第一章 学业质量标准检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( B )
A．一解 B．两解
C．一解或两解 D．无解
[解析] ∵bsinA＝100×＝50<80，
∴bsinA
2．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( C )
A．1 B．2
C．4 D．1或4
[解析] 在△ABC中，b＝，c＝，cosB＝，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即7＝a2＋3－3a，
解得a＝4或a＝－1(舍去)．
故a的值为4.
3．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为( C )
A．4 B．5
C．5 D．6
[解析] ∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝25，∴b＝5.
由正弦定理2R＝＝5(R为△ABC外接圆的半径)．故选C．
4．已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( C )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[解析] 由题意知：cosA·cosB＝sin2，
∴cosA·cosB＝＝－cos[180°－(A＋B)]＝＋cos(A＋B)，
∴(cosA·cosB＋sinA·sinB)＝，
∴cos(A－B)＝1.
∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．故选C．
5．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( D )
A．3和5 B．4和6
C．6和8 D．5和7
[解析] 设夹角为A，∵cosA＝，∴sinA＝，
S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，
又b－c＝2，∴b＝7，c＝5.
6．若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
[解析] 设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，c为最大边，
新三角形的三边长为a＋x，b＋x，c＋x，
∴c＋x为最大边，其对角为最大角．
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，
∴设最大角为θ，则
cosθ＝>0，
∴θ为锐角，故选A．
7．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是( A )
A．30°或150° B．15°或75°
C．30° D．15°
[解析] 由题意：sinB＋cosB＝，两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－2B.∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝，∴A＝30°或150°.故选A．
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( D )
A．1 B．2
C． D．
[解析] 由sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，cosC＝＝.
∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°.
∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝.
9．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( A )
A．①② B．①④
C．①②③ D．③④
[解析] ①csinB所以有两解的有①②，故选A．
10．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且＝，则AD的长为( C )
A．4(－1) B．4(＋1)
C．4(3－) D．4(3＋)
[解析] 由题意知∠BAC＝75°，根据正弦定理，得
AB＝＝8(－1)，
因为＝，所以BD＝BC.
又BC＝8，所以BD＝4(－1)．
在△ABD中，AD＝
＝4(3－)．故选C．
11．在△ABC中，·＝3，S△ABC∈[，]，则B的取值范围是( C )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
[解析] 由题意知ac·cosB＝3，所以ac＝，
S△ABC＝ac·sinB＝××sinB＝tanB.
因为S△ABC∈[，]，所以tanB∈[，]，
所以B∈[，]．故选C．
12．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( B )
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
[解析] 由于△BCD是等腰三角形，BD＝DC·cos2θ，即300＝200cos2θ，
∴cos2θ＝，2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300.
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，已知b＝1，sinC＝，bcosC＋ccosB＝2，则·＝__或－__.
[解析] 由余弦定理的推论，得cosC＝，cosB＝.
∵bcosC＋ccosB＝2，
∴＋＝2，
∴a＝2，即||＝2.
∵sinC＝，0°∴cosC＝，或cosC＝－.
又∵b＝1，即||＝1，
∴·＝，或·＝－.
14．(2018·浙江，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝____，c＝__3__.
[解析] 由正弦定理，得＝，∴＝，得sinB＝，由余弦定理，得cosA＝＝＝，解得c＝3.
15．(2019·全国卷Ⅱ理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为__6__.
[解析] 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.
又∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
16．(2019·江西弋阳一中高二月考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为__4__.
[解析] (a＋b－c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.
又∵a2＋b2－c2＝2abcosC，
∴2abcosC＝ab，∴cosC＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴16＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
∴ab≤16.
∴△ABC面积的最大值
S＝absinC≤×16×sin＝4.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cosA＋cosC的最大值．
[解析] (1)由余弦定理及题设条件得cosB＝＝＝.
又0<∠B<π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则
cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA－cosA＋sinA＝cosA＋sinA＝cos.
因为0<∠A<，
所以当∠A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.
18．(本题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosC＝.
(1)若·＝，求△ABC的面积；
(2)设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．
[解析] (1)由·＝得abcosC＝.
又因为cosC＝，所以ab＝＝.
又C为△ABC的内角，所以sinC＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝3.
(2)因为x∥y，所以2sincos＝cosB，
即sinB＝cosB，
因为cosB≠0，所以tanB＝.
因为B为三角形的内角，所以B＝.
所以A＋C＝，所以A＝－C.
所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)
＝sinC－cosC＝×－×＝.
19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查某市一考点，在考点正西约 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
[解析] 如图所示，
考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.
∵×60＝5，
∴在BC上需要5 min，CD上需要5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并至少持续5 min该考点才算合格．
20．(本题满分12分)(2019·洛阳高二检测)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
[解析] (1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
所以
所以AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，
所以AB＝.
(3)S△ABC＝absinC＝.
21．(本题满分12分)(2019·天津实验中学高二检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4a2cosB－2accosB＝a2＋b2－c2.
(1)求角B的大小；
(2)设m＝(sin2A，－cos2C)，n＝(－，1)，求m·n的取值范围．
[解析] (1)由4a2cosB－2accosB＝a2＋b2－c2?4a2cosB－2ac·＝a2＋b2－c2
?4a2cosB＝2a2?cosB＝.
因为B∈(0，)，所以B＝.
(2)由(1)可推得A＋C＝π?C＝π－A，又△ABC是锐角三角形．
所以C＝π－A<?A>，
故因为m＝(sin2A，－cos2C)，
n＝(－，1)，
所以m·n＝－sin2A－cos2C
＝－sin2A－cos(π－2A)
＝cos2A－sin2A
＝cos(2A＋)．
因为2A＋∈(，)，
所以－1≤cos(2A＋)<－，
故m·n∈[－1，－)．
22．(本题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?
[解析] 解法一：如图，连接A1B2，
由题意知A2B2＝10 n mile，A1A2＝30×＝10 n mile.
所以A1A2＝A2B2.
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
所以△A1A2B2是等边三角形．
所以A1B2＝A1A2＝10 n mile.
由题意知，A1B1＝20 n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
所以B1B2＝10 n mile.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．
答：乙船每小时航行30 n mile.
解法二：如下图所示，连接A2B1，
由题意知A1B1＝20 n mile，A1A2＝30×
＝10 n mile，∠B1A1A2＝105°，
又cos105°＝cos(45°＋60°)
＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝，
sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝，
在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105°＝202＋(10)2－2×20×10×＝100(4＋2)，
所以A2B1＝10(1＋)n mile
由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，
所以∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝.
在△B1A2B2中，由题知A2B2＝10 n mile，
由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1·A2B2·cos15°＝102(1＋)2＋(10)2－2×10(1＋)×10×＝200，
所以B1B2＝10 n mile，故乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．
答：乙船每小时航行30 n mile.
课件31张PPT。第一章解三角形章末整合提升知 识 网 络解
三
角
形 解
三
角
形 专 题 突 破这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理入手解决．
解斜三角形有下表所示的四种情况：专题一 ?应用正、余弦定理解三角形例题 1 C 例题 2 判断三角形的形状是解三角形的常见题型，可利用正弦定理、余弦定理及有关的三角函数等知识找出三角形中的边与角的关系，进而推导出满足题设条件的三角形形状．
(1)判断三角形的形状常用的方法
①化边为角；专题二 ?判断三角形的形状 若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形例题 3 D
[点评] 利用直线与圆的位置关系建立△ABC中边的关系后，再利用余弦定理是解题的关键． 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．例题 4 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题还要注意近似计算的要求．专题三 ?解三角形的实际应用题例题 5 高考综合考查三角函数知识，常以三角形为载体，在三角形中综合考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、正余弦定理、向量等知识．专题四 ?三角形中的综合问题例题 6