上海市2019-2020学年度高二数学第二学期抛物线方程与性质综合应用与变式演练学案

上海市2019-2020高二数学第二学期精品讲义
抛物线方程及性质的综合应用和变式训练

【知识梳理】　
1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、抛物线的标准方程及图像：
图形
方程
焦点
准线
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂
注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离

【典型例题分析】
1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。
例1、抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：抛物线的标准方程为：，其准线方程为：y= -,∴a=，故选B。
变式练习1：点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( B )
(A)y=12x2 (B)y=x2或y=-x2 (C)y=-36x2 (D)y=12x2或y=-36x2





变式练习2：若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( D )
A． B． C． D．
2.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。
例2、已知A（3，1），抛物线上一点P（x,y），则|PA|+y的最小值为 。
解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点F（0，1），记P在直线y= -1上的射影为Q，
则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：
|PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。
变式练习1：一动圆圆心在抛物线上，过点(0 , 1)且与定直线相切，则的方程为（ C ）　
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　D.
变式练习2： 椭圆C1：的左准线为，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线也为，焦点为F2，记C1与C2的一个交点为P，则= （ C ）
A． B．1 C．2 D．与a,b的取值有关
3．过抛物线y2=2px的焦点直线与抛物线y2=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证明：，，|AB|=(其中为弦AB的倾角，=900时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。
例3、抛物线y2=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为： 。
解析：抛物线的准线的方程为：x= -,焦点F（，0），记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在上的射影分别是A1，B1，M1；于是有：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，
M到y轴的距离d=|MM1|-=(|AA1|+|BB1|）-=(|AF|+|BF|）-≥|AB|-
=,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当
a<2p时，A，B，F不可能共线。[来源:Z§xx§k.Com]
例4、给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则与夹角为 ；
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y2-4y-4=0[来源:Zxxk.Com]
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1+y2=4,y1y2= -4，又x1=y12, x2=y22,∴x1 x2=(y1 y2)2=1.
=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.[来源:Zxxk.Com]

=,∴cos<>=故与夹角为-arccos.
注：在研究形如y2=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。
变式练习1：AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（ C ）
A．2 B． C． D．
变式练习2：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且⊿OAB（O为坐标原点）的面积为，则m6+m4= 2
4．直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即⊿=0。
例5、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：（ ）
A．[-，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
解析：Q（-2，0），显然直线 斜率存在，记为k，则的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,①当k=0时，方程有解；②当k≠0时，⊿=64(1-k2)≥0即
-1≤k<0或0例6、如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为 .
解析：设切点A、B坐标分别为，
∵y/=2x，∴两切线斜率分别为：2x0和2x1,
于是：切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，

∴，结合=代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：

注：上述求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C0上移动，动点M随之移动（伴随点），求动点M的轨迹方程；一般解法是：寻找被动点M的坐标 (x,y)与主动点N的坐标(x0,y0)之间的关系，并用x,y表示x0,y0，再代入曲线C0的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C0的方程消去两个参数x0,y0。
变式练习1： 已知直线与抛物线相切，则
变式练习2：对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+ x0)与曲线C ( D )
A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点
C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D.没有公共点
迁移：直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是 。（-，）

5.解决直线与二次曲线相交弦的问题，常“设而不求”，即将直线方程与二次曲线方程联立方程组，利用代入消元法转化为关于x(或y)的一元二次方程，将题中所给的几何量用韦达定理、△刻划出来；如：弦长|AB|==，（其中k为直线AB的斜率），或|AB|==。涉及斜率及其弦中点的问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标分别代入二次曲线方程作差，此后略作变化（分离出弦的斜率），即可得到弦的斜率与弦中点的横纵坐标之间的关系。
例7、 在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）．则得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 ；
解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,则有：⊿=k2+4b>0 ①,x1+x2=k ②, x1x2= -b ③，又y1=x12，y2=x22
∴y1y2=b2；而 x1x2+ y1y2=0，得：-b+ b2=0且b≠0，∴b=1，代入①验证，满足；故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；设△AOB的重心为G(x,y)，则x== ④,
y== ⑤,由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为。
注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。
变式练习1：已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .
变式练习2：过抛物线上一定点P（）（）作两条直线分别交抛物线于A（），B（），若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则= 。
解析： “点差”得：
，，由PA，PB倾斜角互补知即故
【课堂小练】
1、设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）
A.［0，］ B.［0，］
C.［0，||］ D.［0，||］
解析：tanα=k=f′（x）=2ax+b，∴0≤2ax0+b≤1.∴0≤x0+≤.答案：B
2、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
A.［－，］ B.［－2，2］
C.［－1，1］ D.［－4，4］
解析：∵y2=8x，∴Q（－2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y= k（x+2）.
∵l与抛物线有公共点，
y2=8x，
y=k（x+8）
即k2x2+（4k2－8）+4k2=0有解.
∴Δ=（4k2－8）2－16k4≥0，即k2≤1.
∴－1≤k≤1.
答案：C
3、直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是___________.
解析：将y=x－1代入抛物线y2=4x，经整理得x2－6x+1=0.
由韦达定理得x1+x2=6，=3，
===2.
∴所求点的坐标为（3，2）.
答案：（3，2）
4、.在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x－5的距离最短，该点的坐标是____________.
解法一：设与y=4x－5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切，则y=4x+b代入y=4x2，得 4x2－4x－b=0. ①
Δ=16+16b=0时b=－1，代入①得x=，
∴所求点为（，1）.
解法二：设该点坐标为A（x0，y0），那么有y0=4x02.设点A到直线y=4x－5的距离为d，则
d==|－4x02+4x0－5|
=|4x02－4x0+5|=|4（x0－）2+1|.
当且仅当x0=时，d有最小值，
将x0=代入y=4x2解得y0=1.
故A点坐标为（，1）.
答案：（，1）
5、正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积.
解：设CD所在直线的方程为y=x+t，
y=x+t，
y2=x，
x2+（2t－1）x+t2=0，
∴｜CD｜＝
＝.
又直线AB与CD间距离为｜AD｜＝，
∵｜AD｜＝｜CD｜，
∴t=－2或－6.
从而边长为3或5.
面积S1＝（3）2＝18，S2=（5）2=50.
6、已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）.
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.
解：（1）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为+=1（m＞n＞0）.
=， m2=2a2，
m2－n2=a2， n2=a2，
∴椭圆方程为+=1，直线l：y=x－a.

y=x－a，
+=1，
y=x－a，
y2=4ax，
（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，
使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标为（3a，2a）.
设双曲线方程为－=1（s·r＞0）.
由于P、Q′在双曲线上，则有
－=1，
－=1.
=，
=.
∴双曲线方程为x2－y2=1.


【课堂总结】
本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.注意以下几点：
1、.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.
2、求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.
3、在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.
【课后练习】
1.曲线关于直线对称的曲线方程是（ C ）
A B C D
2.设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ B ）
A B C 3 D
3.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ得长分别是、，则 等于（ C ）
A B C D
4.已知点P是抛物线上的动点，点P在轴的射影是M，A的坐标是，则的最小值（ C ）
A B 4 C D 5
5.已知点，，P是平面上一动点，且满足.
（1）求点P的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点A作曲线的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率、满足.
求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

解：（1）设代入，得
化简得：
（2）将代入，得
设直线DE的方程为，，
由，得，
，且，，

将，代入化简得，
将代入，得,过定点，不合题意，舍去.
将代入，得，过定点.定点为.

6.已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.

解：（1）若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为，这时准线方程为，
由抛物线的定义知，解得：
抛物线方程为.将点代入方程，得.
（2）若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为.
所以有，解得或或或
此时抛物线方程为：或或或.
7. 抛物线的方程为，过抛物线上一点作斜率为、的两条直线分别交抛物线于两点，（P、A、B三点互不相同），且满足（且）.
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M，满足,求证：线段PM的中点在轴上；
（3）当时，若点P的坐标为，求为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

解：（1）由 焦点为，准线方程为
（2）证明：点在抛物线上，
过点、的直线方程为，即
由，得
当时，，
.同理
设点M的坐标为.
由，得，又，
，即，即线段PM的中点在轴上.
（3）由在抛物线上，所以，又，所以
根据（2）中，所以，
，，
为钝角或
又，当时，；
当时，
所以的取值范围是.








有解，

∴方程组

消去y得

∵

解得

由

可求出P（a，a）.

可求出Q（（3－2）a，（2－2）a）.

由

由

解得