苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：38几个三角恒等式(提高)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：38几个三角恒等式(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 355.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-19 14:40:47 | ||
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文档简介
简单的三角恒等变换
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：．
【思路点拨】观察等式左右两边，易知运用倍角公式进行转换．
【证法一】
=右边
∴ 等式成立
【证法二】
∴ 等式成立
【总结升华】 证明题的一般原则是由繁到简．本题从左往右证，方法是弦化切，注意到，然后巧妙地运用二倍角的余弦公式而获解．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
【变式2】 证明：．
【证明】
．
例2．已知．
【证明】
方法一：
将代入：
又
方法二：，
又，
,
，
，
．
【总结升华】证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系．方法一用代入法把，再把；方法二中利用恒等式消去条件中的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法．
类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4． 已知，试求的值．
【解析】 解法一：由①2+②2，得，即．
再将①②两边分别相乘，得
，
即．
将代入上式，得．
解法二：因为，
所以，再由例1的【变式1】中的公式可得：
．
【总结升华】 将条件进行加、减、乘、除以及对条件式进行平方再进行运算都是常用的解题手段，当然这需要根据题设条件灵活处理．
举一反三：
【变式1】若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为( )
A．－ B.
C. D.
【答案】A
【解析】 由tanα＋＝?(tanα－3)(3tanα－1)＝0得tanα＝3或tanα＝，由α∈(，)得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin(2α＋)＝×＝×，将分式分子与分母同除以cos2α得sin(2α＋)＝×＝－.
【变式2】若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________ .
【答案】
【解析】∵＝＝3，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．已知，求：
（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）的单调区间．
【思路点拨】先用降幂公式降幂，然后利用这个公式把原式进行变形．
【答案】（1） （2）单增区间 单间区间
【解析】
（1）
=
由，时
即时，．
（2），
即
是单增函数．
，
即
是单减函数．
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx=
所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）f()==－,所以,因为C为锐角,所以,所以,所以sinA =cosB=.
【变式2】已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
为所求
（2）
类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用
例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【思路点拨】因为A点是动点，所以连接OA，设∠AOP=，然后用的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．
【答案】当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3
【解析】连接OA，设∠AOP=，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，AH=sin，OH=cos．在Rt△ABH中，，所以，所以，
设平行四边形ABOC的面积为S，则
．
由于，所以当，即时，．所以当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3．
【总结升华】 解决本题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立S关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．
举一反三：
【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.
（1）设，长方形停车场PQCR面积为S，求
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）14050－9000 950
【解析】（1）作PM⊥AB于M点，又，则
（2）设，即
则．
代入化简得．
故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2) ．
【巩固练习】
1．设，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
4．的值是（ ）
A．tan28° B．－tan28° C． D．
5．若是第二象限的角，且，则的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
6．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为( )
A. B. C．1 D.
7．函数在区间上的最小值（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．函数（ ）
A．在上递增，在上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在上递增，在上递减
9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
10．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
11．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．
12．若（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）
13．已知求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋)的值．
15．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连结BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵，∴，，，∴，，，故选D．
2．【答案】A
【解析】，∴，
原式，故选A．
3．【答案】D
【解析】 因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
4．【答案】D
【解析】原式
，故选D．
5．【答案】A
【解析】是第二象限的角，且，
∴，k∈R，
，故选A．
6．【答案】D
【解析】由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，
∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A
＝－cos2A＋2cosA＋1.
又0＜A＜，0＜cosA＜1.
∴cosA＝时，有最大值.
7．【答案】D
【解析】，
又因为，所以，故选Ｄ．
8．【答案】A
【解析】原式=，图象如图所示．
9．【答案】
【解析】cos(＋A)＝coscosA－sinsinA
＝(cosA－sinA)＝，
∴cosA－sinA＝＞0. ①
∴0＜A＜，∴0＜2A＜
①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.
∴cos2A＝.
10．【答案】，
【解析】第一问略．（2）因为x∈[-π/6，a]，所以2x+π/6∈[-π/6，2a+π/6]，因为值域是[-1/2，1]，画一个单位圆可知定义域的长度是小于2π的．然后通过单位圆可知2a+π/6小于等于7π/6 ，大于等于π/2，所以a∈[π/6，π/2]
11．【答案】[－，]
【解析】法一：设x＝cosαsinβ，
则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴ ∴
∴－≤x≤.
法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.
12．【答案】（－2，2）
【解析】由，得
．
由于函数y=cos x的对称轴为x=kπ（k∈Z），因此只需（k∈Z）即可，于是（k∈Z），此时tan=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，如（1，－1）．
13．【解析】
，，
（1）
（2）
14．【解析】(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ
＝cosβ＋sinβ＝.
∴cosβ＋sinβ＝.
∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)
＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<.
∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，
∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
15．【解析】（1）因为
，所以的最小正周期为π．
（2）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值－1．
16．【解析】设∠PAB=α，连结PB.
∵AB是直径，∴∠APB=90°.
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα.
∵PC是切线，∴∠BPC=α.又PC=1，
∴S四边形ABCP=S△APB+S△BPC
=
=
=
=
=
由已知，
．
又．
故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于．
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：．
【思路点拨】观察等式左右两边，易知运用倍角公式进行转换．
【证法一】
=右边
∴ 等式成立
【证法二】
∴ 等式成立
【总结升华】 证明题的一般原则是由繁到简．本题从左往右证，方法是弦化切，注意到，然后巧妙地运用二倍角的余弦公式而获解．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
【变式2】 证明：．
【证明】
．
例2．已知．
【证明】
方法一：
将代入：
又
方法二：，
又，
,
，
，
．
【总结升华】证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系．方法一用代入法把，再把；方法二中利用恒等式消去条件中的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法．
类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4． 已知，试求的值．
【解析】 解法一：由①2+②2，得，即．
再将①②两边分别相乘，得
，
即．
将代入上式，得．
解法二：因为，
所以，再由例1的【变式1】中的公式可得：
．
【总结升华】 将条件进行加、减、乘、除以及对条件式进行平方再进行运算都是常用的解题手段，当然这需要根据题设条件灵活处理．
举一反三：
【变式1】若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为( )
A．－ B.
C. D.
【答案】A
【解析】 由tanα＋＝?(tanα－3)(3tanα－1)＝0得tanα＝3或tanα＝，由α∈(，)得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin(2α＋)＝×＝×，将分式分子与分母同除以cos2α得sin(2α＋)＝×＝－.
【变式2】若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________ .
【答案】
【解析】∵＝＝3，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．已知，求：
（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）的单调区间．
【思路点拨】先用降幂公式降幂，然后利用这个公式把原式进行变形．
【答案】（1） （2）单增区间 单间区间
【解析】
（1）
=
由，时
即时，．
（2），
即
是单增函数．
，
即
是单减函数．
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx=
所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）f()==－,所以,因为C为锐角,所以,所以,所以sinA =cosB=.
【变式2】已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
为所求
（2）
类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用
例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【思路点拨】因为A点是动点，所以连接OA，设∠AOP=，然后用的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．
【答案】当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3
【解析】连接OA，设∠AOP=，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，AH=sin，OH=cos．在Rt△ABH中，，所以，所以，
设平行四边形ABOC的面积为S，则
．
由于，所以当，即时，．所以当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3．
【总结升华】 解决本题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立S关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．
举一反三：
【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.
（1）设，长方形停车场PQCR面积为S，求
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）14050－9000 950
【解析】（1）作PM⊥AB于M点，又，则
（2）设，即
则．
代入化简得．
故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2) ．
【巩固练习】
1．设，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
4．的值是（ ）
A．tan28° B．－tan28° C． D．
5．若是第二象限的角，且，则的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
6．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为( )
A. B. C．1 D.
7．函数在区间上的最小值（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．函数（ ）
A．在上递增，在上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在上递增，在上递减
9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
10．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
11．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．
12．若（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）
13．已知求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋)的值．
15．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连结BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵，∴，，，∴，，，故选D．
2．【答案】A
【解析】，∴，
原式，故选A．
3．【答案】D
【解析】 因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
4．【答案】D
【解析】原式
，故选D．
5．【答案】A
【解析】是第二象限的角，且，
∴，k∈R，
，故选A．
6．【答案】D
【解析】由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，
∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A
＝－cos2A＋2cosA＋1.
又0＜A＜，0＜cosA＜1.
∴cosA＝时，有最大值.
7．【答案】D
【解析】，
又因为，所以，故选Ｄ．
8．【答案】A
【解析】原式=，图象如图所示．
9．【答案】
【解析】cos(＋A)＝coscosA－sinsinA
＝(cosA－sinA)＝，
∴cosA－sinA＝＞0. ①
∴0＜A＜，∴0＜2A＜
①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.
∴cos2A＝.
10．【答案】，
【解析】第一问略．（2）因为x∈[-π/6，a]，所以2x+π/6∈[-π/6，2a+π/6]，因为值域是[-1/2，1]，画一个单位圆可知定义域的长度是小于2π的．然后通过单位圆可知2a+π/6小于等于7π/6 ，大于等于π/2，所以a∈[π/6，π/2]
11．【答案】[－，]
【解析】法一：设x＝cosαsinβ，
则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴ ∴
∴－≤x≤.
法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.
12．【答案】（－2，2）
【解析】由，得
．
由于函数y=cos x的对称轴为x=kπ（k∈Z），因此只需（k∈Z）即可，于是（k∈Z），此时tan=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，如（1，－1）．
13．【解析】
，，
（1）
（2）
14．【解析】(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ
＝cosβ＋sinβ＝.
∴cosβ＋sinβ＝.
∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)
＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<.
∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，
∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
15．【解析】（1）因为
，所以的最小正周期为π．
（2）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值－1．
16．【解析】设∠PAB=α，连结PB.
∵AB是直径，∴∠APB=90°.
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα.
∵PC是切线，∴∠BPC=α.又PC=1，
∴S四边形ABCP=S△APB+S△BPC
=
=
=
=
=
由已知，
．
又．
故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于．