第三章 学业质量标准检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则( D )
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
[解析] ∵3×1＋2×2－8＝－1<0，P与A在直线l异侧，
∴3x0＋2y0－8>0.
2．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( A )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{－1,1} D．{0,1,2}
[解析] 因为B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1,0,1,2}，所以A∩B＝{－1,0,1}．故选A．
3．若a>b>0，全集U＝R，A＝{x|
A．{x|bC．{x|b[解析] ?UA＝{x|x≤或x≥a}，
又B＝{x|bb>0，
∴>b，∴(?UA)∩B＝{x|b4．若mA．pC．p[解析] 将p，q看成变量，则m5．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则(lga)2＋(lgb)2的最小值是( B )
A．1 B．2
C． D．10
[解析] ∵(lga)2＋(lgb)2≥
＝＝2.
当且仅当a＝b＝10时“＝”成立．故选B．
6．(2019·吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是( A )
A．(0,8) B．(1,8)
C．(0,10) D．(1,10)
[解析] 由题意得a2－8a＜0，∴0＜a＜8，故选A．
7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( A )
A．a≤－4 B．a≥－4
C．a≥－12 D．a≤－12
[解析] ∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，当a≤－4时，2x2－8x－4≥a存在解．故选A．
8．对满足不等式组的任意实数x，y，z＝x2＋y2－4x的最小值是( A )
A．－2 B．0
C．2 D．6
[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图所示，z＝x2＋y2－4x＝(x－2)2＋y2－4，则z的几何意义为平面区域内的点到点D(2,0)的距离的平方减去4.D到直线x－y＝0的距离为d＝＝，此时z取得最小值，zmin＝d2－4＝2－4＝－2.故选A．
9．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有以下性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
则函数f(x)＝ex*的最小值为( B )
A．2 B．3
C．6 D．8
[解析] 由题意可知f(x)＝ex*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，故函数f(x)的最小值为3.故选B．
10．已知00，则y＝＋的最小值为( A )
A．(a＋b)2 B．(a－b)2
C．a＋b D．a－b
[解析] y＝＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号．故选A．
11．若a>b>1,0A．acC．alogbc[解析] 对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc12．以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆面积的最大值为( C )
A． B．
C．2π D．π
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，最大圆的半径为点(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离，即＝，所以圆面积的最大值为π×()2＝2π.故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．不等式2x2＋2x－4≤的解集为__[－3,1]__.
[解析] 不等式2x2＋2x－4≤化为2x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，
∴原不等式的解集为[－3,1]．
14．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m、n>0)上，则＋的最小值为__4__.
[解析] 由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，
∵m>0，n>0，
∴＋＝(＋)·1＝(＋)·(m＋n)＝＋＋2≥4.
等号在＝时成立，由，得m＝n＝.
∴＋的最小值为4.
15．若＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－)__.
[解析] 依题意，对任意的x∈[4，＋∞)，有f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0恒成立，结合图象分析可知，由此解得m＜－，即实数m的取值范围是(－∞，－)．
16．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a、b满足不等式组，设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝__13__.
[解析] 由题意得x＝a＋b，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x取最大值，∴x＝a＋b＝13.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，求集合M、N、M∩N.
[解析] 由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，
∴(x－4)(x＋2)<0，
∴－2∴M＝{x|－2由1－≥0，得≥0，
∴x<1或x≥3.
∴N＝{x|x<1或x≥3}．
∴M∩N＝{x|－218．(本题满分12分)设函数f(x)＝4x2＋ax＋2，不等式f(x)(1)求a的值；
(2)解不等式>0.
[解析] (1)∵函数f(x)＝4x2＋ax＋2，
不等式f(x)∴－1＋2＝－，∴a＝－4.
(2)不等式转化为(4x＋m)(－4x＋2)>0，
可得m＝－2，不等式的解集为?；
m<－2，不等式的解集为{x|m>－2，不等式的解集为{x|－19．(本题满分12分)(2019·福建莆田一中高二月考)解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(m∈R)．
[解析] 当m＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x∈R.
当m≠0时，原不等式化为(mx－1)(mx＋3)＜0，
∵m2＞0，∴(x－)(x＋)＜0.
当m＞0时，－＜x＜，
当m＜0时，＜x＜－.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为(－，)；
当m＜0时，原不等式的解集为(，－)．
20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解析] (1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0整理，得：y＝－60x2＋20x＋200(0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为
y＝－60x2＋20x＋200(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当，
即，
解得：0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足021．(本题满分12分)已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1、x2，若x1<1[解析] 设f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，显然m＋1≠0.
(1)当m＋1>0时，可画简图：
则，即，不等式组无解．
(2)当m＋1<0时，可画简图：
则，即.得－2由(1)、(2)知m的取值范围是(－2，－1)．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，g(x)＝.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|a(2)若x<0，a＝4，求函数g(x)的最大值；
(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)根据题意，方程x2＋2x＋a＝0的两根分别为a和1，将1代入得a＝－3.
(2)由a＝4，则g(x)＝＝＝x＋＋2，
因为x<0，所以－x＋≥2＝4，
所以g(x)≤－4＋2＝－2.
当且仅当x＝，即x＝－2(舍去正值)时，等号成立，
所以g(x)的最大值为－2.
(3)依题意当x∈[1，＋∞)时，x2＋2x＋a>0恒成立，
所以a>－(x2＋2x)，令t＝－(x2＋2x)，x∈[1，＋∞)，
则t＝－(x2＋2x)＝1－(x＋1)2，
所以当x＝1时，tmax＝1－(x＋1)2＝－3，
所以a>－3.
课件39张PPT。第三章不等式章末整合提升知 识 网 络不
等
式 不
等
式 不
等
式 专题突破(1)不等式的性质是比较数的大小，求代数式的取值范围，证明不等式等的主要依据．尤其注意“同向不等式”才可加，运用可乘性(乘除、乘方)时一定要注意符号．
(2)比较数的大小是主要题型之一，常见方法有作差法、作商法、介值法(a>b，b>c?a>c)，注意解题过程中，配方、乘方、因式分解、配凑、放缩等技巧的运用．专题一 ?不等关系与不等式的性质(3)证明不等式是常见题型，对于简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
(4)求代数式的取值范围也是常见题型．解题时可借助性质、基本不等式、函数值域等知识综合考虑，特别注意限制条件．例题 1 『规律总结』 作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．(1)直接求解一元二次不等式常与集合运算相结合．
(2)抓住三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．
(3)含参数的一元二次不等式与恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．
(4)高次不等式、分式不等式要等价转化．专题二 ?一元二次不等式的应用 已知函数y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域是R，求实数a的取值范围．
[分析] 本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，以及对数函数的性质．解题的关键是由题意得出(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0的解集是R，从而转化为解决一元二次不等式问题．例题 2 『规律总结』 对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．(1)求平面区域的面积
通过“直线定界，特殊点定域”准确确定平面区域形状及分界点是解题关键，割补计算是主要方法．
(2)线性规划问题求解方法是图解法．
关键环节是：图形尽量准确，注意目标函数对应直线与图形边界线斜率大小关系，弄清所求最值与“目标函数”直线纵截距关系．
(3)非线性目标函数最值，关键搞清“目标函数”表达式的几何意义．
(4)整点问题，特别注意最优解不是边界点的找法．专题三 ?简单的线性规划问题(5)含参数的问题．
若约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．
若目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．
(6)实际应用问题，解答时关键是读懂题意，准确设出变量，抓住体现不等关系的词语列出不等式组与目标函数．确定最优解时，注意实际意义．例题 3 10 [解析] 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如图所示，然后根据图形可得：目标函数z＝3x＋y过点B(3,1)时z取得最大值，即zmax＝3×3＋1＝10，故应填10.
专题四 ?基本不等式例题 4 『规律总结』 利用基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，再利用基本不等式求最值． 设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实根x1、x2，且0 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
[分析] 先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式．
[解析] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
(1)当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；专题六 ?分类讨论思想的应用例题 6 (3)当a<0时，x1不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a当a＝0时，原不等式的解集为?，
当a<0时，原不等式的解集为{x|2a(2)利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论．
(3)对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
(4)若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况进行讨论． 若不等式x2＋ax＋3－a>0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[分析] 因为(x－1)的符号不确定，所以参变量a不能分离，只好研究二次函数y＝x2＋ax＋3－a.例题 7 『规律总结』 一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．