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第5章 万有引力定律及其应用
第5章 万有引力定律及其应用
太阳
相等
立方
平方
相互吸引
两物体的连线
正比
两质点
相距1m
相同性质
卡文迪许
扭秤
万有引力定律
能称出地球质量的人
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人
第5章
DI WU ZHANG
万有引力定律及其应用
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
R
F
第1节 万有引力定律及引力常量的测定
[随堂检测][学生用书P74]
1．(多选)关于开普勒第三定律的表达式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C．行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为r地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为r月，周期为T月，则eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)
解析：选AC.＝k中k是一个与行星无关的量，它是由中心天体(太阳)的质量所决定的一个恒量；T是公转周期；＝k是指围绕中心天体(太阳)运行的行星的周期与轨道半长轴的关系；对于不同的中心天体，k是不同的．
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有天体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两质点间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选C.任何物体间都存在相互作用的引力，但万有引力定律只适用于能看作质点的物体间的引力计算，A、B错误；由F＝G可知，r越小，F越大，C正确；万有引力常量的大小首先是由卡文迪许准确地测出来的，D错误．
3．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确．
4．“嫦娥五号”按计划将于2017年在南海发射，设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
解析：(1)万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，则有
G＝m(R＋h)
得M＝.
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G＝mg，得g＝.
(3)由ρ＝，V＝πR3，得ρ＝.
答案：(1) (2) (3)
5．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定，月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
解析：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
＝m行r①
于是有＝M太②
即k＝M太．③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得＝M地④
代入题给数据解得M地≈6×1024 kg.
答案：(1)k＝M太 (2)6×1024 kg
[课时作业][学生用书P130(单独成册)]
一、单项选择题
1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下面说法中正确的是( )
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
解析：选D.根据物理学史可知，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量，故D正确．
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C.由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确．对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．
3．要使两物体间的万有引力增大到原来的4倍，下列办法可行的是( )
A．两物体的间距不变，质量各变为原来的2倍
B．两物体的间距变为原来的，质量各变为原来的2倍
C．质量之积和距离都变为原来的2倍
D．质量之积和距离都变为原来的
解析：选A.根据F＝G，要使F增大到原来的4倍，A中r不变，而m1、m2各变为原来的2倍，可行；B中变化会使F变为原来的16倍，不可行；C中F会变为原来的，不可行；D中F会变为原来的2倍，不可行．故选A.
4．地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
解析：选C.根据万有引力定律F∝，地球半径R地＝6 400 km，物体在6 400 km高空，距离加倍，引力减小到原来的.
5．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半长轴之比等于( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：选B.根据开普勒第三定律有eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)，则＝ eq \r(3,\f(T,T)) ＝ ＝ ＝，故选B.
6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析：选D.近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝mR，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3，解两式得：ρ＝≈5.6×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ′＝5.6×103× kg/m3≈2.98×104 kg/m3，选项D正确．
二、多项选择题
7．对于引力常量G的理解，下列说法中正确的是( )
A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
解析：选ACD.根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G＝F，故A正确．G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kg·s2)，G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．
8．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC.应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．
9．英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知引力常量，还需知道哪些信息才可以计算该行星的质量( )
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与行星的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
解析：选CD.设该行星表面某一物体的质量为m，由G＝mg得，M＝，R为该行星的半径，所以选项A错误；卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得：G＝m＝mrω2＝mr，若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度ω或线速度v，可求得中心天体的质量为M＝＝＝，所以选项B错误，选项C正确；又v＝，即r＝，则M＝，选项D正确．
三、非选择题
10．假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比为＝p，火星的半径和地球的半径之比为＝q，则它们表面处的重力加速度之比为________．
解析：在不考虑星球自转的情况下，可认为星球表面处物体所受的重力与万有引力相等，即mg＝G，可得g＝G，对地球有g地＝Geq \f(M地,R)，对火星有g火＝Geq \f(M火,R)，联立解得＝·eq \f(R,R)＝.
答案：
11．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝4R，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．已知引力常量为G.求：
(1)月球的质量．
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间．
解析：(1)设月球的质量为M，对月球表面上质量为m′的物体有G＝m′g0
得M＝.
(2)设飞船的质量为m，对于圆形轨道Ⅰ的飞船运动有G＝meq \f(v,4R)解得飞船在轨道Ⅰ运动的速率为v1＝ .
(3)设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T有mg0＝mR
解得T＝2π .
答案：(1) (2) (3)2π
12.
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球
半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′.
由牛顿第二定律得mg－mg′＝m×
解得g′＝g①
由万有引力定律知G＝mg②
G＝mg′③
由①②③联立得h＝.
答案：
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5
第1节 万有引力定律及引力常量的测定
1.了解开普勒三定律的内容． 2.掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题．
3．了解引力常量G，并掌握其测定方法及意义．
[学生用书P71]
一、行星运动的规律
定律 内容 公式或图示
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量
(1)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的．( )
(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动．( )
(3)行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比．
2．适用条件：两质点之间．
3．表达式：F＝G
(1)r是两质点的距离．(若为匀质球体则是两球心的距离)．
(2)G为引力常量，在数值上等于两个质量都为1 kg的物体相距1_m时相互吸引力的大小．
4．“月—地”检验：证明了地球与物体间的引力与天体间的引力具有相同性质．
1．假设将一质量为m的物体放入地心，根据公式F＝G.可知，由于r＝0，所以地球与此物体之间的万有引力F→∞，请分析此结论是否正确？
提示：不正确．因为r→0时，万有引力公式F＝G已经不再适用．
三、引力常量的测定及其意义
1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地测出了引力常量．
2．意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．
3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．
2．卡文迪许实验装置测出了非常微小的引力，从而算出了引力常量G.你认为该装置的巧妙体现在哪些方面？提示：扭秤装置把微小力转变成力矩来反映(一次放大)，扭转角度又通过光标的移动来反映(二次放大)，让两个球m′同时吸引两个球m(三次放大)，从而为确定物体间微小的万有引力提供了较精确的实验，开创了弱力测量的新时代．
对开普勒定律的理解[学生用书P72]
1．开普勒第一定律：说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道虽然不同，但有一个共同的焦点．
2．开普勒第二定律：行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小．
3．开普勒第三定律
(1)开普勒第三定律的表达式：＝k，其中r是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个常量，与行星无关但与中心天体的质量有关．
(2)开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，此时，k只与地球的质量有关．
(3)椭圆轨道近似看成圆轨道时，r为圆轨道的半径．
命题视角1 对开普勒三定律内容的考查
开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率越大
C．所有行星绕太阳运动的轨道半长轴的平方与周期的三次方的比值都相等
D．开普勒独立完成了行星的运行数据测量、分析、发现行星运动规律等全部工作
[解析] 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；根据开普勒第二定律，对每一颗行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．所以对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大，故B正确；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故C错误；第谷观测了行星的运行，积累了大量数据，开普勒整理和研究了他的观测数据，发现了行星运动规律，故D错误．
[答案] B
命题视角2 公式＝k的应用
有一个名叫谷神的小行星，质量为m＝1.00×1021 kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的2.77倍，求它绕太阳运动一周所需要的时间．
[解题探究] (1)地球绕太阳运动一周的时间是多少？
(2)公式＝k中各符号的意义是什么？
(3)公式＝k中k的数值由什么决定？
[解析] 假设地球绕太阳运动的轨道半径为R0，则谷神绕太阳运动的轨道半径为R＝2.77R0.
已知地球绕太阳运动的周期为T0＝365天
即T0＝31 536 000 s
依据＝k可得：
对地球绕太阳运动有：eq \f(R,T)＝k
对谷神绕太阳运动有：＝k
联立上述两式解得：T＝ eq \r(\f(R3,R))·T0
将R＝2.77R0代入上式解得：T＝ T0
所以谷神绕太阳一周所用时间为：
T＝ T0≈1.45×108 s.
[答案] 1.45×108 s
(1)开普勒三大定律是对行星绕太阳运动规律的总结，该结论对卫星绕行星的运动情况也成立．
(2)对于同一行星的不同卫星，圆轨道半径的立方与运动周期的平方之比等于常量，且该常量(由中心天体决定)与卫星无关．
万有引力与万有引力定律的应用[学生用书P72]
1．公式F＝G的适用条件
(1)两个质点间，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可看成质点．
(2)两个质量分布均匀的球体间，r是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点间，r是球心到质点的距离．
2．万有引力的三个特性
(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律．
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力很小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．
3．重力和万有引力的关系
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2.
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G.
(3)其他位置：如图所示，重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg 命题视角1 万有引力定律的理解
对于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，是人为规定的
B．r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力
D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
[解析] 万有引力公式中引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，所以选项A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，r为两质点间的距离，而认为r趋于零，万有引力趋于无穷大的纯数学思想是不正确的，故选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，是分别作用在相互作用的物体m1和m2上的，不可能是平衡力，所以选项C正确，选项D错误．
[答案] C
命题视角2 万有引力与重力的关系
对于在地球上的物体所受的重力和地球对它的引力的关系，下列说法中正确的是( )
A．这两个力是同一个力
B．在忽略地球的自转影响时，重力就是定值，与物体所处的高度和纬度都无关
C．由于地球的自转，物体在纬度越高的地方，重力越大
D．由于物体随地球自转，则物体处在纬度越高的地方，重力越小
[解析] 重力是物体受到的地球引力的一个分力，在不考虑地球自转的影响时，物体所受到的重力才认为等于物体受到的地球引力，而引力是与两物体位置有关的力，当物体距地面越高时，所受的引力越小，因而物体的重力也应越小，而并非是在不考虑物体随地球自转的影响时，重力就是恒定的值了，选项A、B错误；随着纬度的升高，重力将变大，选项C正确，D错误．
[答案] C
命题视角3 万有引力的计算
有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大(引力常量为G)?
[解析] 设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看作是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′，由题意知M′＝，
r′＝
由万有引力定律得
F1＝G＝G， F2＝G＝G
故F＝F1－F2＝.
[答案]
【通关练习】
1．如图所示，操场两边放着半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2的篮球和足球，二者直线间距为r，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B．Geq \f(m1m2,r)
C．G D．G
解析：选D.操场两边的篮球和足球可以视为两个质点，这两个质点间的距离为两球心间的距离，即r＝r1＋r＋r2，由万有引力公式F＝G可知，两球间的万有引力大小为F＝G.故选项D正确．
2．如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为2R，如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在距离为d的地方，求两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)?
解析：根据填补法可得左侧球充满时两球间万有引力
F＝
半径为R的球体对m有F1＝
被割掉的质量m＝
则被割后两球之间的引力F2＝F－F1＝.
答案：
应用万有引力定律的三点注意
(1)求两个质点间的万有引力．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，这时公式中的r表示两质点间的距离．
(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力．这时公式中的r为两个球心间的距离．
(3)当被研究物体不能看成质点，也不是均匀球体时，可以把两个物体假想分割成无数个质点，先求出一个物体上每个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力.
天体质量和密度的估算[学生用书P74]
1．天体质量的计算
(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”．
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：G＝mr?M＝，已知绕行天体的r和T可以求M.
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝.
特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量．
(2)要注意R、r的区分．一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R＝r.
命题视角1 天体质量的估算
过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1
C．5 D．10
[解析] 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝·＝×≈1，选项B正确．
[答案] B
命题视角2 天体密度的估算
假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A.· B.·
C. D.·
[解析] 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体
在赤道上时，mg＋mR＝G，则ρ＝＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
[答案] B
求解天体的质量和密度的两种思路
(1)利用绕天体做匀速圆周运动的卫星的运动参量求解，即根据卫星做匀速圆周运动的向心力由天体对卫星的万有引力提供来列式求解．
(2)根据天体表面物体的重力近似等于天体对物体的万有引力列式求解．
[随堂检测][学生用书P74]
1．(多选)关于开普勒第三定律的表达式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C．行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为r地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为r月，周期为T月，则eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)
解析：选AC.＝k中k是一个与行星无关的量，它是由中心天体(太阳)的质量所决定的一个恒量；T是公转周期；＝k是指围绕中心天体(太阳)运行的行星的周期与轨道半长轴的关系；对于不同的中心天体，k是不同的．
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有天体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两质点间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选C.任何物体间都存在相互作用的引力，但万有引力定律只适用于能看作质点的物体间的引力计算，A、B错误；由F＝G可知，r越小，F越大，C正确；万有引力常量的大小首先是由卡文迪许准确地测出来的，D错误．
3．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确．
4．“嫦娥五号”按计划将于2017年在南海发射，设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
解析：(1)万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，则有
G＝m(R＋h)
得M＝.
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G＝mg，得g＝.
(3)由ρ＝，V＝πR3，得ρ＝.
答案：(1) (2) (3)
5．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定，月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
解析：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
＝m行r①
于是有＝M太②
即k＝M太．③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得＝M地④
代入题给数据解得M地≈6×1024 kg.
答案：(1)k＝M太 (2)6×1024 kg
[课时作业][学生用书P130(单独成册)]
一、单项选择题
1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下面说法中正确的是( )
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
解析：选D.根据物理学史可知，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量，故D正确．
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C.由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确．对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．
3．要使两物体间的万有引力增大到原来的4倍，下列办法可行的是( )
A．两物体的间距不变，质量各变为原来的2倍
B．两物体的间距变为原来的，质量各变为原来的2倍
C．质量之积和距离都变为原来的2倍
D．质量之积和距离都变为原来的
解析：选A.根据F＝G，要使F增大到原来的4倍，A中r不变，而m1、m2各变为原来的2倍，可行；B中变化会使F变为原来的16倍，不可行；C中F会变为原来的，不可行；D中F会变为原来的2倍，不可行．故选A.
4．地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
解析：选C.根据万有引力定律F∝，地球半径R地＝6 400 km，物体在6 400 km高空，距离加倍，引力减小到原来的.
5．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半长轴之比等于( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：选B.根据开普勒第三定律有eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)，则＝ eq \r(3,\f(T,T)) ＝ ＝ ＝，故选B.
6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析：选D.近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝mR，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3，解两式得：ρ＝≈5.6×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ′＝5.6×103× kg/m3≈2.98×104 kg/m3，选项D正确．
二、多项选择题
7．对于引力常量G的理解，下列说法中正确的是( )
A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
解析：选ACD.根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G＝F，故A正确．G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kg·s2)，G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．
8．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC.应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．
9．英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知引力常量，还需知道哪些信息才可以计算该行星的质量( )
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与行星的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
解析：选CD.设该行星表面某一物体的质量为m，由G＝mg得，M＝，R为该行星的半径，所以选项A错误；卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得：G＝m＝mrω2＝mr，若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度ω或线速度v，可求得中心天体的质量为M＝＝＝，所以选项B错误，选项C正确；又v＝，即r＝，则M＝，选项D正确．
三、非选择题
10．假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比为＝p，火星的半径和地球的半径之比为＝q，则它们表面处的重力加速度之比为________．
解析：在不考虑星球自转的情况下，可认为星球表面处物体所受的重力与万有引力相等，即mg＝G，可得g＝G，对地球有g地＝Geq \f(M地,R)，对火星有g火＝Geq \f(M火,R)，联立解得＝·eq \f(R,R)＝.
答案：
11．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝4R，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．已知引力常量为G.求：
(1)月球的质量．
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间．
解析：(1)设月球的质量为M，对月球表面上质量为m′的物体有G＝m′g0
得M＝.
(2)设飞船的质量为m，对于圆形轨道Ⅰ的飞船运动有G＝meq \f(v,4R)解得飞船在轨道Ⅰ运动的速率为v1＝ .
(3)设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T有mg0＝mR
解得T＝2π .
答案：(1) (2) (3)2π
12.
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球
半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′.
由牛顿第二定律得mg－mg′＝m×
解得g′＝g①
由万有引力定律知G＝mg②
G＝mg′③
由①②③联立得h＝.
答案：
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