苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：34两角和与差的正弦、余弦、正切公式(提高)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：34两角和与差的正弦、余弦、正切公式(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-19 14:38:13 | ||
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文档简介
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【典型例题】
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。
【答案】
【解析】 ∵，，且、均在第二象限，
故，
，
故
。
。
=
=
【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。
举一反三：
【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。
【答案】
【解析】 由，得
，
又由，为第三象限角得
，
∴，
。
例2．（1）已知，，且，求以及的值；
（2）已知，，求，的值。
【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角、之间有关系、。（2），。
【答案】（1）1/3 1（2）
【解析】（1），
。
∵，，，
∴，。
∴，∴。
（2）。
。
【总结升华】 已知三角函数值求角，要对所给角的范围进行讨论，尽量化到它的一个单调区间上，必要时可对角的范围进行适当的缩小。
举一反三：
【变式1】（1）求的值；
（2）已知求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
(2),
又
=
=
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。
（1）求的值；
（2）求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
由三角函数定义可得，
又因为为锐角，所以因此
（1）；
（2）所以，
为锐角，
类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例3。计算下列各式的值：
（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；
（2）；
（3）。
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。
【解析】 （1）sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)
=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos(223°－163°)=cos60°=.
（2）。
（3）
。
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构。以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口。公式的变形应予以灵活运用。
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式==
【变式2】求下列各式的值：
（1）；（2）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=
=1
【变式3】化简：。
【解析】 原式
。
类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例4．在锐角△ABC中，求证：
（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）。
【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用。
【证明】 （1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。
（2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。
左边
右边。
所以原式成立。
【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用。三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。例如（2），由于右边为常数，左边经过提取、变形展开必能各项相消。
举一反三：
【变式1】已知，求证：
【证明】
得
类型四：辅助角公式的应用
例5．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】形如sin x+cos x、sin x-cos x，等，化成一个角的三角函数的方法：一般是逆用和差角公式，引入辅助角来处理。处理过程如下。
【解析】（1）
。
（2）
。
（3）。
【总结升华】 运用哪个辅助角是可以选择的，如，也可以化为：
。
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
（1）sin x+cos x；（2）sin x-cos x；（3）。
【答案】（1）（2）（3）。
【解析】（1）sin x+cos x=；（2）sin x-cos x=；
（3）=
类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用
例6．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知, ， ,然后利用=求出的值. （Ⅱ）因为∣AB∣=||=||,上式两边平方,可求得的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，
∵的终边在第一象限，∴．
∵的终边在第二象限，∴ ．
∴==+=．
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，
又∵，
∴．
∴．
方法（2）∵，
∴=．
举一反三：
【变式1】已知函数。的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】 C
【解析】。因为函数的图象与y=2的两个相邻交点的距离为π。所以。即ω=2。所以。
令得。即（）。
所以函数的单调区间为（）。
【变式2】已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．
【答案】（1）递增区间为 递减区间为
（2）
【解析】（1）当时，
为递增；
为递减
为递增区间为；
为递减区间为。
（2）为偶函数，则
【变式3】已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．
【答案】（1）π（2）1 1
【解析】(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，
∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，
ymin＝－1＋1＋1＝1.
【巩固练习】
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
4．在△ABC中，，则C等于（ ）
A． B． C． D．
5．设，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A．2 B．2+ C．0 D．1
7.在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8. 在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于( )
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．已知α、β均为锐角，且，则tan(α＋β)＝________．
10．若sin(－x)＝，则的值为 ．
11.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为________．
12. 已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于 .
13．已知，且，求的值．
14．求值：．
15．已知锐角△ABC中，，．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．
16．已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．
(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】D
【解析】原式==
3．【答案】C
【解析】，∴，．
4．【答案】A
【解析】A+B+C=π，，∴，．
5．【答案】B
【解析】 ∵，
∴．
6．【答案】A
【解析】，当时，．
7．【答案】B
【解析】由，知不可能一个钝角，一个锐角，又不可能均为钝角，所以均为锐角．由，得，又，所以整理得，所以，即，所以为钝角，是钝角三角形．
8. 【答案】A
【解析】已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.
9．【答案】1
【解析】∵ ，
∴ ．
又∵ α、β均为锐角，∴ ，即，
∴ ．
10．【答案】
【解析】∵sin(－x)＝，
∴cosx－sinx＝ (cosx－sinx)＝.
∴cosx－sinx＝.
∴(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
11. 【答案】－
【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)
＝－.
12. 【答案】 －
【解析】a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.
13．【解析】．
由已知得，，
所以，
由得，所以，
故．
14．【解析】原式
．
15【解析】（1）证明：因为，，
所以，所以，所以，
所以tanA=2tanB．
（2）因为，
所以，，
即．
将tanA=2tanB代入得2tan2B－4tanB－1=0，
得（舍去），．
所以．
16．【解析】(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝， ①
a·c＝(cosα，sinα)·(，－)
＝cosα－sinα＝， ②
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴－＜α－β＜.
由①得α－β＝±，由②得α＝.
由α、β为锐角，∴β＝.
从而2β－α＝π.
(2)由a＝b＋c可得
③2＋④2得cosα－sinα＝，
∴2sinαcosα＝.
又∵=，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴
=
＝.
【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【典型例题】
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。
【答案】
【解析】 ∵，，且、均在第二象限，
故，
，
故
。
。
=
=
【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。
举一反三：
【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。
【答案】
【解析】 由，得
，
又由，为第三象限角得
，
∴，
。
例2．（1）已知，，且，求以及的值；
（2）已知，，求，的值。
【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角、之间有关系、。（2），。
【答案】（1）1/3 1（2）
【解析】（1），
。
∵，，，
∴，。
∴，∴。
（2）。
。
【总结升华】 已知三角函数值求角，要对所给角的范围进行讨论，尽量化到它的一个单调区间上，必要时可对角的范围进行适当的缩小。
举一反三：
【变式1】（1）求的值；
（2）已知求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
(2),
又
=
=
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。
（1）求的值；
（2）求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
由三角函数定义可得，
又因为为锐角，所以因此
（1）；
（2）所以，
为锐角，
类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例3。计算下列各式的值：
（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；
（2）；
（3）。
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。
【解析】 （1）sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)
=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos(223°－163°)=cos60°=.
（2）。
（3）
。
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构。以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口。公式的变形应予以灵活运用。
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式==
【变式2】求下列各式的值：
（1）；（2）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=
=1
【变式3】化简：。
【解析】 原式
。
类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例4．在锐角△ABC中，求证：
（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）。
【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用。
【证明】 （1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。
（2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。
左边
右边。
所以原式成立。
【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用。三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。例如（2），由于右边为常数，左边经过提取、变形展开必能各项相消。
举一反三：
【变式1】已知，求证：
【证明】
得
类型四：辅助角公式的应用
例5．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】形如sin x+cos x、sin x-cos x，等，化成一个角的三角函数的方法：一般是逆用和差角公式，引入辅助角来处理。处理过程如下。
【解析】（1）
。
（2）
。
（3）。
【总结升华】 运用哪个辅助角是可以选择的，如，也可以化为：
。
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
（1）sin x+cos x；（2）sin x-cos x；（3）。
【答案】（1）（2）（3）。
【解析】（1）sin x+cos x=；（2）sin x-cos x=；
（3）=
类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用
例6．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知, ， ,然后利用=求出的值. （Ⅱ）因为∣AB∣=||=||,上式两边平方,可求得的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，
∵的终边在第一象限，∴．
∵的终边在第二象限，∴ ．
∴==+=．
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，
又∵，
∴．
∴．
方法（2）∵，
∴=．
举一反三：
【变式1】已知函数。的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】 C
【解析】。因为函数的图象与y=2的两个相邻交点的距离为π。所以。即ω=2。所以。
令得。即（）。
所以函数的单调区间为（）。
【变式2】已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．
【答案】（1）递增区间为 递减区间为
（2）
【解析】（1）当时，
为递增；
为递减
为递增区间为；
为递减区间为。
（2）为偶函数，则
【变式3】已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．
【答案】（1）π（2）1 1
【解析】(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，
∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，
ymin＝－1＋1＋1＝1.
【巩固练习】
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
4．在△ABC中，，则C等于（ ）
A． B． C． D．
5．设，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A．2 B．2+ C．0 D．1
7.在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8. 在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于( )
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．已知α、β均为锐角，且，则tan(α＋β)＝________．
10．若sin(－x)＝，则的值为 ．
11.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为________．
12. 已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于 .
13．已知，且，求的值．
14．求值：．
15．已知锐角△ABC中，，．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．
16．已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．
(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】D
【解析】原式==
3．【答案】C
【解析】，∴，．
4．【答案】A
【解析】A+B+C=π，，∴，．
5．【答案】B
【解析】 ∵，
∴．
6．【答案】A
【解析】，当时，．
7．【答案】B
【解析】由，知不可能一个钝角，一个锐角，又不可能均为钝角，所以均为锐角．由，得，又，所以整理得，所以，即，所以为钝角，是钝角三角形．
8. 【答案】A
【解析】已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.
9．【答案】1
【解析】∵ ，
∴ ．
又∵ α、β均为锐角，∴ ，即，
∴ ．
10．【答案】
【解析】∵sin(－x)＝，
∴cosx－sinx＝ (cosx－sinx)＝.
∴cosx－sinx＝.
∴(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
11. 【答案】－
【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)
＝－.
12. 【答案】 －
【解析】a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.
13．【解析】．
由已知得，，
所以，
由得，所以，
故．
14．【解析】原式
．
15【解析】（1）证明：因为，，
所以，所以，所以，
所以tanA=2tanB．
（2）因为，
所以，，
即．
将tanA=2tanB代入得2tan2B－4tanB－1=0，
得（舍去），．
所以．
16．【解析】(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝， ①
a·c＝(cosα，sinα)·(，－)
＝cosα－sinα＝， ②
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴－＜α－β＜.
由①得α－β＝±，由②得α＝.
由α、β为锐角，∴β＝.
从而2β－α＝π.
(2)由a＝b＋c可得
③2＋④2得cosα－sinα＝，
∴2sinαcosα＝.
又∵=，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴
=
＝.