苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：36二倍角的三角函数(提高)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【典型例题】
类型一：利用二倍角公式的简单应用
例1.求下列各式的值：
（1）；；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（3）．
【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．方法二：把原式作为A式，然后把A式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为B式，再两式相乘．
【答案】
【解析】
方法一：原式
【总结升华】一般地，对于，可以通过乘以sinα后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”．
方法二：设所求为A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78°
设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°
则
=
【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法．
举一反三：
【变式1】
【解析】
例3．求值：．
【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．
【答案】
【解析】 原式



．
【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化．
举一反三：

【变式1】求值：
【解析】原式=
=
=
=4

【变式2】求值：
【解析】原式=
=
=
=
=1
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例4．化简：．
【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简．
【答案】
【解析】 方法一：原式
．
方法二：原式
．
方法三：原式
方法四：原式
．
【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
(1)（2）
【答案】（1）（2）
【解析】(1)
(2) 原式=
=
=
=
=
【变式2】化简：．
【答案】1
【解析】原式

．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．已知，且，求的值．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】
【解析】 原式
．
∵，∴．
∵，∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
【总结升华】要注意本题中的角“2x”与“”的变换方法，即．
举一反三：

【变式1】求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【变式2】 已知：tanθ=2，求的值．
【答案】
解法一：
=（转化成了齐次式）
=
解法二： ∵tan=2,
∴sin=2k，cos=k
原式
又∵sin2+cos2=1即（2k）2+k2=1
∴
例6．已知，，且、都是锐角，求．
【答案】
【解析】 由，得，即．
由，得．
．
∵0°＜＜90°，0°＜＜90°，∴0°＜＜270°．
在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故．
【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行（这两个步骤缺一不可）：①根据题设条件，求角的某一三角函数值；②讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
类型五：二倍角公式的综合应用
例7．已知函数（x∈R，ω＞0）的最小正周期是．
（1）求ω的值；
（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合．
【思路点拨】用降幂公式把“”降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】（1）2（2）
【解析】 （1）
．
因为函数的最小正周期是，可得，所以=2．
（2）由（1）知，．当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时x的集合为．
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．
举一反三：
【变式1】已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）2
【解析】（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为




（Ⅱ）因为，所以
当时，即时，的最大值为；
当时，即时，的最小值为.
例8．已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
【思路点拨】　首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2
【解析】　（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，则sin2A＝，
又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos，
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.
【总结升华】　本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
举一反三：
【变式1】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
【巩固练习】
1．若则
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．－cos1 B．cos1 C． D．
3．化简得（ ）
A． B． C．1 D．―1
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．－2
7．若，且，则( )
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A．3―cos2x B．3―sin2x C．3+cos2x D．3+sin2x
9．若则 ．
10．的取值范围是 ．

11．已知那么的值为 ,的值为 ．
12．的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 ．
13．已知，，求．
14．在△ABC中，cosA=,tanB=2，求tan(2A+2B)的值．
15．已知，为的最小正周期，向量，，且a·b=m，求的值．
16．已知，．
（1）求sin x的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】 2+cos2―sin21=2+2cos21―1―sin21=2cos21+1―sin21=3cos21，∴原式．
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】由已知，所以，所以．
5．【答案】A
【解析】，为奇函数，最小正周期为，故选A．
6．【答案】A
【解析】由3sin+cos=0，得．所以
7. 【答案】A
【解析】
=．
8．【答案】C
【解析】，∴，
∴．
9. 【答案】
【解析】

10. 【答案】
11. 【答案】
【解析】
12．【答案】
【解析】

当，即时，得
13．【解析】
原式==，，， 是第三象限角，，．
14．【解析】
由题意知，，，．
15．【解析】因为为的最小正周期，故β=π．
因为a·b=m，又，
故．
由于，所以
．
16．【解析】（1）因为，所以．
于是，
则
．
（2）因为，故，，．
所以．