苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：40《三角恒等变换》全章复习与巩固(提高)

三角恒等变换综合

【学习目标】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
【知识网络】
【典型例题】
类型一：正用公式
例1．已知:，求的值.
【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值．
【解析】由已知可求得.
当在第一象限而在第二象限时，
.
当在第一象限而在第三象限时，
.
当在第二象限而在第二象限时，
.
当在第二象限而在第三象限时，
.
【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．
举一反三：
【变式1】已知，求的值．
【答案】
【解析】
．
例2．已知，，，，求的值．
【思路点拨】注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求，只需求出．
【答案】
【解析】∵ ， ∴，
∵ ， ∴．
∴

【总结升华】
（1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,, 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】已知
【思路点拨】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
【答案】
【解析】∵，∴
∴

∴＝
【变式2】已知求的值．
【答案】
【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∵，∴
∴
又
∴
∴
＝
于是有.
类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）； （2）.
【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．
（1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）原式；
（2）原式=
.
【总结升华】
（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．
（2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝
【变式2】已知，那么的值为（ ）
A． B．　 C． D．
【答案】A；
【解析】∵，
∴.
例4. 求值：
（1）；（2）
【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．
【答案】（1）1/4 （2）1/8　
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=

【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是(．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．
举一反三：
【变式】求值：．
【答案】1/8
【解析】
原式=
=
=．
类型三：变用公式
例5．在中，求值：
【答案】1
【解析】∵，∴，∴
∴原式=
例6. 化简：
（1）；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；
（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系．
【答案】（1）1（2）1
【解析】
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）；（2）； （3）
【答案】（1）4（2）4（3）
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=
=.
【变式2】若，且，则___________.
【答案】
【解析】由，，得，
.
例7．已知，，求的值．
【思路点拨】 先分析所求式 ,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．
【答案】
【解析】∵，
，
解得, ，
∴.
举一反三：
【变式1】若、是方程的两根，求的值．
【答案】
【解析】由已知 ，因而应将所求式转化成已知的结构，
∴=．
类型四：三角函数知识的综合应用
例8．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
(Ⅰ)求的值及函数的值域;
(Ⅱ)若,且,求的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由已知可得:
=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4
所以,函数
所以,函数
(Ⅱ)因为(Ⅰ)有

由x0
所以,
故


【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
举一反三：
【变式1】设,其中
(Ⅰ)求函数 的值域
(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.
【思路点拨】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(1)


因,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有,于是
,解得,故的最大值为.
【变式2】已知向量,函数的最大值为6.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
【答案】(Ⅰ) 6 (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ),
则;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.
当时,,.
故函数在上的值域为.
另解:由可得,令,
则,而,则,
于是,
故,即函数在上的值域为
【巩固练习】
1．已知,函数在上单调递减.则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
2．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）
3．设是方程的两个根,则的值为 （　　）
A． B． C．1 D．3
4．若,,则（　　）
A． B． C． D．
5．已知,(0,π),则=（　　）
A．1 B． C． D．1
6．若tan+ =4,则sin2=（　　）
A． B． C． D．
7．函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（　　）
A．[ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[- , ]
8．已知为第二象限角,,则（　　）
A． B． C． D．
9．的取值范围是 ．
10．设为锐角,若,则的值为 .
11．函数的图象如下，则等于（ ）
12．关于函数有下列命题：
①函数的周期为；
②直线是的一条对称轴；
③点是的图象的一个对称中心；
④将的图象向左平移个单位，可得到的图象.其中真命题的序号是______.（把你认为真命题的序号都写上）
13．条件求值：
（1）已知
（2）已知
14．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
15．设函数
(I)求函数的最小正周期;
(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式.
16．将一块圆心角为，半径为200cm的扇形铁片截成一块矩形；如图有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行．请问哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
【答案与解析】
1．【答案】
【解析】 不合题意 排除
合题意 排除
另:,
得:
2． 【答案】A
【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=,得:y3=0;观察即得答案.
3．【答案】A
【解析】
4．【答案】
【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.
5．【答案】A
【解析一】
,故选A
【解析二】
,故选A
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.
6． 【答案】D
【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为,所以..
【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.
7．【答案】B
【解析】
f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,].
【总结升华】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.
8． 【答案】A
【思路点拨】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.
【解析】法一：,两边平方可得
是第二象限角,因此,
所以
法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又
所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选.
9．【答案】
【解析】原式=
=
，．
10．【答案】.
【解析】∵为锐角,即,∴.
∵,∴.∴.
∴.
∴
.
11．【答案】 2012
【解析】由图象可知，函数的最大值为，最小值为，解得，函数的周期，即，所以，所以，当时，，所以，所以，即.在一个周期内，
所以.
12．【答案】①③
【解析】，所以周期，所以①正确，当时，不是最值，所以②不正确.，所以③正确.将的图象向左平移个单位，得到，所以④不正确，综上正确的命题为①③.
13．【解析】（1）由已知得
∴ ①
由已知得，，∴，即
∴tan，∴由①得
∴
＝
＝
＝
（2）注意到互为余角，
由已知得
∵，∴
∴
∴原式＝＝
＝＝
＝=
14．【解析】（1）对于 ，两边平方得
∴
∵，∴cosx＞0，sinx＜0
∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－
（2）联立，解得
∴原式＝
15．【解析】

(I)函数的最小正周期
(2)当时,
当时,
当时,
得:函数在上的解析式为
16．【解析】 在方案一中，令∠AOM=，则0＜＜90°，
在Rt△OMP中，MP=200sin，OP=200cos，
所以，SOPMN=20000sin2，
当2=90°，即=45°时，SOPMN取得最大值20000 cm2．
在方案二中，令∠AOM=，则0＜＜60°，
在Rt△OMS中，MS=200sin，OS=200cos，
在Rt△MQS中，∠MQS=60°，
，
在Rt△OCQ中，
，
所以，


，
当2+30°=90°，即=30°时，SMNPQ取得最大值cm2．
比较两种方案的最大值可知，第二种截法能得到最大面积，最大面积为cm2．