上海市2019-2020学年度高二数学第二学期圆锥曲线综合类典型例题以及变式训练（学案）

上海市2019-2020高二数学第二学期精品讲义
圆锥曲线综合类典型例题以及变式训练


【知识梳理】　
完成下面表格中内容：
椭圆 双曲线 抛物线
定　　义
标准方程
图 形
范　　围
顶　　点


【典型例题分析】
问题1：求圆锥曲线的标准方程、准线方程等.
例1、设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或
变式练习1：已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。
（1）求椭圆C的标准方程；
解：（1）、
所以椭圆C的标准方程为。
变式练习2：已知双曲线C：的一个焦点是，且。
（1）求双曲线C的方程；
（
解：（1）
。
问题2：圆锥曲线的几何性质
例2、设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且
｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.
思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.
解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，
若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.
若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.
解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.
于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.
变式练习1：已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是 （ C ）
、9 、16 、 、
变式练习2：从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积为10
变式练习3: 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为_____________.
问题3：有圆锥曲线的定义的问题
例3、已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.
思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.
解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.
由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有
.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以：　　x1+x2=8,
从而弦AC的中点的横坐标为
变式练习1：已知抛物线上的点到定点和到定直线的距离相等，则 （ D ）
A. ； B. ； C. ； D. .
变式练习2：已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．
（1）求的值．
（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．
（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题设及，得．
（2）由题设，，又，得，，
于是，故．
（3）由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，[来源:Zxxk.Com]
得，又，及，得点的坐标为，
因为点在椭圆上，所以，又，得，
，与矛盾,故不存在满足题意的直线．
问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题
　　利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
例4、抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.
解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．
点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③
又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．
由已知得，，则．　　⑥
设点的坐标为，由，则．
将③式和⑥式代入上式得，即．
∴线段的中点在轴上．
（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．
由③式知，代入得．
将代入⑥式得，代入得．
因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
，．
于是，，
．
因为钝角且、、三点互不相同，故必有．
求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即
变式练习1：已知双曲线C：的一个焦点是，且。
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。
（3）设（2）中直线与双曲线C的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。
解：（1）
。
（2） 由得

由 得

设，则
[来源:Zxxk.Com]

。
（3）, ,

因为

即
，
问题5：轨迹问题
　　根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.
例5、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹
思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.
解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k　(l>0)
则直线MF的斜率为－k，方程为
∴由，消
解得∴(定值)
所以直线EF的斜率为定值.
（2）直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得
变式练习：如图，平面上定点到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且．[来
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，
已知，，求证：为定值．
解析：方法一：如图，以线段的中点为原点，
以线段所在的直线为轴建立直角坐标系．
则，设动点的坐标为，则动点的坐标为
，，
由，得，
方法二：由得，．
所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点
为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：．
（2）方法一：如图，设直线的方程为，，，
则.
联立方程组消去得，
，，故

由，得，
，，
整理得，，，
.
方法二：由已知，，得.
于是，， ①
如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，
则有 ②
由①，②得.

问题6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题
　　建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.
例6、点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
　　思路分析：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.
解析：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得
则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=. ∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
　（2）将M点的坐标用A、B的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.
问题7：与圆锥曲线有关的对称问题
利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.
例7、过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
解法一 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 由,得,从而a2=2b2,c=b (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0)，则kAB=－，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
解法二 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 由e=,从而a2=2b2,c=b (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
直线l (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) y=x过AB的中点(),
则,解得k=0，或k=－1 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

【课后练习】
1、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( C ).
A. B. C. D.
2、 已知抛物线上的点到定点和到定直线的距离相等，则 （ D ）
A. ； B. ； C. ； D. .
3、已知曲线：，下列叙述中错误的是（ C ）．
A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点
B．直线（）与曲线最多有三个交点
C．曲线关于直线对称
D．若，为曲线上任意两点，则有
4、设曲线定义为到点和距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线绕坐标原点逆时针旋转，则此时曲线的方程为_____________．
5、设双曲线的半焦距为．已知原点到直线：的距离等于，则的最小值为_________．4
6、以双曲线的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为的圆的方程为 .
7、以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是 .
8、已知抛物线上的两点A、B的横坐标恰是方程（是实数）的两个实根，则直线的方程是 .
9、已知椭圆，常数、，且．
（1）当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；
（2）过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积；
（3）求的最大值．
解　(1)
　　　．
设满足题意的点为．，
∴，．
．
．
(2)

设点A．
联立方程组于是是此方程的解，故
　　．
(3) ．
设，则．
理由：对任意两个实数

　　　　　 ＝
．
[来源:学,科,网]
．
∴，于是．
．
．
10、已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右
焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．
答案：（1）证明：由及，得
，故、、成等比数列．（4分）
（2）解：由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，
得，又，及，得点的坐标为，（6分）[来源:学科网]
因为点在椭圆上，所以，又，得，
，故存在满足题意的直线，其斜率．（10分）
（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．（12分）
在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．（14分）
证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，
将代入，得，又将代入，化简得，
故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（16分）





O

A

B

E

F

M