苏科版八下数学第12章二次根式考点 易错整理学案

第12章《二次根式》考点+易错整理
知识梳理

重难点分类解析
考点1 二次根式的概念和性质
【考点解读】一般地，式子叫做二次根式，叫做被开方数，被开方数为非负数.这是中考重要考点之一.二次根式的性质是二次根式化简计算的依据，其性质有两个:一是当时，;二是.在中考中多以计算的形式出现在选择题或填空题中.
例1 (2018·苏州)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )

分析:由题意，得，解得.在数轴上表示是在点-2处取向右的方向，-2处用实心点圆.
答案:D
【规律·技法】要使一个代数式有意义，在确定字母的取值范围时，若含有分式，则分母不为0;若含有二次根式，则被开方数为非负数.
【反馈练习】
1.若有意义，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
点拨:二次根式的被开方数大于或等于0，且分母不为零.
2.已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是( )

A. B. C. 3 D.-3
点拨:由数轴可知与的符号，从而进行化简.
考点2 二次根式的乘除
【考点解读】二次根式的乘除主要运算公式有，这两个公式是将二次根式进行化简计算的依据，二次根式化简后要求化为最简二次根式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根式.中考中本知识点常以选择题形式出现.
例2 下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
分析:A.被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意;B.被开方数含能开得尽方的因数，故B不符合题意;C.被开方数含能开得尽方的因数，故C不符合题意;D。被开方数含分母，故D不符合题意.
答案:A
【规律·技法】最简二次根式必须满足三个条件:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;被开方数中不含分母;分母中不含有根号.
【反馈练习】
3. (2018·镇江) = .
点拨:利用二次根式的乘法法则可得.
4.下列各式中，错误的是( )
A. B. C. D.
点拨:利用二次根式的性质和乘除法则求解.
考点3 二次根式的加减
【考点解读】二次根式的加减运算的本质即为二次根式的化简，然后合并同类二次根式.进行二次根式混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用.中考主要以简单的计算题为主，属于简单题型.
例3 计算: = .
分析:原式=.
答案:
【规律·技法】二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算，最后合并同类二次根式.
【反馈练习】
5.计算:
(1) ; (2) .
点拨:利用二次根式的性质和混合运算法则求解.
6.计算:
(1) ; (2) .


点拨:利用二次根式的运算法则求解.
考点4 二次根式的化简求值
【考点解读】二次根式的化简求值，主要利用二次根式的性质及运算法则.中考要求较低，一般以选择题或填空题的形式出现.
例4 已知，则的值为( )
A.2 B. 4 C. 5 D. 7
分析:
答案:B
【规律·技法】二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键.
【反馈练习】
7.如果为有理数)，那么等于( )
A. B. 8 C. D. 10
点拨:由二次根式的乘法运算求解.
8.已知，求代数式的值.



点拨:先分别对分母有理化，再代入求解.
考点5 二次根式的应用
【考点解读】二次根式的应用比较广泛，有关数学类计算均可涉及，应用过程主要体现二次根式的化简与计算过程，难度比较低，属于简单的计算题.
例5 已知的两边长和分别为2和，且第三边上的高等于，则的面积是( )
A. B. 2 C. 或2 D.不能确定
分析:由题意，得.
所以.
如图①，;
如图②, 的面积是2或.

答案:C
【规律·技法】二次根式的应用是初中阶段数学重要的计算题型之一，常渗透于匀股定理计算、面积计算和化简求值题中，计算的主要依据是二次根式的性质.
【反馈练习】
9. (2018·无锡模拟)现将某一长方形纸片的长增加cm，宽增加cm，就成为一个面
积为128 cm2的正方形纸片，则原来长方形纸片的面积是( )
A. 18 cm2 B. 20 cm2 C. 36 cm2 D. 48 cm2
点拨:由正方形纸片的面积求得正方形纸片的边长，再通过二次根式的加减运算，求出长方形纸片的长和宽，进而求出长方形纸片的面积.
10. (2018·威海)如图，将矩形 (纸片)折叠，使点与边上的点重合，为
折痕;点与边上的点重合，为折痕，已知，求的长.

点拨:由折叠的性质，得折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
易错题辨析
易错点1 的化简忽视的范围
例1 化简: .
错误解答: .
错因分析:此题错解的原因是忽略了的前提条件是，即没有考虑的取值对的符号的影响.
正确解答: =.
易错辨析:在对进行化简时，由于的取值为任意实数，先得到，再根据的取值情况进行讨论，而不能误认为.
易错点2 运算顺序不正确
例2 计算:
(1) ；
(2) ;
(3).
错误解答:(1) .
(2) .
(3) .
错因分析:本题错在没有正确掌握二次根式混合运算的顺序.
正确解答:(1).
(2) .
(3) .
易错辨析:二次根式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，都是先乘方，再乘除，最后加减，有括号则先算括号内的.
【反馈练习】
1.化简:
(1) ； (2).



点拨:不能忽视算术平方根的非负性
2.计算:
(1) ; (2) .



点拨:利用运算法则进行计算时，应看清运算顺序.
探究与应用
探究1 整体代换求值
例1 已知，求的值.
点拨:由求值式变形: ，需先将分母有理化，再求出的值，然后整体代入就可以计算了.
解答:因为，所以.所以.
【规律·提示】先分母有理化，再代入计算即可.
【举一反三】
1.已知，求代数式的
值.



探究2 值的估算
例2 已知实数的整数部分为，小数部分为，求的值.
点拨:对于实数，可写为，其中表示的整数部分，表示的小数部分，且，如.由此知识先确定的整数部分和小数部分，再代入求值.
解答:由题意，得.因为，所以，所以整部分，即，所以小数部分.所以.
【规律·提示】先分别表示出的值，再代入求值.
例3 不用计算器，试比较和的大小.
点拨: 与互为倒数，与为倒数，通过变形，使之成为同分子的分数相比较.
解答:方法一:因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以.
方法二:(作差比较)因为，且，，所以，所以.
【规律·提示】“数感”是课程标准的一个重要教学目标，实数作为二次根式运算的一部分内容，在培养运算能力中成为一个重要的载体.
【举一反三】
2. (1)化简:；
(2)设为的小数部分，为的小数部分，求的值.




3.公元三世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值.他的算法是:先看成，由近似公式得到；再看成了，由近似公式得到，……，依此算法，所得的近似值会越来越精确.当取得近似值时，试确定近似公式中的与的值



参考答案
知识梳理

合并同类二次根式 仍适用于
重难点分类解析
【反馈练习】
1. B 2. C
3. 2
4. B
5. (1)
(2)
6.(1)
(2)
7. D
8.
9. B
10.
易错题辨析
【反馈练习】
1. (1)
(2)
2. (1)
(2)
探究与应用
【举一反三】
1.
当时，原式
2. (1)
(2)
3.



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