2020春人教版八下数学第18.1.1平行四边形的性质导学案设计
第1课时 平行四边形的边、角特征
教学目标
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
预习反馈
阅读教材P41～43，完成下列问题．
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号?表示，如图，平行四边形ABCD记作?ABCD．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．
反过来，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB＝CD，AD＝BC，
∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
如图，已知a∥b，则a与b的距离是图中的线段CD的长度．
名校讲坛
例(教材P42例1)如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF.
【思路点拨】 要证AE＝CF，可以证明△ADE≌△CBF.
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB.
又∵∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
∴AE＝CF.
【方法归纳】在平行四边形中证明线段与角的问题通常要用到全等．
【跟踪训练1】(教材P43练习T1变式)在?ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则?ABCD的周长等于(A)
A．10 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
【跟踪训练2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
巩固训练
1．已知在?ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是(B)
A．100° B．60° C．80° D．160°
2．如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(D)
A．5
B．4
C．3
D．2
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是(D)
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．在?ABCD中，若AB＝3 cm，AD＝4 cm，则?ABCD的周长为14__cm．
5．在平面直角坐标系中，若?ABCD的三个顶点坐标为A(1，0)，B(0，2)，C(－4，2)，则另外一个顶点D的坐标为(－3，0)．
6．如图，在?ABCD中，E，F为对角线BD上的两点．
(1)若AE⊥BD，CF⊥BD，证明：BE＝DF；
(2)若AE＝CF，能否说明BE＝DF?
解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(AAS)．∴BE＝DF.
(2)不能，举例如图．
课堂小结
1．平行四边形的定义．
2．平行四边形的性质
3．连接对角线可以帮助解决平行四边形问题．
第2课时 平行四边形的对角线性质
教学目标
1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．
3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
预习反馈
阅读教材P43～44，完成下列问题．
1．平行四边形的对角线互相平分．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝OC＝AC，BO＝DO＝BD．
2．(1)平行四边形的面积＝底×高．
如图1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则S?ABCD＝BC·AE＝CD·AF．
图1图2
(2)如图2，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△DOA＝S?ABCD.
名校讲坛
例 (教材P44例2)如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长，以及?ABCD的面积．
【思路点拨】 根据平行四边形的性质即可得到BC和CD的长，根据AC⊥BC，在Rt△ABC中运用勾股定理即可得出AC的长，又OA等于AC的一半即可求出OA，?ABCD的面积＝BC·AC.
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10.
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形．
根据勾股定理，得
AC＝＝＝6.
又∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝3，
S?ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.
【跟踪训练1】 (教材P44练习T1)如图，在?ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，BC＝AD.
∴C△AOD＝AO＋OD＋AD＝AC＋BD＋BC＝4＋10＋7＝21.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD.
∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BC＋8，C△DBC＝BC＋CD＋BD＝BC＋AB＋14，
∴C△DBC－C△ABC＝6.
∴C△DBC>C△ABC，长6.
【跟踪训练2】 (《名校课堂》18.1.1第2课时习题)如图所示，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AM＝CN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△DON中，
∴△BOM≌△DON(SAS)．
∴∠OBM＝∠ODN.
∴BM∥DN.
巩固训练
1．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(C)
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥AB
2．如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是(B)
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝42°，∠CBD＝23°，则∠COD＝(C)
A．61° B．63° C．65° D．67°
4．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
5．已知在?ABCD中，AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么?ABCD的面积为8．
6．如图，已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：△ADE≌△CBF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
7．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积间有何关系？
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.
(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.
∴△ABC≌△CDA(SAS)．∴S△ABC＝S△CDA.
由(1)可知△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF.
又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，
S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，
∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.
课堂小结
平行四边形的性质
2020春人教版八下数学第18.1.2平行四边形的判定导学案设计
第1课时 平行四边形的判定
教学目标
1．掌握平行四边形的判定定理．
2．灵活运用平行四边形的判定定理．
3．灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题．
预习反馈
阅读教材P45～47，完成下列问题．
1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
图1
如图1，在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
如图1，在四边形ABCD中，
∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
如图1，在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
图2
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如图1，在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
名校讲坛
例1 (教材P46例3)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
【思路点拨】 根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
【解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO.
又∵AE＝CF，
∴EO＝FO.
∴四边形BFDE是平行四边形．
【跟踪训练1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)．
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
例2 (教材P47例4) 如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.
【思路点拨】 根据E，F分别是AB，CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD.
又EB＝AB，FD＝CD，
∴EB＝FD.
∴四边形EBFD是平行四边形．
【方法归纳】 判定平行四边形的基本思路：
(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；
(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；
(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；
(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．
【跟踪训练2】 如图，在?ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴OE＝OF.
巩固训练
1．如图所示，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件(D)
A．AB＝DC
B．∠1＝∠2
C．AB＝AD
D．AD＝BC
2．下面给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是(B)
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2
C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，点E，F在?ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD平行且等于BC.
∵BE＝BC，FD＝AD，
∴BE＝FD.
又∵BE∥FD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC.
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.
∴∠CFD＝∠AEB.
∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(ASA)．
∴AB＝CD.
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
课堂小结
1．平行四边形判定定理：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．平行四边形性质和判定的运用．
第2课时 三角形的中位线
教学目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
预习反馈
阅读教材P47～49，完成下列问题．
1．三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
如图，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC．
3．一个三角形有三条中位线．
名校讲坛
例1 (教材P48探究)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE＝BC.
【思路点拨】 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．
【解答】 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
∵AE＝EC，DE＝EF.
∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA.
∴CF平行且等于BD.
∴四边形DBCF是平行四边形，DF平行且等于BC.
又∵DE＝DF，
∴DE∥BC，且DE＝BC.
【跟踪训练1】 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.
例2 (教材P49练习T1)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
【解答】 能画出三个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、四边形ADEF为平行四边形．
【跟踪训练2】 如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
∴DF，DE为△ABC的中位线．
∴DF∥BC，DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形．
巩固训练
1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(B)
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．如图，△ABC中，D，E，F，G分别是AB，AC，AD，AE的中点，若BC＝8，则DE＋FG＝(B)
A．4.5 B．6 C．7 D．8
3．已知△ABC的各边长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，则连接各边中点的三角形周长为(D)
A．2 cm B．7 cm C．5 cm D．6 cm
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝2．
5．如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA＝CD，AE＝EB，求证：EF＝BD.
证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，
∴CF为AD边上的中线．
∴F为AD的中点．
∵AE＝EB，
∴E为AB中点．
∴EF为△ABD的中位线．
∴EF＝BD.
6．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°.求∠PFE的度数．
解：∵P，E，F分别是DB，AB，DC的中点，
∴PF是△DCB的中位线，PE是△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD.
∵BC＝AD，∴PF＝PE.
∵∠PEF＝18°，∴∠PFE＝∠PEF＝18°.
课堂小结
1．三角形的中位线定理．
2．三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线．
