高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲　不等式和绝对值不等式一 不等式(共43张PPT)

(共43张PPT)
回顾旧知
a___b
______>0
a___b
______<0
>
a-b
<
a-b
1.如果a=b,那么a- b___0。
2. 我们可以用什么方法比较两个实数的大小？
=
比较法
（0是标杆）
通过考察它们与0的大小关系，得出结论。
比较（x+1）（x+2）与（x-3）（x+6）得大小。
解：因为
> 0
所以
（x+1）（x+2）-（x-3）（x+6）
=（x2+3x+2）-（x2+3x-18）
=20
（x+1）（x+2）>（x-3）（x+6）
等式有“等式两边同加（或减）一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘（或除以）一个数，等式仍然成立”等基本性质。类比等式的这些性质，不等式有哪些基本性呢？
(5) a>b>0
(6) a>b>0
an>bn
观察不等式的基本性质，并与不等式的基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要特别注意什么问题？
特别注意“符号问题”
性质4
性质4
性质2
性质6
因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立，所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。
你能从几何的角度解释上述定理吗？
即矩形BCGH和矩形JCDI成为两个正方形时等号成立。
如图，S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2, S矩形BCGH+S锯形JCDI=2ab.
有图形可知，a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。
重要不等式
基本不等式
观察下图，如果AD=a,BD=b,OC是斜边AB的中线,你能给出基本不等式的几何意义吗？
分 析
所以∠DCA= ∠B.
于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
综上所述可知,基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。（即半弦长小于等于半径）
求证:
(1)在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短。
基本不等式涉及两个正数的和与积之间的数量关系,所以可以考虑利用基本不等式进行证明。
设矩形的长为x,宽为y。
(1)设矩形周长为定值L,即2x+2y=L。
(2)设矩形面积为定值S，即xy=S为定值。
基本
不等式
对两个正实数x,y，如果它们的和S是定值，则当且仅当x=y时，它们的积P取得最大值；如果它们的积P是定值，则当且仅当x=y时，它们的和S取得最小值。
很重要！
简称：一 “正”， 二“定”，
三“相等”
某居民小区要建
一座八边形的休闲场所，
它的主体造型平面图（如图）
是由两个相同的矩形ABCD和
EFGH构成的面积为200平方米
的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米80元。
(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值。
该问题属于利用基本不等式解决最值问题。
求：
解：
(1)
(2)
由上可知，当AD约为3.16米时，休闲场所总造价S取最小值118000元。
根据基本不等式得
所以S ≥38000+80000=118000,
反 思
利用基本不等式解决极值问题，要先写出函数的解析式，然后判断是否可以借助于基本不等式去解决。
基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
由于a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2-3ab2-3abc
=(a+b+c)〔 (a+b)2-(a+b)c+c2 〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=(a+b+c) 〔 (a-b)2-(b-c)2+(c-a)2 〕≥0
所以a3+b3+c3 ≥3abc,当且仅当a=b=c时，
等号成立。
三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
本题涉及三个实数的和积，可以考虑基本不等式的推广。
在表面积一定的长方体中，以正方体的体积最大吗？
设长方体的三条相交于同一顶点的棱的长分别为x,y,z,则长方体的体积为V=xyz,
即x=y=z时，等号成立。
所以，当长方体是正方体时，体积取得最大值，最大值是
1.不等式的基本性质。
2. 基本不等式及其应用。
3.基本不等式的推广
2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M与N的大小关系。
习题1.1（第9页）
1.（1）假命题 （2）假命题
（3）假命题 （4）真命题