第二章 学业质量标准检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2 020，则序号n等于( D )
A．667 B．668
C．669 D．674
[解析] 由题意可得，an＝a1＋(n－1)d
＝1＋3(n－1)＝3n－2，
∴2 020＝3n－2，∴n＝674.
2．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝( B )
A．2 B．4
C． D．2
[解析] 由已知得：a1q2＝1，a1q＋a1q3＝，
∴＝，q2－q＋1＝0，∴q＝或q＝2(舍)，
∴a1＝4.
3．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( A )
A．－24 B．0
C．12 D．24
[解析] 由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.
4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( C )
A．18 B．24
C．60 D．90
[解析] 由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，
即2a1＋3d＝0.①
又S8＝8a1＋d＝32，则2a1＋7d＝8.②
由①②，得d＝2，a1＝－3.
所以S10＝10a1＋d＝60.故选C．
5．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的( C )
A．第5项 B．第12项
C．第13项 D．第6项
[解析] 162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．
6．等比数列{an}满足a2＋8a5＝0，设Sn是数列{}的前n项和，则＝( A )
A．－11 B．－8
C．5 D．11
[解析] 由a2＋8a5＝0得a1q＋8a1q4＝0，解得q＝－.易知{}是等比数列，公比为－2，首项为，所以S2＝＝－，S5＝＝，所以＝－11，故选A．
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( B )
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
[解析] 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则由题意可知，
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，
则a－2d＝a－2×(－)＝a＝.故选B．
8．(2019·山东日照青山中学高二月考)在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由表格知，第三列为首项为4，公比为的等比数列，∴x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，，故第四列所成的等比数列的公比为，∴y＝5×()3＝，同理z＝6×()4＝，∴x＋y＋z＝2.
9．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( C )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
[解析] 由Sn＝(an－1)(n∈N*)可得Sn－1＝(an－1－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减可得an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．又a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n.
10．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝( B )
A．1 B．8
C．4 D．2
[解析] 设{an}的公差为d，则由条件式可得，
(a7－3d)－2a＋3(a7＋d)＝0，
解得a7＝2或a7＝0(舍去)．
∴b3b8b10＝b＝a＝8.
11．已知函数f(x)＝把方程f(x)＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为( C )
A．an＝(n∈N*)
B．an＝n(n－1)(n∈N*)
C．an＝n－1(n∈N*)
D．an＝n－2(n∈N*)
[解析] 令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0.
当0
即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1.
当1即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋1＋1＝x，
故2x－2＋1＝x，则x＝2.
因此，a1＝0，a2＝1，a3＝2，
结合各选项可知该数列的通项公式为an＝n－1(n∈N*)．故选C．
12．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，Sn为其前n项和，则S60＝( B )
A．3 690 B．1 830
C．1 845 D．3 660
[解析] 因为an＋1＋(－1)nan＝2n－1，
所以a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝10.
同理a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，
所以a5＋a6＋a7＋a8＝26，
同理可得a9＋a10＋a11＋a12＝42.
由此可知，S4，S8－S4，S12－S8，…成等差数列，
首项为10，公差为16，
所以S60＝15×10＋×16＝1 830.故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于____.
[解析] ∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，
∴S6＝＝＝.
14．(2019·北京理，10)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝__0__，Sn的最小值为__－10__.
[解析] ∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.
令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．
∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
15．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝__676__.
[解析] 利用分组求和法求解．当n为正奇数时，an＋2－an＝0，又a1＝1，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，an＋2－an＝2，又a2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a51＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝26a1＋25a2＋×2＝676.
16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__n2＋n__.
[解析] 由题中数表，知第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，设为{an}，则a1＝n，d＝2n－n＝n，所以an＋1＝n＋n·n＝n2＋n，
即第n行第n＋1列的数是n2＋n.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
[解析] 设{an}的公差为d，则
，
即，
解得，或.
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
18．(本题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[解析] (1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，
Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
19．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
[解析] (1){an}为等差数列，
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴，∴.
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－(c＝0舍去)．
20．(本题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，①
∴a1＋S1＝1，得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
由①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，
即＝，也即＝，
故数列{cn}是等比数列．
(2)∵c1＝a1－1＝－，
∴cn＝－，an＝cn＋1＝1－，an－1＝1－.
故当n≥2时，bn＝an－an－1＝－＝.
又b1＝a1＝，即bn＝.
21．(本题满分12分)(2017·天津文，18)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，
所以q2＋q－6＝0.
又因为q>0，
解得q＝2，
所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②
联立①②，解得a1＝1，d＝3.
由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式an＝3n－2，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.由a2n＝6n－2，得
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.
上述两式相减，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1
＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，
所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.
22．(本题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.
[解析] (1)依题意得：＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，满足上式．
所以an＝6n－5(n∈N＋)．
(2)由(1)得bn＝＝
＝(－)，
故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．
因此，使得(1－)<(n∈N＋)成立的m必须且仅需满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.
课件49张PPT。第二章数列章末整合提升知 识 网 络数
列 数
列 数
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列 专题突破数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和，所以求数列的通项往往是解题的突破口和关键点．专题一 ?求数列的通项公式 写出下面各数列的一个通项公式：例题 1 『规律总结』 一般地，已知数列的前几项求数列的通项公式，可用观察归纳法求解．观察时要注意符号规律，增减规律，必要时先统一其大小关系或分子分母的变化规律．整理成相同的结构形式．横向看各项之间的关系，纵向看各项与其项数n之间的关系，从而归纳得出结论．例题 2 『规律总结』 已知Sn或an与Sn之间的关系式求通项an，一般用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解. 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．例题 3 『规律总结』 因为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，所以形如an＋1－an＝f(n)型递推关系式求通项an.设bn＝f(n)，若{bn}可求和，则用累加法求解．
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.例题 4
例题 5
(2)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)．
又a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列．
∴an＋1＝2·3n－1.∴an＝2·3n－1－1.
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的题型，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式．某些既不是等差数列，也不是等比数列的求和问题，一般有四种常用求和技巧和方法．专题二 ?数列求和 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( )
A．30 B．45
C．90 D．186例题 6 C 『规律总结』 若数列{an}为等差(或等比)数列或可转化为等差(或等比)数列，则用公式法求和.例题 7 规律总结』 如果一个数列的通项公式能拆成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求和法求解.例题 8
设数列{an}为1,2x,3x2,4x3，…，nxn－1，…(x≠0)．求此数列前n项的和．
[分析] 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法．例题 9 『规律总结』 若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，cn＝anbn则求{cn}前n项和用错位相减法求解． (2019·全国Ⅱ卷理，19)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．专题三 ?等差(等比)数列的判定或证明例题10 『规律总结』 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差(或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比)数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．专题四 ?等差、等比数列的性质例题11 『规律总结』 巧用性质、整体考虑、减少运算量
在解决等差、等比数列的运算问题时，恰当地应用等差、等比数列的性质，如中项的概念、下标和相等的两项的和(等差数列)、积(等比数列)相等等；在方程组中整体代入或整体观察某些项的和与积；可以大大减少运算量，达到事半功倍的效果．专题五 ?数列中的不等式问题例题12 [解析] (1)因为an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，
当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，
an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，a2＝2a1＋1＝3＝3a1，满足上式．
所以数列{an}是等比数列，所以an＝3n－1.『规律总结』 数列与不等式的求解思路
(1)研究数列的单调性：常用判断an＋1－an的符号确定．
(2)求数列(或前n项)中的最大、最小值：利用数列性质或函数思想．
(3)解关于n的不等式：判断单调性后特值估算．
(4)证明不等式：利用求差法或适当放缩后证明．