第四章 因式分解
4.3 公式法(2)
知识要点
1.完全平方公式:a2±2ab+b2=( )2.
基础训练
1.(2019·广东阳江市阳东区期末)下列代数式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2-1 B.x2+xy+y2
C.x2-2x+1 D.x2+2x-1
2.下列因式分解正确的是( )
A.x2+9=(x+3)2 B.a2+2a+4=(a+2)2
C.a3-4a2=a2(a-4) D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
3.下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )
①x2-4x+8;②-x2-2x-1;③4m2+4m-1;④-m2+m-;⑤4a4-a2+.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.下列四个多项式,能因式分解的是( )
A.a-1 B.a2+1
C.x2-4y D.x2-6x+9
5.若9x2+kxy+4y2是一个完全平方式,则k的值为( )
A.6 B.±6 C.12 D.±12
6. 计算:1002-2×100×99+992=( )
A. 0 B. 1
C. -1 D. 39 601
7.(2019·长沙雨花区广益实验中学月考)已知a=2018x+2018,b=2018x+2019,c=2018x+2020,则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.因式分解:x2-2xy+y2= .
9.因式分解:a4-4a2+4= .
10.因式分解:a2b-10ab+25b= .
11.(2019·沈阳模拟)因式分解:ab2+6ab+9a=_ __.
12.因式分解:
(1)m2-14m+49; (2)a2-2a(b+c)+(b+c)2;
(3)x2+2xy+2y2; (4)2xy-x2-y2.
13.分解因式:
(1)16x4-8x2y2+y4; (2)(x-1)(x-3)+1; (3)1-x2+6xy-9y2.
14.已知a+b=3,ab=2,求下列各式的值:
(1)a2b+ab2; (2)a2+b2.
15.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2. (第四步)
(1)该同学从第二步到第三步运用了因式分解的_______法.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?____________(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,则因式分解的最后结果为____________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
16.先阅读材料,再回答问题.
分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1.
解:设a-b=M,则原式=M2-2M+1=(M-1)2.
再将a-b=M还原,得原式=(a-b-1)2.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想. 请你用整体思想解决下列问题:
(1)分解因式:(x+y)(x+y-4)+4;
(2)若a为正整数,则(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1为整数的平方,试说明理由.
中考链接
17.(2019·永州)分解因式:x2+2x+1=________.
18.(2018·威海)分解因式:-a2+2a-2=____________.
答案:
C
C
C
D
D
B
D
(x-y)2
(a2-2)2
b(a-5)2
a(b+3)2_
12.(1)原式=m2-2×m×7+72=(m-7)2.
(2)原式=2=(a-b-c)2.
(3)原式=(x2+4xy+4y2)=(x+2y)2.
(4)原式=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.
13.(1)解:原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2.
(2)解:原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2.
(3)解:原式=1-(x2-6xy+9y2)=1-(x-3y)2=[1+(x-3y)]·[1-(x-3y)]=(1+x-3y)(1-x+3y).
14.(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6.
(2)∵(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5.
15.(1)_C (2)不彻底 (x-2)4
(3)解:设x2-2x=y,
原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.
16.解:(1)设M=x+y,则
原式=M(M-4)+4=M2-4M+4=(M-2)2.
将M=x+y代入还原可得原式=(x+y-2)2.
(2)原式=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1
=(a2-5a+4)(a2-5a+6)+1
令N=a2-5a+4,∵a为正整数,
∴N=(a-1)(a-4)=a2-5a+4也是整数.
则原式=N(N+2)+1=N2+2N+1=(N+1)2.
∵N为整数,∴原式=(N+1)2为整数的平方.
17.(x+1)2
18.-(a-2)2