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【精选专题讲义】人教版初中数学全套88讲
第7讲 一元一次方程知识点、考点与考题专题精讲（学生版）
通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；?
初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
?培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
方程定义
定义：____________叫做方程。
第一种包含两个要素：①必须是等式；②必须含有未知数；两者缺一不可。
易错点：①方程一定是______，但____不一定是方程；②方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字幕表示；③方程中可含有多个未知数。
2.一元一次方程
（1）定义：只含有____未知数，未知数的次数都是__，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。
3.列一元一次方程
（1）列一元一次方程的一般步骤：
①设出适当的未知数；
②用含有未知数的式子表示题中的________；
③根据实际问题中的等量关系列出方程。
（2）列一元一次方程的基本流程：
实际问题一元一次方程
设未知数的方法：①题中问什么设什么（设直接未知数）；②找的________需要什么设什么（设间接未知数）。
4.方程的解和解方程
（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解。
（2）求方程的解的过程叫做______。
（3）理解要点：①方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是一个____，是具体数值，而解方程是一个________；②要检验一个数是不是一个方程的解只需将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验两边的值是否相等。
（4）方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。
（5）易错点：①方程中的未知数不一定只有一个；②方程的解可能________，也可能无解；③检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分 别计算。
5.等式的性质
（1）定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。
（2）种类：①恒等式，等式中的字母可以为任何数；②条件等式；等式中的字母取值为特定数。
（3）性质：①等式的两边同时加或减同一个______式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘或除同一个______式子，等式仍成立。
6.解一元一次方程的方法
(1)合并同类项与系数化为1：①合并同类项，将一元一次方程的未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax=b（a≠0）的形式。②系数化为1，在方程的两边同时除以未知数的系数，使方程变为x=a/b（a≠0）的形式，变形的依据是等式的性质2。
（2）系数化为1时，常出现以下几个错误：①颠倒除数与被除数的位置；②忘记未知数系数的符号；③当未知数的系数含有____时，不考虑系数是不是______的情况。
方程的定义
【例1】在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1; 在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-1/2x=x+1④x+2y=3中方程有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
练1. 下面的式子哪些是等式？哪些是方程？ 75—X=20 77—27=50 13+x＞23 x—0=89 10x 64+3x=100
2.一元一次方程
【例2】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+y=1 B．x2﹣x=1 C．+1=3x D．+1=3
【例3】已知下列方程:①x-2=;②0.3x=1;③=5x-1;④x2-4x=3;⑤x=0;⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
练2.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1= (3)2+1.5x=8 (4)3x2-4x=10 (5)x=0
(6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是 (填序号)。
练3.在方程4x-y=0,x+1/x-2=0，-2x=1，x2-2x+7=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.列一元一次方程
【例4】 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时.
练4. 在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人?
练5. 王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍?
4.解方程去分母
【例5】 解方程x/2-1=(x-1)/3时，去分母正确的是（ ）
A．3x-3=2x-2 B．3x-6=2x-2
C．3x-6=2x-1 D．3x-3=2x-1
练6.方程（2x－1）/3?=(x+2)/2?+1 去分母后为________。
5.解方程与等式的性质
【例6】方程x-2=2-x的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=0
练7. 如果等式ax=bc成立,则下列等式成立的是（ ）
A．abx=abc ; B．x=bc/a; C．b-ax=a-bc D．b+ax=b+bc
【例7】增加2倍的值比 扩大5倍少3，列方程得（D ）
A．2x=5x+3 B．2x=5x-3 C．3x=5x+3 D．3x=5x-3
练8. 方程3a/10+(2x+4)/2=4(x-1)的解为x=3，则 a的值为（ ）
A．2 B．22 C．10 D．－2
练9. 解方程：2x+1=7
练10.
练11. 解方程：．
练12. 解方程：．
1. 下列各式中，哪些是代数式，哪些是等式，哪些是方程？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2. 检验下列各数是不是方程的解：
（1） （2）
3.已知a≠1，则关于 的方程(a-1)x=1-a的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=-1 D．无解
4．对∣x-2∣+3=4，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程； B．是方程，其解为1；
C．是方程，其解为3； D．是方程，其解为1、3。
5．A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨。若经过x 个月后，两厂库存钢材相等，则x ＝（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
6．（2015吉安初一月考）某种产，商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货 价仍获利20%，该商品的进货价为（ ）。
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
7. 下列方程中，是一元一次方程的是（）
A．x+y=1 B．x2﹣x=1 C．+1=3x D．+1=3
8. 若代数式4x﹣5与的值相等，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
9. 是的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．方程2x－1＝3x＋2的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
11．若，则用含x的代数式表示y为 ．
12．把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y= ．
13．某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为 ．
14．已知是方程的解，则m的值为
15．已知x=6是关于x的方程的解，则m的值是 ．
16．已知是关于x的方程的解，则a的值是 ．
17．（2015淮安初一月考）代数式-2a+1与1+4a互为相反数，则a=
18．如果 - 3x2a+1+6=0是一元一次方程，那么a= ，方程的解为x=
19．若x= -4是方程ax2-6x-8=0的一个解，则a=?
20．如果5a2b-3(2m+1)与-3a2b2(m+3)是同类项，则m=
21．已知3x+2=0，则4x+3= __________
22．编写一个解是X= -1的一元一次方程为
23．要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯，设需截取边长为6厘米的的方钢x厘米，可得方程为____________
24.解方程
（1）解方程：4（2-x）-3（x+1）=6
（2）解方程：
【资料介绍】该资料结合一元一次方程的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
教学目标
模块二
知识梳理
模块三
典例精讲
模块四
当堂检测
模块五
家庭作业
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【精选专题讲义】人教版初中数学全套88讲
第7讲 一元一次方程知识点、考点与考题专题精讲（解析版）
通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；?
初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
?培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
方程定义
定义：____________叫做方程。
第一种包含两个要素：①必须是等式；②必须含有未知数；两者缺一不可。
易错点：①方程一定是______，但____不一定是方程；②方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字幕表示；③方程中可含有多个未知数。
2.一元一次方程
（1）定义：只含有____未知数，未知数的次数都是__，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。
3.列一元一次方程
（1）列一元一次方程的一般步骤：
①设出适当的未知数；
②用含有未知数的式子表示题中的________；
③根据实际问题中的等量关系列出方程。
（2）列一元一次方程的基本流程：
实际问题一元一次方程
设未知数的方法：①题中问什么设什么（设直接未知数）；②找的________需要什么设什么（设间接未知数）。
4.方程的解和解方程
（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解。
（2）求方程的解的过程叫做______。
（3）理解要点：①方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是一个____，是具体数值，而解方程是一个________；②要检验一个数是不是一个方程的解只需将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验两边的值是否相等。
（4）方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。
（5）易错点：①方程中的未知数不一定只有一个；②方程的解可能________，也可能无解；③检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分 别计算。
5.等式的性质
（1）定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。
（2）种类：①恒等式，等式中的字母可以为任何数；②条件等式；等式中的字母取值为特定数。
（3）性质：①等式的两边同时加或减同一个______式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘或除同一个______式子，等式仍成立。
6.解一元一次方程的方法
(1)合并同类项与系数化为1：①合并同类项，将一元一次方程的未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax=b（a≠0）的形式。②系数化为1，在方程的两边同时除以未知数的系数，使方程变为x=a/b（a≠0）的形式，变形的依据是等式的性质2。
（2）系数化为1时，常出现以下几个错误：①颠倒除数与被除数的位置；②忘记未知数系数的符号；③当未知数的系数含有____时，不考虑系数是不是______的情况。
参考答案：
1.含有未知数的等式 等式 等式
2. 一个 1
3. 数量关系 等量关系
4. 解方程 结果 变形过程 不止一个
5. 不为0 不为0
6. 字母 等于0
方程的定义
【例1】在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1; 在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-1/2x=x+1④x+2y=3中方程有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①不是方程，因为它不是等式；②不是方程，它不含有未知数；③是含有未知数x 的方程；④是含有未知数x、y的方程
答案：B
练1. 下面的式子哪些是等式？哪些是方程？ 75—X=20 77—27=50 13+x＞23 x—0=89 10x 64+3x=100
【解析】方程有：75－X＝20 x－0＝89 64＋3x＝100
等式（包含方程）有： 75－X＝20 x－0＝89 64＋3x＝100 77－27＝50
2.一元一次方程
【例2】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+y=1 B．x2﹣x=1 C．+1=3x D．+1=3
【解析】一元一次方程必须包含：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。
答案：C
【例3】已知下列方程:①x-2=;②0.3x=1;③=5x-1;④x2-4x=3;⑤x=0;⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】方程①的分母中含未知数x,所以它不是一元一次方程;方程④中未知数x的最高次数是2而不是1,所以它也不是一元一次方程;方程⑥中含有两个未知数,所以也不是一元一次方程;方程②③⑤是一元一次方程,它们都同时满足一元一次方程的三个特点.
答案:：B
练2.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1= (3)2+1.5x=8 (4)3x2-4x=10 (5)x=0
(6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是 (填序号)。
【解析】考查一元一次方程的定义：
①等号两边都是整式；
②是方程：
③只含有一个未知数；
④未知数的次数都是1（化简后）。
答案：（1） （3） （5）
练3.在方程4x-y=0,x+1/x-2=0，-2x=1，x2-2x+7=0中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】一元一次方程的定义：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。4x-y=0含有两个未知数；=0左边不是整式；-2x=1是一元一次方程；x2-2x+7=0化简后没有未知数。
答案：A
3.列一元一次方程
【例4】 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时.
【解析】 (1)设正方形的边长为xcm,列方程得4x=24.
(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时,那么在x月里这台计算机使用了150x小时,列方程得1 700+150x=2 450.
总结:同学们在列方程时,一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义,体会列方程所依据的等量关系.
练4. 在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人?
【解析】如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则根据题意可列出方程
2x－4=18
练5. 王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍?
【解析】
如果设再过 x年，则x年后王玲的年龄是 12+x岁
则： x年后爸爸的年龄是36+x 岁
依题意列方程
2（12+x）=36+x
4.解方程去分母
【例5】 解方程x/2-1=(x-1)/3时，去分母正确的是（ ）
A．3x-3=2x-2 B．3x-6=2x-2
C．3x-6=2x-1 D．3x-3=2x-1
【解析】去分母时等号两边同时乘以分母的最小公倍数，是每一项都要乘。
答案：B
练6.方程（2x－1）/3?=(x+2)/2?+1 去分母后为________。
【解析】等式两边分母最小公倍数为6，所以两边同时乘以6，化简为
2（2x-1）=3（x+2）+6
4x-2=3x+6+6
注意：等号右边1也要乘6。
5.解方程与等式的性质
【例6】方程x-2=2-x的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=0
【解析】解方程移项要变号，2x=4 所以x=2
答案：C
练7. 如果等式ax=bc成立,则下列等式成立的是（ ）
A．abx=abc ; B．x=bc/a; C．b-ax=a-bc D．b+ax=b+bc
【解析】①等式的两边同时加或减同一个不为0式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘或除同一个不为0式子，等式仍成立。
答案：D
【例7】增加2倍的值比 扩大5倍少3，列方程得（D ）
A．2x=5x+3 B．2x=5x-3 C．3x=5x+3 D．3x=5x-3
【解析】设这个数为x，增加2倍为实际为原来3被即3x； 扩大5倍少3为5x-3。
答案：D
总结：易错选B，增加n倍实在原来基础上增加n倍，变为原来（n+1）倍。
练8. 方程3a/10+(2x+4)/2=4(x-1)的解为x=3，则 a的值为（ ）
A．2 B．22 C．10 D．－2
【解析】x=3是方程的解，直接把x=3代入方程解关于a的一元一次方程，由此可得a=10
答案：C
练9. 解方程：2x+1=7
【解析】此题直接通过移项，合并同类项，系数化为1可求解．
答案：解：原方程可化为：2x=7﹣1
合并得：2x=6
系数化为1得：x=3
总结：解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式．
练10.
【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
答案：左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），
化简可得：3x+3=8x﹣8，
移项可得：5x=11，
解可得x=．
故原方程的解为x=．
总结：若是分式方程，先同分母，转化为整式方程后，再移项化简，解方程可得答案．
练11. 解方程：．
【解析】（1）先去括号，然后再移项、合并同类型，最后化系数为1，得出方程的解；
（2）题的方程中含有分数系数，应先对各式进行化简、整理，然后再按（1）的步骤求解．
答案：解：去分母得：5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，
去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2，
移项得：5x﹣2x=2+5+2，
合并得：3x=9，
系数化1得：x=3．
总结：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
（2）本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍，值不变．这一性质在今后常会用到．
练12. 解方程：．
【解析】此题两边都含有分数，分母不相同，如果直接通分，有一定的难度，但将方程左右同时乘以公分母6，难度就会降低．
答案：解：去分母得：3（2﹣x）﹣18=2x﹣（2x+3），
去括号得：6﹣3x﹣18=﹣3，
移项合并得：﹣3x=9，
∴x=﹣3
总结：本题易在去分母和移项中出现错误，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
1. 下列各式中，哪些是代数式，哪些是等式，哪些是方程？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2. 检验下列各数是不是方程的解：
（1） （2）
3.已知a≠1，则关于 的方程(a-1)x=1-a的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=-1 D．无解
4．对∣x-2∣+3=4，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程； B．是方程，其解为1；
C．是方程，其解为3； D．是方程，其解为1、3。
5．A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨。若经过x 个月后，两厂库存钢材相等，则x ＝（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
6．（2015吉安初一月考）某种产，商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货 价仍获利20%，该商品的进货价为（ ）。
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
7. 下列方程中，是一元一次方程的是（）
A．x+y=1 B．x2﹣x=1 C．+1=3x D．+1=3
8. 若代数式4x﹣5与的值相等，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
9. 是的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．方程2x－1＝3x＋2的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
11．若，则用含x的代数式表示y为 ．
12．把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y= ．
13．某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为 ．
14．已知是方程的解，则m的值为
15．已知x=6是关于x的方程的解，则m的值是 ．
16．已知是关于x的方程的解，则a的值是 ．
17．（2015淮安初一月考）代数式-2a+1与1+4a互为相反数，则a=
18．如果 - 3x2a+1+6=0是一元一次方程，那么a= ，方程的解为x=
19．若x= -4是方程ax2-6x-8=0的一个解，则a=?
20．如果5a2b-3(2m+1)与-3a2b2(m+3)是同类项，则m=
21．已知3x+2=0，则4x+3= __________
22．编写一个解是X= -1的一元一次方程为
23．要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯，设需截取边长为6厘米的的方钢x厘米，可得方程为____________
24.解方程
（1）解方程：4（2-x）-3（x+1）=6
（2）解方程：
参考答案
当堂检测
1.答案： 代数式：（3）（4）
等式：（1）（2）（5）（6）
方程：（2）（5）（6）
2. （1）把分别代入方程的左、右两边，得
左边，
右边
∵左边右边， ∴不是方程的解。
（2）把分别代入方程的左、右两边，得
左边，
右边
∵左边右边，
∴是方程的解。
3.C 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D
家庭作业
11.y=8-x
12.y=3-2x
13.（1/6+1/4）x=1
14.-3
15.3/5
16.4/5
17.-1
18.0 2
19.-1
20.-9/8
21.1/3
22.2x=x-1
23.
24.(1)-1/7 (2)3/4
【资料介绍】该资料结合一元一次方程的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
教学目标
模块二
知识梳理
模块三
典例精讲
模块四
当堂检测
模块五
家庭作业
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