2020春人教版八下数学18.2.1矩形同步课堂练习（共2课时、含答案）
文档属性
| 名称 | 2020春人教版八下数学18.2.1矩形同步课堂练习（共2课时、含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1011.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-18 18:10:24 | ||
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文档简介
2020春人教版八下数学18.2.1矩形同步课堂练习(学生版)
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10 cm时，AB等于( )
A．10 cm B．5 cm
C．5 cm D．5 cm
4．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8，面积是 ．
5．(2019·徐州)如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为 ．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和∠α相等的角有几个？并说明理由．
7．如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝ ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝26°，则∠BDC＝ ．
10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
02 中档题
11．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为21，则BC的长为( )
A．6 B．9 C．10 D．12
13．(2019·眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A．1 B. C．2 D.
14．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
03 综合题
15．(2019·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)求证：△ABM≌△CDN；
(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
模型构建：
直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝AB来解题．有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．
此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为 ．
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α＝ °时，两条对角线的长度相等．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．在?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件是( )
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
5．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ．
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
7．已知，如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 (写出一种情况即可)．
9．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错
10．(2019·重庆)下列命题正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
02 中档题
11．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
12．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 ．
14．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
15．(原创题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
(1)求证：四边形DEFC是矩形；
(2)小明连接EC，DF交于点O，作射线BO，他说“BO就是∠ABC的平分线”，你能说明理由吗？
16．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
03 综合题
17．(2019·青岛)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
2020春人教版八下数学18.2.1矩形同步课堂练习(教师版)
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(C)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10 cm时，AB等于(B)
A．10 cm B．5 cm
C．5 cm D．5 cm
4．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8，面积是48．
5．(2019·徐州)如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为16．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和∠α相等的角有几个？并说明理由．
解：与∠α相等的角有3个．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，DO＝CO＝OA＝OB.
∴∠DCA＝∠α，∠CDB＝∠ABD.
∵DO＝CO，
∴∠DCA＝∠CDB.
∴∠DCA＝∠CDB＝∠ABD＝∠α.
7．如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AC＝BD.
又∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴BD＝EC.
∴AC＝EC.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝3．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝26°，则∠BDC＝52°．
10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB.
∴CE＝DE.
∴△ECD是等腰三角形．
02 中档题
11．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为21，则BC的长为(D)
A．6 B．9 C．10 D．12
13．(2019·眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是(B)
A．1 B. C．2 D.
14．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)．
∴CD＝FA.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形．
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD.
03 综合题
15．(2019·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)求证：△ABM≌△CDN；
(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠MAB＝∠NCD.
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN(SAS)．
(2)连接EF，交AC于点O.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴EO＝FO，AO＝CO.
∴O为EF，AC中点．
∵∠EGF＝90°，∴OG＝EF＝AB＝.
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴OA＝.
∴AG＝OA－OG＝1或AG＝OA＋OG＝4.
∴AG的长为1或4.
遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
模型构建：
直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝AB来解题．有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．
此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为4．
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是(C)
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α＝90°时，两条对角线的长度相等．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．在?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
5．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC＝2AO，BD＝2OD.
∵OA＝OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
7．已知，如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
∵OE＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是∠A＝90°(答案不唯一)(写出一种情况即可)．
9．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝∠DAB＋∠ADC＝90°.
∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错
10．(2019·重庆)下列命题正确的是(A)
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
02 中档题
11．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A)
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
12．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
14．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．
15．(原创题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
(1)求证：四边形DEFC是矩形；
(2)小明连接EC，DF交于点O，作射线BO，他说“BO就是∠ABC的平分线”，你能说明理由吗？
解：(1)证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD.
∴四边形DEFC是平行四边形．
又∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
(2)理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵E是AB的中点，∴AB＝2BE.
∴BE＝BC.
∵四边形DEFC是矩形，
∴OE＝OC.
∴BO平分∠ABC.
16．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)∵在?ABCD中，AD＝BC，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
(2)∵在?ABCD中，AB綊CD，且AB＝BE，
∴BE綊CD.∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝BC，OE＝ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
03 综合题
17．(2019·青岛)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD.
∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
由(1)知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵EG＝AE，∠GEO＝∠AEB，
∴CF＝EG，∠GEO＝∠CFD.
∴CF∥EG.
∴四边形EGCF是平行四边形．
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA.
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB.
∴∠OEG＝90°.
∴四边形EGCF是矩形．
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10 cm时，AB等于( )
A．10 cm B．5 cm
C．5 cm D．5 cm
4．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8，面积是 ．
5．(2019·徐州)如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为 ．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和∠α相等的角有几个？并说明理由．
7．如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝ ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝26°，则∠BDC＝ ．
10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
02 中档题
11．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为21，则BC的长为( )
A．6 B．9 C．10 D．12
13．(2019·眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A．1 B. C．2 D.
14．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
03 综合题
15．(2019·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)求证：△ABM≌△CDN；
(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
模型构建：
直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝AB来解题．有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．
此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为 ．
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α＝ °时，两条对角线的长度相等．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．在?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件是( )
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
5．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ．
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
7．已知，如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 (写出一种情况即可)．
9．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错
10．(2019·重庆)下列命题正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
02 中档题
11．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
12．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 ．
14．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
15．(原创题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
(1)求证：四边形DEFC是矩形；
(2)小明连接EC，DF交于点O，作射线BO，他说“BO就是∠ABC的平分线”，你能说明理由吗？
16．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
03 综合题
17．(2019·青岛)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
2020春人教版八下数学18.2.1矩形同步课堂练习(教师版)
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(C)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10 cm时，AB等于(B)
A．10 cm B．5 cm
C．5 cm D．5 cm
4．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8，面积是48．
5．(2019·徐州)如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为16．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和∠α相等的角有几个？并说明理由．
解：与∠α相等的角有3个．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，DO＝CO＝OA＝OB.
∴∠DCA＝∠α，∠CDB＝∠ABD.
∵DO＝CO，
∴∠DCA＝∠CDB.
∴∠DCA＝∠CDB＝∠ABD＝∠α.
7．如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AC＝BD.
又∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴BD＝EC.
∴AC＝EC.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝3．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝26°，则∠BDC＝52°．
10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB.
∴CE＝DE.
∴△ECD是等腰三角形．
02 中档题
11．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为21，则BC的长为(D)
A．6 B．9 C．10 D．12
13．(2019·眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是(B)
A．1 B. C．2 D.
14．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)．
∴CD＝FA.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形．
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD.
03 综合题
15．(2019·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)求证：△ABM≌△CDN；
(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠MAB＝∠NCD.
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN(SAS)．
(2)连接EF，交AC于点O.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴EO＝FO，AO＝CO.
∴O为EF，AC中点．
∵∠EGF＝90°，∴OG＝EF＝AB＝.
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴OA＝.
∴AG＝OA－OG＝1或AG＝OA＋OG＝4.
∴AG的长为1或4.
遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线
模型构建：
直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝AB来解题．有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．
此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为4．
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是(C)
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α＝90°时，两条对角线的长度相等．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．在?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
5．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC＝2AO，BD＝2OD.
∵OA＝OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
7．已知，如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
∵OE＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是∠A＝90°(答案不唯一)(写出一种情况即可)．
9．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝∠DAB＋∠ADC＝90°.
∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错
10．(2019·重庆)下列命题正确的是(A)
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
02 中档题
11．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A)
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
12．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
14．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．
15．(原创题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
(1)求证：四边形DEFC是矩形；
(2)小明连接EC，DF交于点O，作射线BO，他说“BO就是∠ABC的平分线”，你能说明理由吗？
解：(1)证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD.
∴四边形DEFC是平行四边形．
又∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
(2)理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵E是AB的中点，∴AB＝2BE.
∴BE＝BC.
∵四边形DEFC是矩形，
∴OE＝OC.
∴BO平分∠ABC.
16．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)∵在?ABCD中，AD＝BC，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
(2)∵在?ABCD中，AB綊CD，且AB＝BE，
∴BE綊CD.∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝BC，OE＝ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
03 综合题
17．(2019·青岛)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD.
∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
由(1)知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵EG＝AE，∠GEO＝∠AEB，
∴CF＝EG，∠GEO＝∠CFD.
∴CF∥EG.
∴四边形EGCF是平行四边形．
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA.
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB.
∴∠OEG＝90°.
∴四边形EGCF是矩形．