苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：05简单复合函数的导数(基础)

简单复合函数的导数

【学习目标】
1.理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
2.能熟练运用求导法则对函数进行求导.
【要点梳理】
要点一：复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。
要点二：复合函数的导数
设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．
要点三：复合函数的求导方法
1.分层：将复合函数分出内层、外层。
2.各层求导：对内层，外层分别求导。得到
3.求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到
的导数。
要点诠释：
1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
　　（1）； （2）；
（3）； 　　　
【解析】
（1）设μ=1-3x，，则
　　 。
　　 （2）设，y=cosμ，则
　　 。
（3）设
　　
【总结升华】
把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。
举一反三：

【变式】 求下列函数导数.
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1），
∴
（2），.
∴
（3），，
∴.
例2 求下列函数导数.
(1)； （2）； （3）
【解析】
(1) 令,,
（2）
　　 。
（3）设，μ=sinv，，则
　　
　　 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：
　 　
　　
【总结升华】
1.复合函数求导数的步骤是：
①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；
②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；
③将中间变量代回为自变量的函数。
简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，
即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。
2.同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。
举一反三：
【变式1】 求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【答案】
解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x
＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x
＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）
＝＋cos 4 x．
y′＝－sin 4 x．
解法二：y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′
＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)
＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x
＝－sin 4 x
【变式2】求下列函数导数：
（1）；
（2）求函数的导数（）。
【答案】（1）设u=1－2x2，则。
∴
。
（2）．方法一：
。
方法二：∵，∴
。
类型二：利用导数求函数式中的参数
例3.（1），若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）设函数，若是奇函数，
则=________。
【解析】 （1）∵，
∴，∴，故选A。
（2）由于，
∴，
若是奇函数，则，即，
所以。
又因为，所以。
【总结升华】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。
举一反三：
【变式1】
已知函数过点（1，5），其导函数的图象如图所示，求的解析式。
【答案】∵，
由，，，得
，解得，
∴函数的解析式为。

【变式2】已知是关于的多项式函数，
（1）若，求；
（2）若且，解不等式.
【解析】（1）显然是一个常数，所以
所以，即
所以
（2）∵，∴可设
∵ ∴
由，解得.
【巩固练习】
一、选择题
1．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则（ ）
A．0 B．―1 C．―60 D．60
3．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
4．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
5．已知函数且f′(1)=2，则实数a的值为（ ）
　　A．a=1 B．a=2 C． D．a>0
6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．的导数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．设，则____________。
9．设y=(2x+a)2，且，则a=________。
10．的导数是________。
11．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________。
三、解答题
12．已知，，求适合的x的值。
13．求下列函数的导数。
（1）； （2）。
14．求曲线在点处的切线方程。
15．设一质点的运动规律为（s单位是m；t的单位是s），试求 时质点运动的速度v。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 。
2．【答案】D
【解析】 ∵，∴。
3．【答案】C
【解析】当时，，函数在上是增函数；
当时，，在上是减函数，
故当时取得最小值，即有
得
4．【答案】C
【解析】f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
5．【答案】B
【解析】， ，所以a=2 。
6．【答案】B
【解析】，则，
∴x=2或x=－1（舍）。
7．【答案】A
【解析】 ∵，
∴。
8．【答案】-3
【解析】
9．【答案】1
【解析】 ，且x=2，则a=1。
10．【答案】
【解析】 ，
则。
11．【答案】（―2，15）
【解析】 ，令，
P在第二象限x=―2P（―2，15）。
12．【解析】，，
则，，即。
∴。
13．【解析】（1）。
（2）
　　
　　 ；
14．【解析】，则
　　。
　　∴切线方程为
　　即5x+32y-7=0。
15．【解析】：∵，
∴
，
∴。