第一章 1.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 由＝，知＝，即sinB＝，选B．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( D )
A．－ B．
C．1 D．
[解析] 由正弦定理得＝＝－1＝－1＝.
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知，得＝×2××sinA，∴sinA＝.
4．(2019·湖南武冈二中高二月考)在△ABC中，∠A＝60°，a＝2，b＝4，那么满足条件的△ABC( C )
A．有一个解 B．有两个解
C．无解 D．不确定
[解析] ∵a＝2，b＝4，∠A＝60°，∴a＜bsinA，∴△ABC无解．
5．(2017·山东理，9)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( A )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
[解析] ∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)
＝sinAcosC＋sin(A＋C)
＝sinAcosC＋sinB，
等式左边＝sinB＋2sinBcosC，
∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.
由cosC>0，得sinA＝2sinB.
根据正弦定理，得a＝2b.
故选A．
6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( C )
A．x>2 B．x<2
C．2
[解析] 由题设条件可知，∴2二、填空题
7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__2 cm__.
[解析] ∵＝2R，
∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm)．
8．(2019·北师大附二中高二检测)在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝__30°__.
[解析] 由正弦定理＝知，
＝＝，
所以sinB＝sinA＝sin2A.
所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，
所以A＝30°.
三、解答题
9．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小．
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴sinC＝＝＝，
∵因为0°当C＝60°时，B＝75°，
b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，
b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，
C＝120°.
10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[解析] ∵A、B、C是三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)，
∴sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinBcosC.
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，
又∵0又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形．
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由正弦定理，得c＝ ＝，∵B＝180°－30°－45°＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，
∴S△ABC＝acsinB＝.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( D )
A．－ B．
C． －1 D． 1
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．(2017·全国卷Ⅰ文，11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC，
又B＝π－(A＋C)，
故sinB＋sinA(sinC－cosC)
＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝(sinA＋cosA)sinC
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sinC≠0，
则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sinC＝sinA＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B．
4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( C )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
[解析] ∵k1＝－，k2＝，
∴k1·k2＝－1，
∴两直线垂直．
二、填空题
5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝__1__.
[解析] 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1.
6．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.下面三个不等式成立的是__①②③__.
①sinA>sinB；②cosAcosA＋cosB.
[解析] ∵0∴sinA>sinB，故①成立．
函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cosA在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B，
则有sinA>sin(－B)．
即sinA>cosB，
同理sinB>cosA.故③成立．
三、解答题
7．(2019·湖南武冈二中高二月考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos(A－)的值．
[解析] (1)∵cosB＝，∴sinB＝.
由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝5.
(2)sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝，
∴又cosA＝－cos(B＋C)＝－.
∴cos(A－)＝cosAcos＋sinAsin＝－×＋×＝.
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosB＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sinA和c的值．
[解析] 在△ABC中，由cosB＝，得sinB＝.
因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝.
因为sinC＜sinB，
所以C＜B，所以C为锐角，所以cosC＝，
因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝
×＋×＝.
由＝，可得a＝＝＝2c，
又ac＝2，所以c＝1.
课件49张PPT。第一章解三角形在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
1992年9月21日，中国政府决定实施载人航天工程，并确定了三步走的发展战略．第一步，发射载人飞船，建成初步配套的试验性载人飞船工程，开展空间应用实验．第二步，在第一艘载人飞船发射成功后，突破载人飞船和空间飞行器的交会对接技术，并利用载人飞船技术改装、发射一个空间实验室，解决有一定规模的、短期有人照料的空间应用问题．第三步，建造载人空间站，解决有较大规模的、长期有人照料的空间应用问题．经过20多年的建设发展，中国已经成为具备独立开展载人航天活动能力的国家．随着中国空间站建设的稳步推进，到2022年前后，中国载人航天三步走发展战略目标将全部实现．(来源：中国新闻网)你想知道中国航天人是怎样解决空间的测量问题吗？
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法等等．那么怎么解决遥不可及的空间距离的测量等问题呢？从现在开始我们学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这些问题吗？ 1.1 正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理自主预习学案
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题．1．回顾学过的三角形知识
(1)任意三角形的内角和为_________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________.
(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即______________.
2．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即________________.180° 大于 小于 大角 小角 a2＋b2＝c2 sinA∶sinB∶sinC 4．解三角形
(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________.
(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
①_______________________________________.
②_______________________________________________(从而进一步求出其他的边和角)．解三角形 已知任意两角与一边，求其他两边和一角 已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角 (3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：√×√√2 0 互动探究学案 在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．命题方向1 ?已知两角和一边解三角形例题 1 『规律总结』 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．A (2)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于______.[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．命题方向2 ?已知两边和其中一边的对角解三角形例题 2 『规律总结』 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．(2)(2019·邢台高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是( )
A．a＝10，b＝8，A＝30° B．a＝8，b＝10，A＝45°
C．a＝10，b＝8，A＝150° D．a＝8，b＝10，A＝60°B [分析] 本题可先求tanA，tanB的值，由此求出sinA及sinB，再利用正弦定理求出a、b及三角形的面积．命题方向3 ?运用正弦定理求三角形的面积例题 3
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断三角形的形状．
[错解] 由已知得(a2＋b2)·(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)·(sinAcosB＋cosAsinB)，
化简，得a2cosAsinB＝b2sinAcosB，
由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，
即sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B，即A＝B，故三角形是等腰三角形．忽视三角形中角的限制导致出错 例题 4 [误区警示] 当两个角的三角函数相等时，并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况．此题由sin2A＝sin2B只得出2A＝2B而漏掉2A＝π－2B的情况出错．[名师点津] 根据正弦定理判断三角形形状时通常是将已知条件转换成只含边或角的式子．特别注意转化为角来解决时，不要忽视角的范围．灵活运用诱导公式是解三角形的关键．利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．数学抽象能力 [分析] 由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ABC的形状．例题 5
C C 3．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵acosB＝bcosA，∴由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，∴sin(A－B)＝0，由于－πA级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
2．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的三个内角的度数分别是( C )
A．45°，45°，90° B．30°，60°，90°
C．30°，30°，120° D．30°，45°，105°
[解析] ∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝1∶1∶.
设a＝b＝k，c＝k(k＞0)，
则cosC＝＝－.
故C＝120°，A＝B＝30°，应选C．
3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，故选D．
4．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( A )
A．4 B．
C． D．2
[解析] cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在
△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，
所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，
所以AB＝4.
5．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] ∵c2∵a6．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0二、填空题
7．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为__120°__.
[解析] 由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.
8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝__2__.
[解析] 由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，
∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2.
三、解答题
9．(2019·北京卷理，15)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
[解析] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－得sinB＝.
由正弦定理得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，
所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
10．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a、c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[解析] (1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.
由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，∵cosB＝，
∴sinB＝＝.
由正弦定理，得sinA＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，
∴cosA＝＝.
∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵·＝||·||·cos〈，〉，
由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos〈，〉＝＝.
故·＝3×2×＝.
2．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( B )
A． B．
C． D．3
[解析] 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.
∵cosA＝＝，
∴sinA＝.
故BD＝AB·sinA＝3×＝.
3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得
cosC＝＝＝，
∵04．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( C )
A．1 B．
C．2 D．2
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴＝＝，
∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴1＝3＋c2－2×c＝3＋c2－3c，∴c2－3c＋2＝0，
∴c＝1或c＝2.
当c＝1时，a＝c＝1，∴A＝C＝，∴B＝，
不满足B＝2A，∴c≠1.
∴c＝2.
二、填空题
5．在△ABC中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c.已知△ABC的面积为3 ，b－c＝2，cosA＝－， 则a 的值为__8__.
[解析] 因为0又S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，
∴bc＝24，解方程组，得b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝62＋42－2×6×4×＝64，所以a＝8.
6．在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD＝____.
[解析] ∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAD＋90°，
∴sin∠BAC＝sin(∠BAD＋90°)＝cos∠BAD＝.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝18＋9－24＝3，
∴BD＝.
三、解答题
7．在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四个内角A，B，C，D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长．
[解析] 设四个角A，B，C，D的度数分别为3x,7x,4x,10x，则有3x＋7x＋4x＋10x＝360°，
解得x＝15°.
∴A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°.
连接BD，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcosC
＝a2＋4a2－2a·2a·＝3a2，
∴BD＝a.
这时DC2＝BD2＋BC2，
则△BCD是以DC为斜边的直角三角形，
∴∠CDB＝30°，于是∠ADB＝120°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝
＝＝a.
∴AB的长为a.
8．(2017·全国卷Ⅰ理，17)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解析] (1)由题设得acsinB＝，
即csinB＝.
由正弦定理，得sinCsinB＝.
故sinBsinC＝.
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
课件39张PPT。第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第2课时 余弦定理自主预习学案
中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s n mile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v n mile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m n mile，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？1．余弦定理减去 两 a2＋b2－2abcosC 2．利用余弦定理及其推论解三角形的类型
(1)已知三角形的__________求三个角；
(2)已知三角形的________________求第三边及两角．
3．余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
a2＋b2a2＋b2＝c2?△ABC是________三角形，且角C为________；
a2＋b2>c2?△ABC是________三角形，且角C为________.三条边 两边及其夹角 钝角 钝角 直角 直角 锐角 锐角 √××2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C的大小为________.60° 4．(2019·天津一中高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则角A为______.互动探究学案[分析] 已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后求A、C.命题方向1 ?已知两边及一角解三角形例题 1 『规律总结』 已知两边及一角解三角形的方法：
(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解．
(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．D 命题方向2 ?已知三边解三角形例题 2 『规律总结』 已知三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．〔跟踪练习2〕
(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为_________.
(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．120° 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．
[分析] 思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．命题方向3 ?判断三角形的形状例题 3 『规律总结』 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．〔跟踪练习3〕
在△ABC中，已知(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状． 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．忽略三角形三边关系导致出错 例题 4 [名师点津] 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．正弦、余弦定理的综合应用 例题 5
[分析] (1)已知等式2cosC(acosB＋bcosA)＝c中有角有边，且等式两边边长的次数相同，结合括号内式子的特点联想到两角和的正弦公式，故化边为角，结合内角和定理及诱导公式求解；
(2)已知边c，角C和三角形面积，利用面积公式可求得a、b关系，只要求出a＋b即可．C C 1 课时作业学案第一章 1.1 第3课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( D )
A．12 B．
C．28 D．6
[解析] 由余弦定理的推论，得
cosA＝＝＝，
∴sinA＝.
∴S△ABC＝bcsinA＝×3×8×＝6.
2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( B )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
[解析] 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
3．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°.
设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，
∵sinα＝，∴α＝120°.
由余弦定理得，
(a＋2)2＝(a－2)2＋a2－2a(a－2)cos120°，
即a2＝5a，故a＝5，
故三边长分别为3,5,7，S＝×3×5×sin120°＝.
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理，得＝?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，故由余弦定理，得cosB＝，所以B＝.
5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 如图所示，
在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，
得a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，
解得cos∠DAC＝.故选B．
6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( C )
A．3 B．
C． D．3
[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
二、填空题
7．(2018·全国卷Ⅰ文，16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为____.
[解析] 根据正弦定理有：
sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
所以2sinBsinC＝4sinAsinBsinC，
因为B，C∈(0，π)，
所以sinB≠0，sinC≠0，
所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，
所以cosA＝＝＝，
所以bc＝，所以S＝bcsinA＝.
8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为____.
[解析] ∵A＝60°，
∴可设最大边与最小边分别为b、c.
由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccosA
＝(b＋c)2－2bc－2bccosA
＝92－2×8－2×8×cos60°
＝57，
∴BC＝.
三、解答题
9．(2019·天津卷理，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.
(1)求cosB的值；
(2)求sin的值．
[解析] (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsinC＝csinB.由3csinB＝4asinC，
得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.
因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.由余弦定理可得
cosB＝＝＝－.
(2)由(1)可得sinB＝＝，
从而sin2B＝2sinBcosB＝－，
cos2B＝cos2B－sin2B＝－，
故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.
10．(2018·北京理，15)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
[解析] 解法一：(1)由余弦定理，cosB＝＝＝－，
解得c＝－5(舍)，或c＝3，
所以cosA＝＝＝，
又因为0(2)设AC边上的高为h，则sinA＝，
所以h＝csinA＝3×sin＝，即AC边上的高为.
解法二：(1)因为cosB＝－<0得角B为钝角，由三角形内角和定理，角A为锐角，又sin2B＋cos2B＝1，所以sinB>0，sinB＝，
由正弦定理，＝，
即sinA＝sinB＝×＝，
又因为0(2)设AC边上的高为h，则h＝asinC，
由(1)及已知，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝×(－)＋×＝，
所以h＝asinC＝7×＝，即AC边上的高为.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－c)·sinA，则角B的大小为( A )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] 由正弦定理得(b－c)(b＋c)＝a(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，又由余弦定理得：cosB＝＝，∴B＝30°，选A．
2．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA； ②a＝bcosC＋ccosB；
③a2＋b2－c2＝2abcosC； ④b＝csinA＋asinC.
一定成立的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 由＝及余弦定理，得＝，即＝，
所以由正弦定理，得＝，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选D．
4．某人要做一个三角形，要求它的三条高线的长度分别是，，，则此人将( D )
A．不能做出满足条件的三角形
B．做出一个锐角三角形
C．做出一个直角三角形
D．做出一个钝角三角形
[解析] 设三条高线对应的底边分别为a，b，c，则由三角形的面积公式，得a·＝b·＝c·＝t(t>0)．
∴a＝13t，b＝11t，c＝5t.
∴a为最大边，
由余弦定理，得cosA＝<0.
∴能做出一个钝角三角形，故选D．
二、填空题
5．有一解三角形的题因纸张破损导致有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，B＝45°，__c＝__，求角A.经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，请直接在题中横线上将条件补充完整．
[解析] 由正弦定理得＝，即＝，得b＝.由余弦定理得cosA＝＝＝，可求出c＝.故应填c＝.
6．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__.
[解析] 如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，
设AD＝DC＝x，在△ABD中，
cos∠ADB＝＝，
在△BDC中，cos∠BDC＝＝，
∵∠ADB与∠BDC互补，
∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，
∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.
三、解答题
7．(2019·宁夏育才中学高二月考)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
[解析] (1)如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ADB＝，
∵∠ADB＜90°，∴cos∠ADB＝＝.
(2)∠ADB＋∠BDC＝，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，
∵cos∠BDC＝.
∴＝.∴BC＝5.
8．(2019·贵州凯里一中高二月考)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC－bcsinA＝0.
(1)求b的值；
(2)若cosB＋sinB＝2，求△ABC面积的最大值．
[解析] (1)由asinC－bcsinA＝0及正弦定理，
得sinAsinC－bsinCsinA＝0，
∵sinA≠0，sinC≠0，
∴b＝.
(2)∵cosB＋sinB＝2，∴2(cosB＋sinB)＝2，
∴sin(B＋)＝1，
∵0＜B＜π，∴∴B＋＝，∴B＝.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
∴ac≤3.
∴S△ABC＝acsinB＝ac≤.
∴△ABC面积的最大值为.
课件45张PPT。第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第3课时 正、余弦定理的综合应用自主预习学案
工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如图所示的部分，∠A＝53°，∠B＝47°，AB长为1m.他想修好这个零件，但不知道AC和BC的长度是多少，所以无法截料．
你能帮工人师傅这个忙吗？1．(1)正弦定理的数学表达式为__________________________.
(2)余弦定理的数学表达式为_______________________、_______________________、_______________________.
2．应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)_________________________________________.
(2)_____________________________________________.
3．应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)_____________________________________.
(2)_____________________________.a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 已知三角形的任意两个角与一边，解三角形 已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 已知三角形的两边及其夹角，解三角形 已知三角形的三边，解三角形 π－C 大角 sinC －cosC 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( )
(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( )
(3)已知三角形的两内角及三边不能求出它的面积．( )√ × × 2．边长为2的等边三角形的面积为______.等腰直角三角形 互动探究学案[分析] 正确挖掘图形中的几何条件，搞清在哪个三角形中利用正、余弦定理求解．命题方向1 ?利用正、余弦定理求解平面图形中的线段长例题 1 『规律总结』 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．〔跟踪练习1〕
在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．命题方向2 ?三角形的面积公式例题 2
命题方向3 ?正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用例题 3 『规律总结』 解三角形的综合应用问题常见的有：
(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等．
(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题，然后依据三角公式和解三角形知识求解． 在△ABC中，角A、B、C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．例题 4 与三角形有关的求最值或取值范围问题，先利用正、余弦定理理清三角形中量的关系，再将求最值或取值范围的量表达为某一变量的函数，转化为函数值域或最值问题．求取值范围问题 在锐角△ABC中，a＝2bsinA，试求cosA＋sinC的取值范围．
[分析] 由a＝2bsinA运用正弦定理求得B，再利用三角形内角和定理将cosA＋sinC转化为关于A(或C)的三角函数，再求三角函数的取值范围．例题 5 C B D 4．(2019·浙江卷，14)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝______，cos∠ABD＝______.课时作业学案