的加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
[解题探究] (1)表格中数据有何特点？
(2)轨道不对车轮施加力的情况下，转弯时的速度受哪些因素的影响？如何分析转弯时的速度？
[解析] (1)分析表中数据可得，每组的h与r之积均等于常数，C＝660 m×50×10－3m＝33 m2，因此h·r＝33 m2，即h＝(h、r均为国际单位)，当r＝440 m时，有h＝ m＝0.075 m＝75 mm.
(2)转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，mgtan θ＝m，因为θ很小，有tan θ≈sin θ＝，得v＝ ，代入数据得v≈15 m/s＝54 km/h.
(3)由v＝ 可知，可采取的有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r.
[答案] 见解析
机车转弯问题的分析技巧
(1)在分析车辆转弯问题时，首先要确定出车辆转弯所做圆周运动的轨道平面、圆心和半径，然后分析车辆的受力，找到向心力的来源．
(2)在找向心力时，通常在受力分析的基础上，按力的正交分解法将力沿半径方向和垂直于半径方向分解，其中沿半径方向的合力即为向心力．
竖直平面内圆周运动问题分析与计算[学生用书P65]
1．汽车过桥问题
(1)分析汽车过桥这类问题时应把握以下两点：
①汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动．
②向心力来源(最高点和最低点)：重力和桥面的支持力的合力提供向心力．
(2)汽车驶至凹形桥面的底部时，加速度向上，合力向上，此时满足N－mg＝m，N＝mg＋m＞mg，车对桥面压力最大，汽车处于超重状态．
(3)当车驶至凸形桥面的顶部时，加速度向下，合力向下，此时满足mg－N＝m，N＝mg－m＜mg，车对桥面的压力最小，汽车处于失重状态．
凸形桥对汽车只能施加向上的支持力，故在桥的最高点，当汽车受到的支持力N＝0时，向心力mg＝m，此时汽车的临界最大速度v临＝(达到v临＝，从最高点汽车将做平抛运动)．
2．竖直平面内“绳、杆”模型
(1)轻绳模型(最高点，如图)
①绳(外轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)
②动力学方程：T＋mg＝m
③在最高点临界条件：T＝0，此时mg＝m，则v＝，即绳类的临界速度为v临＝.
(2)轻杆模型(最高点，如图)
①杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉(压)力，也能施加向上的支持力．
②动力学方程：
当v＞时，N＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大；
当v＝时，mg＝m，杆对球无作用力；
当v＜时，mg－N＝m，杆对球有向上的支持力，
且随速度减小而增大；
当v＝0时，N＝mg(临界情况)．
③杆类的临界速度为v临＝0.
命题视角1 汽车过桥问题考查
在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示，一质量为m的汽车，以一定的速率通过凸形路面(如图甲所示)的最高处时路面的支持力为N1，通过凹形路面(如图乙所示)的最低处时路面的支持力为N2，则下列关系式正确的是( )
A．N1>mg B．N1C．N2＝mg D．N2[解析] 甲图中汽车受力如图1所示，由重力与路面的支持力的合力提供向心力知mg－N1＝m，所以N1＝mg－mmg，选项B正确．
图1 图2
[答案] B
命题视角2 轻绳(杆)模型分析
质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于
D．小球对圆管内壁的压力等于mg
[解题探究] (1)小球以速度v通过最高点时，小球受几个力作用？
(2)小球通过最高点时，小球所受力的合力指向哪个方向？
[解析] 设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m①
小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力为FN，有mg＋FN＝②
由①②得FN＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．
[答案] C
“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动
离心运动的理解[学生用书P66]
1．离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是受到指向圆心的力作用的缘故．
2．合外力与向心力的关系
做离心运动的物体并非受到离心力的作用，而是合外力不足以提供向心力的结果．具体来看合外力与向心力的关系如图所示：
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若F合＞mrω2或F合＞，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若F合＜mrω2或F合＜，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”．
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动．
关于离心运动，下列说法正确的是( )
A．当物体受到离心力的作用时，物体将做离心运动
B．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿着半径方向“离心”而去
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿这一位置的切线方向飞出，做匀速直线运动
[解析] 离心运动并不是物体受到离心力的作用，而是提供的合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力，故A、B错误；若向心力突然消失，物体将做匀速直线运动，运动方向不是沿半径方向，而是将沿这一位置的切线方向飞出，故C错误，D正确．
[答案] D
(1)做离心运动的物体并非受到离心力的作用，而是所受合外力消失或不足以提供所需向心力的结果．
(2)离心运动不是沿半径向外的运动．
1．如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做离心运动
解析：选A.小球做匀速圆周运动时，有F＝F向．当拉力消失后小球所受合力为零，故将沿切线Pa飞出，A对；若拉力突然变小，拉力不足以提供所需向心力，球将沿曲线Pb做离心运动，B、D错；若拉力突然变大，拉力大于所需向心力，球将沿Pc做靠近圆心的运动，即近心运动，C错．
圆周运动与能量的综合问题[学生用书P67]
如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
[思路点拔] 解此题关键有两点：
(1)根据小环下落过程中满足机械能守恒求解最低点的速度．
(2)根据竖直平面圆周运动最低点特点结合牛顿运动定律求拉力．
[解析] 设大环半径为R，质量为m的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2＝mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2，根据牛顿第二定律得FN－mg＝，所以在最低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力FN′＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力T＝Mg＋FN′＝Mg＋5mg.根据牛
顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误．
[答案] C
2.如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析：选C.在Q点质点受到竖直向下的重力，和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有N－mg＝m，N＝2mg，联立解得v＝，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝ mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确．
[随堂检测][学生用书P67]
1．在水平的圆弧形路面上行驶的汽车，速度的大小保持不变，以下说法正确的是( )
A．汽车所受的合外力为零
B．汽车的重力和路面对汽车的支持力的合力充当向心力
C．路面对汽车的滑动摩擦力充当向心力
D．路面对汽车的静摩擦力充当向心力
解析：选D.汽车在水平的圆弧形路面上行驶时，车轮与路面间的静摩擦力提供汽车做圆周运动的向心力，故汽车所受的合外力不为零，选项D正确．
2．(多选)目前，中国已投入运营的高速铁路营业里程居世界第一位．铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
解析：选AD.设铁轨之间的距离为L，内外轨高度差为h，内外轨所在平面与水平面夹角为θ，火车转弯时，若外轨、内轨对车轮均没有侧向压力，由牛顿第二定律得mgtan θ＝，由于θ很小，可认为tan θ＝sin θ＝，联立解得v＝ .由此式可知，v一定时，r越小则要求h越大，选项A正确，B错误；r一定时，v越大则要求h越大，选项C错误，D正确．
3.
如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是( )
A．FA>FB＞mg B．FAC．FA＝FB＝mg D．FA＝FB＞mg
解析：选A.当天车突然停止时，A、B两物体将做圆周运动，在最低点时，向心力由吊绳的拉力与重力的合力提供，即F－mg＝m，故F＝mg＋m，所以有FA＞FB＞mg.
4.
如图所示，质量为m的小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，ab是过轨道圆心的水平线，下列说法中正确的是( )
A．小球在ab线上方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
B．小球在ab线上方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C．小球在ab线下方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在ab线下方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选D.小球在ab线上方管道中运动时，当速度较大时小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时内侧管壁对小球无作用力，选项A错误；同理，当小球在管道中运动速度较小时，小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和内侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时外侧管壁对小球无作用力，选项B错误；小球在ab线下方运动时，小球做圆周运动的向心力是小球所受重力沿半径方向的分力与外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此种情况下内侧管壁对小球一定没有作用力，选项C错误，D正确．
5.
如图所示，质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过圆周的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D．mgR
解析：选C.小球通过最低点A时，绳子的张力和小球重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有F1－mg＝meq \f(v,R)，得v＝6Rg；由于小球恰好通过最高点B，故此时绳子张力F2＝0，小球重力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v,R)，得v＝Rg；小球由最低点A运动到最高点B的过程中，小球克服重力和空气阻力做功，根据动能定理有－mg·2R－Wf＝mv－mv＝－mgR，解得小球克服空气阻力所做的功为Wf＝mgR.
[课时作业][学生用书P126(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力等于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析：选C.向心力是根据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力或几个力的合力提供的．因此，它并不受向心力和离心力的作用．它之所以产生离心现象是由于F合2.
如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法错误的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向上汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
解析：选A.一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，A错，B、D对；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，C对．
3.
乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于失重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析：选D.由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝，则人对底座和保险带都无作用力；若v <，则保险带对人有拉力作用；若v>，则人对底座有压力，且当v>时，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时，有N－mg＝m，则N>mg，故人处于超重状态，故C错误，D正确．
4．在高速公路的转弯处，路面建得外高内低，即当车向右转弯时，则左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设转弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应满足( )
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin 2θ＝ D．cot θ＝
解析：
选B.汽车不受横向摩擦力作用，所以其受力情况如图所示．由x方向上的力提供向心力知Nsin θ＝m，由y方向上的受力平衡知Ncos θ＝mg，由以上两式解得tan θ＝.故选项B正确．
5．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为( )
A．v≥ B．v≥
C．v≥2 D．v≥
解析：选C.小球到最高点时速度v1≥0，由机械能守恒定律得：mv2＝mg·2L＋mv，解得：v≥2.故选C.
6．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是( )
A．球过最高点时，速度为零
B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为meq \f(v,L)
D．球过最高点时，速度大小为
解析：选D.开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝meq \f(v,L)，F＝meq \f(v,L)＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝m，v＝，A、B不正确．
二、多项选择题
7．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面内沿圆弧轨道俯冲时速度大小为v，则圆弧的最小半径R和此时座椅对驾驶员的支持力N分别为( )
A．R＝ B．R＝
C．N＝9mg D．N＝10mg
解析：选AD.飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员在此点受到重力mg和向上的支持力N的作用，由向心力公式可得F＝N－mg＝m＝9mg，所以N＝10mg，R＝，故选项A、D正确．
8．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
解析：选BC.在B处由牛顿第二定律得：N－G＝m，N＝G＋m，可见N>G，由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，解得v＝，h越大，滑块到达B点的速度v越大，N越大，选项B、C正确．
9．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示．则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等
解析：选AC.对小球在最高点进行受力分析．当速度为零时，F－mg＝0，结合题图象可知：a－mg＝0.当F＝0时，由向心力公式可得mg＝m，结合题图象可知mg＝m，可知：g＝，m＝，选项A正确，选项B错误；由题图象可知：b＜c，故当v2＝c时，杆对小球的弹力向下，则小球对杆的弹力方向向上，选项C正确；由向心力公式可得：mg＋F＝m，当v2＝2b时，F＝mg，选项D错误．
三、非选择题
10．如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面受到的压力不得超过3.0×105 N，(g取10 m/s2)则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
解析：(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：
N－mg＝m代入数据解得v＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：
mg－N′＝
代入数据解得N′＝105 N
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
答案：(1)10 m/s (2)105 N
11．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg.
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝.
(2)在最高点小球对棒的压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ .
(3)在最高点小球对棒的拉力为mg时，小球向心力为
mg＋mg＝mωR，ω3＝ .
答案：(1) (2) (3)
12．如图是离心实验器的原理图，用此实验器可以研究过荷对人体的影响，测量人体的抗荷能力．离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动．已知BO的长为L，AB的长为d.现观测到图中的直线AB(直线AB与舱底垂直)与水平杆的夹角为30°，求：
(1)被测者对座椅的压力是他所受重力的多少倍？
(2)实验器转动的角速度是多少？
解析：
(1)被测者受到重力和支持力的作用，这两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示．将N正交分解，可得
竖直方向：Nsin 30°＝mg
水平方向：Ncos 30°＝mRω2
解得N＝2mg
由牛顿第三定律知，被测者对座椅的压力是其所受重力的2倍．
(2)在水平方向，由牛顿第二定律得Ncos 30°＝mRω2
被测试者做圆周运动的半径R＝L＋dcos 30°
得离心实验器转动的角速度ω＝ .
答案：(1)2 (2)
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