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第5章 万有引力定律及其应用
第5章 万有引力定律及其应用
足够大
三级
匀速圆周
万有引力
7.9
环绕
脱离
地球
逃逸
万有引力定律
海王
匀速圆周
第谷
万有引力定律
牛顿三大定律
前苏联
月球
杨利伟
本部分内容讲解结束
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人
进入轨道
D
转弯飞行
B-C
秀真越
地面
甲
乙
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
C
第2节 万有引力定律的应用 第3节 人类对太空的不懈追求
[随堂检测][学生用书P79]
1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．是在地面上发射卫星的最小速度
B．是地球卫星做匀速圆周运动的最小运行速度
C．其数值为7.9 m/s
D．其数值为11.2 km/s
解析：选A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，其值为7.9 km/s，故B、C、D错误，A正确．
2．
如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝ B.＝
C.＝()2 D.＝()2
解析：选A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ .所以对于a、b两颗人造卫星有＝ ，故选项A正确．
3.
如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3
C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1
解析：选D.空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a＝r知，a2>a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，可知a3>a2，故选项D正确．
4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
解析：选B.
设双星质量各为m1、m2，相距L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，则
G＝
G＝
r1＋r2＝L
可得＝
T＝
所以T′＝T.
故B正确，A、C、D错误．
5．为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，引力常量为G，在不考虑自转的情况下，求解以下问题：(以下结果均用字母表达即可)
(1)卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度；
(2)假设“高锟星”为一均匀球体，试求“高锟星”的平均密度；
(3)假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距“高锟星”表面的高度．
解析：(1)第一宇宙速度是近“地”卫星的运行速度，满足万有引力提供圆周运动向心力，而在星球表面重力与万有引力相等，有G＝mg＝meq \f(v,R)
可得卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为v1＝ .
(2)根据星球表面重力与万有引力相等有G＝mg
可得高锟星的质量为M＝
根据密度公式有，该星的平均密度为ρ＝＝＝.
(3)设卫星质量为m0，轨道半径为r，
根据题意有G＝m0r
由(2)得M＝
所以可得卫星的轨道半径为r＝
所以卫星距“高锟星”表面的高度为
h＝r－R＝ －R.
答案：(1) (2) (3) －R
[课时作业][学生用书P132(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是( )
A．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度的大小可以不同
C．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内
D．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
解析：选D.地球同步卫星的轨道为赤道上方的圆轨道，所有地球同步卫星的速率、角速度、周期、向心加速度等大小都相同．选项D正确．
2．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c的轨道位于同一平面．某时刻四颗人造卫星的运行方向及位置如图所示．下列说法中正确的是( )
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在相撞危险
解析：选A.根据a、c的轨道相交于P，说明两颗卫星轨道半径相等，a、c加速度大小相等，且大于b的加速度，选项A正确；a、c的角速度大小相等，且大于b的角速度，选项B错误；a、c的线速度大小相等，且大于d的线速度，选项C错误；由于a、c的轨道半径相等，则周期相等，不存在相撞的危险，选项D错误．
3．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍．那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的( )
A.倍 B.
C. D．2倍
解析：选B.因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度，此时卫星的轨道半径近似认为是地球的半径，且地球对卫星的万有引力充当向心力．故有公式＝成立，解得v＝，因此，当M不变、R增加为2R时，v减小为原来的，即选项B正确．
4．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为 ( )
A. B.eq \f(4πr,GT2)
C. D.
解析：选D.取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m1r1，得m2＝，D正确．
5．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
解析：选A.地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．由＝，得v＝ ，r增大，v减小，C错误．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
6．登上火星是人类的梦想．“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B.火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝m a知，因r火＞r地，而＝，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火＜a地，故选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝eq \f(G M地,R)，火星表面的重力加速度g火＝eq \f(G M火,R)，代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝ ，v火＝ ，v地＞v火，故选项D错误．
二、多项选择题
7．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析：选BD.探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G＝m，得v＝ ，则摆脱星球引力时的发射速度v＝ ，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G＝，比火星对探测器的引力F2＝G大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1＝ ＝ ，脱离火星时的发射速度v2＝ ，v2＜v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确．
8．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
解析：选AC.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有
F＝F向
F＝G
F向＝m＝mω2r＝mr
因而G＝m＝mω2r＝mr＝ma
解得v＝①
T＝＝2π ②
a＝③
由①②③式可以知道，人造卫星的轨道半径越大，线速度越小，周期越大，加速度越小，由于甲卫星的高度大，轨道半径大，故甲卫星的线速度小，周期大，加速度小；根据①式，第一宇宙速度是近地圆轨道的环绕速度，也是圆轨道运行的最大速度；地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内，A、C对．
9．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
解析：选BD.设月球表面的重力加速度为g月，则＝eq \f(\f(GM月,R),\f(GM地,R))＝·eq \f(R,R)＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2.由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝＝ m/s≈3.7 m/s，选项A错误．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103 N，选项B正确．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则＝＝＝ <1，故v110．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1；地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选AD.设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有
a1＝ωr，a2＝ωR，ω1＝ω2
故＝，可知选项A正确，B错误．
由万有引力定律得
对同步卫星：G＝m1eq \f(v,r)
对近地卫星：G＝m2′eq \f(v,R)
由以上两式解得＝，可知选项D正确，C错误．
三、非选择题
11．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M.
在地球表面附近满足G＝mg，得GM＝R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
meq \f(v,R)＝G②
由①②两式，得到v1＝.
(2)卫星受到的万有引力为
F＝G＝③
由牛顿第二定律知F＝m(R＋h)④
由③④式联立解得T＝ .
答案：(1) (2)
12.
石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若”太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g＝10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.
解析：(1)设货物相对地心的距离为r1，线速度为v1，则
r1＝R＋h1①
v1＝r1ω②
货物相对地心的动能
Ek＝m1v③
联立①②③式得
Ek＝m1ω2(R＋h1)2.④
(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则
r2＝R＋h2⑤
an＝ω2r2⑥
F＝Geq \f(m2M,r)⑦
g＝⑧
设水平地板对人的支持力大小为N，人对水平地板的压力大小为N′，则
F－N＝m2an⑨
N′＝N⑩
联立⑤～⑩式并代入数据得
N′≈11.5 N.
答案：(1)m1ω2(R＋h1)2 (2)11.5 N
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第2节 万有引力定律的应用 第3节 人类对太空的不懈追求
1.了解卫星的发射、运行等情况． 2.掌握第一宇宙速度的含义并会计算；了解第二宇宙速度和第三宇宙速度． 3.掌握研究天体(或卫星)运动的基本方法，并能用万有引力定律解决相关问题． 4.了解人类探索太空的历史、现状及其未来发展的方向．
[学生用书P75]
一、人造卫星上天
1．人造地球卫星的发射原理
(1)牛顿设想：如图甲所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星．
(2)发射过程简介：如图乙所示，发射人造地球卫星的火箭一般为三级．使卫星进入地球轨道的大致过程也为三个阶段．
2．动力学特点：一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其向心力由地球对它的万有引力提供．
3．卫星环绕地球运动的规律
由G＝m可得v＝ ．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度：v1＝7.9 km/s，又称环绕速度，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度．
(2)第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，又称脱离速度，是人造卫星脱离地球引力所需的速度．
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，又称逃逸速度，是人造卫星脱离太阳引力所需的速度．
5．预测未知天体：在观测天王星时，发现其实际轨道与由万有引力定律计算的轨道不吻合，由此预测存在另一行星，这就是后来发现的海王星．
(1)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s.( )
(2)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.( )
(3)要发射一颗月球人造卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s.( )
提示：(1)× (2)√ (3)×
二、人类对太空的不懈追求
1．古代的两种学说：地心说和日心说．
局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符．
2．牛顿的大综合：牛顿在前人的基础上，逐步建立了万有引力定律，将地面上的力学与天上的力学统一起来，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大定律为基础的力学体系．
3．对太空的探索
1957年10月前苏联成功发射了第一颗人造卫星；
1969年7月美国“阿波罗”11号登上月球；
2003年10月我国航天员杨利伟踏入太空，开启了我国探索太空的新纪元．
地心说和日心说是两种截然不同的观点，现在看来这两种观点哪一种是正确的？
提示：两种观点受人们意识的限制，是人类发展到不同历史时期的产物．两种观点都具有历史局限性，现在看来都是不完全正确的．
对三个宇宙速度的理解[学生用书P76]
1．人造卫星的发射速度与运行速度
(1)发射速度：在地面上发射卫星时卫星离开发射装置时的初速度．人造卫星的轨道半径越大，火箭要克服地球对它的引力做功越多，发射速度就越大．因此要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．
(2)运行速度：卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”地面行动时，运行速度等于第一宇宙速度，根据v＝ 可知，人造卫星距地面越高(即r越大)，运行速度越小．
2．三个宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①又叫环绕速度，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，其大小为7.9 km/s.
②推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则
(2)第二宇宙速度(脱离速度)：在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力作用，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为16.7 km/s.
命题视角1 三种宇宙速度的理解
(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
[解析] 根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为绕太阳运行的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确．
[答案] CD
命题视角2 第一宇宙速度的计算
“嫦娥三号”探月卫星的成功发射是我国航天史上的又一里程碑，假设探月卫星“嫦娥三号”的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
[解题探究] (1)卫星的运行速度由哪些物理量决定？
(2)月球和地球的质量和半径之间的关系？
[解析] 对于环绕地球或月球运动的人造卫星，其所受的万有引力即为它们做圆周运动所需要的向心力，即G＝m，所以v＝ .第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径．所以＝ ＝＝，所以v月＝v地＝×7.9 km/s≈1.8 km/s.故正确答案为B.
[答案] B
(1)利用万有引力提供向心力是解决卫星运行问题的关键．
(2)解题时应明确质量和半径、宇宙速度之间的关系．
(3)计算第一宇宙速度的两种方法
①由G＝m得：v＝ .
②由mg＝m得：v＝.
人造卫星的运行规律及其应用[学生用书P77]
1．轨道及特点
(1)轨道：赤道轨道、极地轨道及其他轨道．如图所示．
(2)特点：所有的轨道圆心都在地心．
2．处理思路及规律：将人造卫星视为绕地球(或其他天体)做匀速圆周运动，所需向心力等于地球(或其他天体)对卫星的万有引力，即：G＝m＝mω2r＝mr＝ma.
所以v＝ ，r越大，v越小，
ω＝ ，r越大，ω越小，
T＝2π ，r越大，T越大，
a＝，r越大，a越小．
命题视角1 卫星轨道问题分析
(多选)如图中的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，b、c的圆心与地心重合，d是与地球表面上某一经线所决定的圆的共面同心圆，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言( )
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．卫星的轨道可能为d
[解析] 卫星运动过程中万有引力完全提供向心力，故地心必须是卫星轨道的圆心，因此轨道a是不可能的，而轨道b、c均是可能的轨道，故选项A错误，选项B、C正确；而轨道d虽然满足卫星轨道的圆心与地心重合，但由于地球自转，轨道平面不会固定于某一经线决定的平面，故选项D错误．
[答案] BC
命题视角2 卫星运行规律的应用
假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
[解题探究] 描述卫星运动的周期、线速度、角速度和加速度的大小与哪些物理量有关？
[解析] 根据G＝mr＝m＝man＝mω2r得，公转周期T＝2π ，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝ ，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度an＝，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝ ，故地球公转的角速度较大，选项D正确．
[答案] D
不同的行星(或者卫星)绕同一个中心天体做匀速圆周运动时，在半径小的低轨道上，线速度、角速度、加速度均大，周期小，即所谓“低轨、高速、小周期”．记住此口诀，可快速求解该类题目．
同步卫星问题[学生用书P77]
1．同步卫星：指相对于地面静止的卫星，又叫通讯卫星．
2．六个“一定”
(1)运行方向一定：同步卫星的运行方向与地球的自转方向一致；
(2)周期一定：运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h；
(3)角速度一定：等于地球自转角速度；
(4)轨道平面一定：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内；
(5)高度一定：所有同步卫星离地面高度相同，均为36 000 km；
(6)速率一定：所有同步卫星的环绕速度相同．
(1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同；但因质量可能不同，所受万有引力(向心力)可能不同．
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止．
我国第16颗北斗卫星“北斗?G6”已送入太空，并定点于地球静止轨道东经110.5°.北斗系统将首先具备为亚太地区提供高精度、高可靠定位、导航、授时等服务，其定位精度优于20 m，授时精度优于100 ns.关于这颗“北斗?G6”卫星，以下说法中正确的有( )
A．这颗卫星轨道平面与东经110.5°的经线平面重合
B．通过地面控制可以将这颗卫星定点于杭州正上方
C．这颗卫星的线速度大小比离地约343 km高的“天宫一号”目标飞行器线速度要大
D．这颗卫星的周期一定等于地球自转周期
[解析] 定点于地球静止轨道的第16颗北斗卫星“北斗?G6”是同步卫星，卫星轨道平面在赤道平面上，卫星的周期一定等于地球自转周期，选项A错误、选项D正确；不能通过地面控制将这颗卫星定点于杭州正上方，选项B错误；这颗卫星的线速度大小比离地约343 km高的“天宫一号”目标飞行器线速度要小，选项C错误．
[答案] D
1.(多选)用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则地球通信卫星所受万有引力的大小为( )
A．零 B．m
C．m D．mg
解析：选BC.物体在地球表面的重力近似等于万有引力的大小，即mg＝G.当地球通信卫星在距离地面高h处运行时，其万有引力大小F＝m，选项B正确，A、D错误；另外，同步卫星与地球自转角速度相等，因此mω2(R＋h)＝m，所以R＋h＝ ，F＝mω2(R＋h)＝m ，故选项C正确．
多星模型[学生用书P78]
由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
[解析] (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA＝2G.
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB＝G＝G，
FCB＝G＝G，方向如图所示．
由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G，FBy＝FABsin 60°＝G，可得FB＝eq \r(F＋F)＝G.
(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝ ，可得RC＝a.
(或由对称性可知OB＝OC＝RC，cos ∠OBD＝＝＝，得RC＝a)
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝mRC，可得T＝π .
[答案] (1)2G (2)G (3)a
(4)π
(1)模型特点：宇宙中，由于天体之间的相互作用而呈现出诸如双星、三星、四星等组成的系统，在这些天体系统中，只考虑系统内各天体之间的万有引力作用，不考虑系统外天体对它们的万有引力作用．
(2)解题规律
求解这类问题时应把握两个关键点：
①求出某一天体所受系统内各个天体对其万有引力的合力，根据牛顿第二定律列方程；
②根据几何关系找出系统内各天体做圆周运动的半径．
2.
如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的
周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
解析：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.
根据万有引力定律有
F＝G ①
由匀速圆周运动的规律得
F＝mr ②
F＝MR ③
由题意有L＝R＋r ④
联立①②③④式得
T＝2π . ⑤
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
G＝m′L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得
T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得，＝1＋
代入题给数据得≈1.012.
答案：(1)2π (2)1.012
[随堂检测][学生用书P79]
1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．是在地面上发射卫星的最小速度
B．是地球卫星做匀速圆周运动的最小运行速度
C．其数值为7.9 m/s
D．其数值为11.2 km/s
解析：选A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，其值为7.9 km/s，故B、C、D错误，A正确．
2．
如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝ B.＝
C.＝()2 D.＝()2
解析：选A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ .所以对于a、b两颗人造卫星有＝ ，故选项A正确．
3.
如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3
C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1
解析：选D.空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a＝r知，a2>a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，可知a3>a2，故选项D正确．
4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
解析：选B.
设双星质量各为m1、m2，相距L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，则
G＝
G＝
r1＋r2＝L
可得＝
T＝
所以T′＝T.
故B正确，A、C、D错误．
5．为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，引力常量为G，在不考虑自转的情况下，求解以下问题：(以下结果均用字母表达即可)
(1)卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度；
(2)假设“高锟星”为一均匀球体，试求“高锟星”的平均密度；
(3)假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距“高锟星”表面的高度．
解析：(1)第一宇宙速度是近“地”卫星的运行速度，满足万有引力提供圆周运动向心力，而在星球表面重力与万有引力相等，有G＝mg＝meq \f(v,R)
可得卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为v1＝ .
(2)根据星球表面重力与万有引力相等有G＝mg
可得高锟星的质量为M＝
根据密度公式有，该星的平均密度为ρ＝＝＝.
(3)设卫星质量为m0，轨道半径为r，
根据题意有G＝m0r
由(2)得M＝
所以可得卫星的轨道半径为r＝
所以卫星距“高锟星”表面的高度为
h＝r－R＝ －R.
答案：(1) (2) (3) －R
[课时作业][学生用书P132(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是( )
A．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度的大小可以不同
C．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内
D．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
解析：选D.地球同步卫星的轨道为赤道上方的圆轨道，所有地球同步卫星的速率、角速度、周期、向心加速度等大小都相同．选项D正确．
2．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c的轨道位于同一平面．某时刻四颗人造卫星的运行方向及位置如图所示．下列说法中正确的是( )
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在相撞危险
解析：选A.根据a、c的轨道相交于P，说明两颗卫星轨道半径相等，a、c加速度大小相等，且大于b的加速度，选项A正确；a、c的角速度大小相等，且大于b的角速度，选项B错误；a、c的线速度大小相等，且大于d的线速度，选项C错误；由于a、c的轨道半径相等，则周期相等，不存在相撞的危险，选项D错误．
3．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍．那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的( )
A.倍 B.
C. D．2倍
解析：选B.因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度，此时卫星的轨道半径近似认为是地球的半径，且地球对卫星的万有引力充当向心力．故有公式＝成立，解得v＝，因此，当M不变、R增加为2R时，v减小为原来的，即选项B正确．
4．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为 ( )
A. B.eq \f(4πr,GT2)
C. D.
解析：选D.取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m1r1，得m2＝，D正确．
5．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
解析：选A.地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．由＝，得v＝ ，r增大，v减小，C错误．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
6．登上火星是人类的梦想．“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B.火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝m a知，因r火＞r地，而＝，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火＜a地，故选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝eq \f(G M地,R)，火星表面的重力加速度g火＝eq \f(G M火,R)，代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝ ，v火＝ ，v地＞v火，故选项D错误．
二、多项选择题
7．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析：选BD.探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G＝m，得v＝ ，则摆脱星球引力时的发射速度v＝ ，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G＝，比火星对探测器的引力F2＝G大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1＝ ＝ ，脱离火星时的发射速度v2＝ ，v2＜v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确．
8．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
解析：选AC.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有
F＝F向
F＝G
F向＝m＝mω2r＝mr
因而G＝m＝mω2r＝mr＝ma
解得v＝①
T＝＝2π ②
a＝③
由①②③式可以知道，人造卫星的轨道半径越大，线速度越小，周期越大，加速度越小，由于甲卫星的高度大，轨道半径大，故甲卫星的线速度小，周期大，加速度小；根据①式，第一宇宙速度是近地圆轨道的环绕速度，也是圆轨道运行的最大速度；地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内，A、C对．
9．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
解析：选BD.设月球表面的重力加速度为g月，则＝eq \f(\f(GM月,R),\f(GM地,R))＝·eq \f(R,R)＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2.由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝＝ m/s≈3.7 m/s，选项A错误．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103 N，选项B正确．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则＝＝＝ <1，故v110．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1；地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选AD.设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有
a1＝ωr，a2＝ωR，ω1＝ω2
故＝，可知选项A正确，B错误．
由万有引力定律得
对同步卫星：G＝m1eq \f(v,r)
对近地卫星：G＝m2′eq \f(v,R)
由以上两式解得＝，可知选项D正确，C错误．
三、非选择题
11．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M.
在地球表面附近满足G＝mg，得GM＝R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
meq \f(v,R)＝G②
由①②两式，得到v1＝.
(2)卫星受到的万有引力为
F＝G＝③
由牛顿第二定律知F＝m(R＋h)④
由③④式联立解得T＝ .
答案：(1) (2)
12.
石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若”太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g＝10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.
解析：(1)设货物相对地心的距离为r1，线速度为v1，则
r1＝R＋h1①
v1＝r1ω②
货物相对地心的动能
Ek＝m1v③
联立①②③式得
Ek＝m1ω2(R＋h1)2.④
(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则
r2＝R＋h2⑤
an＝ω2r2⑥
F＝Geq \f(m2M,r)⑦
g＝⑧
设水平地板对人的支持力大小为N，人对水平地板的压力大小为N′，则
F－N＝m2an⑨
N′＝N⑩
联立⑤～⑩式并代入数据得
N′≈11.5 N.
答案：(1)m1ω2(R＋h1)2 (2)11.5 N
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