苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：01平均变化率与导数的概念(基础)

平均变化率与导数的概念

【学习目标】
（1）理解平均变化率的概念；
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；
【要点梳理】
要点一：平均变化率问题
1.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：
要点诠释：
① 本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,,则函数从到的平均变化率为
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从t1秒到t2秒的平均变化率即为t1秒到t2秒这段时间的平均速度。
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
2.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即。
要点诠释：
1. 是的一个“增量”，可用代替，同样。
2. 是一个整体符号，而不是与相乘。
3. 求函数平均变化率时注意，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常函数，则=0.
要点二：导数的概念
定义：函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，
则称在处可导，并称该常数A为函数在处的导数,记作.
要点诠释：
① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。
② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在一个常数与无限接近。
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。
要点三：求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
得导数：由得
也可称为三步法求导数。
【典型例题】
类型一：求平均变化率
例1.函数在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
【解析】 ∵
∴
【总结升华】由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率问题，就是求的值。
举一反三：
【变式1】求在附近的平均变化率.
【答案】
所以
所以在附近的平均变化率为
【变式2】求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.
【答案】当变量从变到时，函数的平均变化率为
当，时，平均变化率的值为：.
【变式3】 已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,
则 ．
【答案】 ∵ ，
∴
?类型二：利用定义求导数值

例2．（1）求函数 在x=1处的导数.
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【解析】 (1)
, 即.
所以函数在x=1处的导数为6 .
（2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比，
需先求，
再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。
再由导数定义得： ，
【总结升华】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。
举一反三：
【变式1】求函数在点处的导数.
【答案】，所以
∴
【变式2】 求函数求在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【答案】 ，所以
∴
【变式3】 若，求和
【答案】 因为，所以
所以
因为，所以实际是求函数处的导数值，，0
所以= 0
类型三：实际问题中导数的应用
例3. 质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.
【解析】根据平均速度的意义，运用导数的知识求解。
瞬时速度
【总结升华】 t=2时的瞬时速度就是t=2附近平均速度的极限，亦即速度在t=2时导数。
举一反三：
【变式1】如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是
求（1）t=4时，物体的位移是s(4);
（2）t=4时，物体的速度v(4);
（3）t=4时，物体的加速度a(4).
【答案】(1)
(2) t=4时，
∴v(4)=48
(3)
∴
t=4时
∴a (4) = 24
【变式2】一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
【答案】自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.
当 时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　
因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：
从而，.
结论：越小，越接近29.4米/秒
当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.
【变式3】 质点按规律s (t)=at2+1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）。若质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m / s，求常数a的值。
【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s(2)=a(2+Δt)2+1―a×22－1=4aΔt+a(Δt)2，
∴。
∴在t=2 s时，瞬时速度为，即4a=8。
∴a=2。
【巩固练习】
一、选择题
1、在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，当自变量x由改变到+Δx时，函数的增量Δy为（ ）
A． B．
C． D．
3．质点运动规律，则在时间（3，3+Δt）中，相应的平均速度等于（ ）
A．6+Δt B． C．3+Δt D．9+Δt
4. 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A. 叫函数增量
B. 叫函数在[]上的平均变化率
C. 在点处的导数记为
D. 在点处的导数记为
5．如果质点按规律s=3t2运动，则在t=3时的瞬时速度为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
6． 设，若，则a=（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．不确定
7．当自变量从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x0处的导数
D．在区间[x0，x1]上的导数
8．物体自由落体运动的方程为（g=9.8 m / s2），若，那么说法正确的是（ ）
A．9.8 m / s是在0～1 s这段时间内的速率
B．9.8 m / s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率
C．9.8 m / s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D．9.8 m / s是物体在1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率
二、填空题
9．已知函数y＝x+3，当x＝1时，＝ .
10.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ；时， .
11．函数在x=1处的导数是 .
三、解答题
12．已知函数f(x)＝2x＋1，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)的平均变化率．
13．求函数在处的导数[
14． 已知函数y=log2x+1。
（1）求函数在[2，2.1]上的平均变化率；
（2）若自变量从x0增加到x0+Δx，该函数的平均变化率又是多少？（x0＞0）
15．物体运动方程如下
求此物体在t=2和 t=4 时的瞬时速度
【答案与解析】
1.【答案】 C
【解析】 可正可负但不能为零。
2.【答案】 D
【解析】 由公式可得，故选D。
3.【答案】 A
【解析】 由平均速度的定义，有。故选A。
4.【答案】 C
【解析】 正确的写法应该是
5.【答案】 B
【解析】 。故选B。
6.【答案】 A
【解析】∵，∴a=2，故选A。
7.【答案】 A
【解析】由平均变化率的定义可知，，即在区间[x0，x1]上的平均变化率，故选A。
8.【答案】 C
【解析】 ，即s（t）在t=1 s时的导数值。由导数的物理意义，得9.8 m / s是物体在t=1 s这一时刻的速率。故选C。
9.【答案】 　1
【解析】
10.【答案】 　2， 2
【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。
11.【答案】 　0
【解析】 ，所以 。
12.【解析】函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 .
13.【解析】，
14．【解析】（1）∵x1=2，x2=2.1，Δx=x2－x1=0.1，
∴，，
∴函数在[2，2.1]上的平均变化率 。
（2）
，
，
，
∴ 函数的平均变化率 。
15.【解析】
当t=2时，,
当t=4时,,
物体在t=2和 t=4时瞬时速度分别为12和6。