第二章 2.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·山东荣成六中高二月考)数列－1,3，－5,7，－9，…的一个通项公式为( C )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n＋1(2n－1)
[解析] 选项A、B、D中，a1＝1不满足，排除A，B，D，故选C．
2．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝( C )
A． B．－
C． D．
[解析] 依题意知，a5－a4＝(＋＋…＋)－(＋…＋)＝＋－＝.故选C．
3．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( A )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
4．已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( D )
A．70 B．28
C．20 D．16
[解析] a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D．
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析] an＝＝2－单调递增．故选A．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析] an＝－2(n－)2＋，因为n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第__6__项．
[解析] an＝＝(1＋)，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
8．已知数列{an}满足a1<0，＝2(n∈N*)，则数列{an}是__递减__数列(填“递增”或“递减”)．
[解析] 由已知a1<0，an＋1＝2an(n∈N*)，得an<0(n∈N*)．又an＋1－an＝2an－an＝an<0，所以{an}是递减数列．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝…，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析] ∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.
B级 素养提升
一、选择题
1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
2．(2019·山东莒县二中高二月考)数列，－，，－，…的一个通项公式为( D )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n＋1 D．an＝(－1)n＋1
[解析] a1＝排除A、B；a3＝排除C，故选D．
3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( D )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－cosnπ
C．an＝2sin2
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
[解析] 当n＝3时，D不满足，故选D．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( D )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}的第2项
C．只是数列{an}的第6项
D．是数列{an}的第2项或第6项
[解析] 令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．
二、填空题
5．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为__λ>－3__.
[解析] 由{an}为递增数列，得
an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1在n≥1恒成立，
令f(n)＝－2n－1，∴f(n)max＝－3.
只需λ>f(n)max＝－3即可．
6．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是__(2,3)__.
[解析] 由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝的图象上，
因此当3－a>0时，a1
当a>1时，a8为使数列{an}递增还需a7故实数a满足条件解得2故实数a的取值范围是(2,3)．
三、解答题
7．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间(，)内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0(3)∵<<，∴又n∈N*，
∴n＝1，即在区间(，)内有且只有一项a1.
8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解析] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数．
课件50张PPT。第二章数列斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现．例如：在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数．叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回，叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数．在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序比，多数的叶序比呈现为斐波那契数的比，真让我们惊叹于这世界的奥妙无穷．2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法自主预习学案
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28，…，78.
从1984年到2016年，我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32,51,38,27.
这两个问题有什么共同特点呢？1．数列的概念
按照一定顺序排列的一列数叫做________.数列中的每一个数都叫做这个数列的______.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做________.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．数列 项 首项 注意：
(1)数列的定义中要把握两个关键词：“____________”与“__________”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．
(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．
(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．一定顺序 一列数 (4)数列的简记符号{an}，不能理解为集合{an}，其区别如下表：通项公式 3．数列的分类：
(1)按项数分类：项数有限的数列叫做____________，项数无限的数列叫做____________.
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做____________.即an＋1>an(n＝1,2,3，…)．
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________.即an＋1各项相等的数列叫做常数列．
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做____________.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列．( )
(2)同一个数在数列中可以重复出现．( )
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的．( )
(4)数列3,1，－1，－3，－5，－10的通项公式为an＝5－2n.( )× √ × ×
[解析] (1)两个数列相同，每一项都必须相同，而且数列具有顺序性．
(2)可以重复．如常数列2,2,2,2,2，….
(3)有的数列就没有通项公式，而且有的数列的通项公式不唯一．
(4)第六项为－10，不符合an＝5－2n，故an＝5－2n，不是此数列的通项公式．3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_______.
[解析] 由题可知，an＝2n－1，则3小时后，n＝10.
∴a10＝29＝512个．512 5．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)，则37是这个数列的第______项．
[解析] 由2n＋1＝37?n＝18.18 互动探究学案 下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
[解析] D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．命题方向1 ?数列的概念及分类C 例题 1 『规律总结』 解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．(1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (5)
[解析] (1)是有穷递增数列，(2)是无穷递增数列，(3)是无穷递减数列，(4)是无穷数列，也是摆动数列；(5)是无穷数列，也是常数列． 写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数．命题方向2 ?观察法写出数列的通项公式例题 2 [分析] 通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求解．(1)把每一项分成整数和分数两部分；(2)把每项分别可写成10＋1,100＋2等；(3)可把每项写成10－1,100－1等；(4)把2和8都改写成以2为分母的分数．『规律总结』 根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：(1)各项的符号特征．(2)分式的分子、分母特征．(3)相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：(1)化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；(2)拆项；(3)用(－1)n等表示符号规律；(4)与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等)的联系． 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[解析] (1)∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.命题方向3 ?数列通项公式的简单应用例题 3 『规律总结』 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
(1)将所给项代入通项公式中．
(2)解关于n的方程．
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．8 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．
则第7个三角形数是( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[错解] 由图可知，三角形数为三角形的个数，依次为0,1,2,3，…则此题无答案．观察法求数列的项 例题 4 B [误区警示] (1)事实上解决这类新定义问题，首先需要审清题意．
(2)题目问的是第7个三角形数，只要继续计算就可以，没有必要再进一步找通项公式，若按部就班的先找出通项公式再计算则较为麻烦．
[正解] 根据三角形数的增长规律1,3,6,10,15,21，…，可以发现从第二项起，每一项与前一项的差是这一项本身的序号，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，an－an－1＝n，根据这个规律由于a5＝15，则a6＝a5＋6＝15＋6＝21，所以第七个三角形数是a7＝a6＋7＝28.求数列的最大(小)项的方法 例题 5 1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③ D．③
[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D．D 2．(2019·吉林汪清六中高二月考)在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是
( )
A．82 B．107
C．100 D．83
[解析] 设这个数列为{an}，
∵9－2＝7,23－9＝14,44－23＝21,72－44＝28，
∴a6－72＝35，∴a6＝107，故选B．B 4．如图所示是某一系列有机物的结构简图，图中的小黑点表示原子，两黑点间的短线表示化学键，按图中结构第n个图有化学键_________个．
[解析] 各图中短线的个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…将6视为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5,1＋5＋5＋5＋5，…于是第n个图有化学键5n＋1个．5n＋1 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，判断419和420是否为数列中的项？若是，是数列中的第几项？
[解析] 令n(n＋1)＝419，
∴n2＋n－419＝0，
此方程无正整数解，故419不是数列中的项．
令n(n＋1)＝420，
∴n2＋n－420＝0，
∴(n－20)(n＋21)＝0，
∵n∈N＋，∴n＝20.
故420是数列中的第20项．课时作业学案第二章 2.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( A )
A．－3 B．－4
C．－5 D．2
[解析] 由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是( D )
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
[解析] ∵an＝3n－2，n∈N*，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×(－)＝－，
a5＝(－1)5×2×(－)＝.
4．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.
同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( C )
A．－7 B．3
C．15 D．81
[解析] 由a1＝1，a1－2＝－1?N，得a2＝3a1＝3.
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C．
6．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( D )
A．4 B．4
C．4 D．4
[解析] 由题知：an＋1＝，
a3＝＝，a4＝＝4，
a5＝＝，a6＝＝，故an＝.所以a20＝＝＝4.故选D．
二、填空题
7．已知F(x)＝f(x＋)－1是R上的奇函数．an＝f(0)＋f()＋…＋f()＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝n＋1__.
[解析] 因为F(x)＋F(－x)＝0，
所以f(x＋)＋f(－x＋)＝2，
即若a＋b＝1，则f(a)＋f(b)＝2.
于是由an＝f(0)＋f()＋…＋f()＋f(1)(n∈N*)，
得2an＝[f(0)＋f(1)]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋[f(1)＋f(0)]＝2n＋2，
所以an＝n＋1.
8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为__，，，，__.
[解析] ∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
三、解答题
9．一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……一直送到108名好汉的最后一名是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？
[解析] 设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1，按照题目要求应有
a109＝a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2.
依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.
即老汉最初上山带了两匹千里马．
B级 素养提升
一、选择题
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1 000＝( A )
A．1 B．1 999
C．1 000 D．－1
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．
2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝( B )
A．0 B．－
C． D．
[解析] ∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，….
至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始．
∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－.
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( C )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
[解析] 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( B )
A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，
∴a10＝＝45.
二、填空题
5．数列{an}满足递推公式a1＝5，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前四项依次为__5，，，2__，它的通项公式为__an＝__.
[解析] 由＝(n≥2，n∈N*)，得＝，＝，…，＝(n≥2，n∈N*)，
将以上各式两两相乘得＝··…·＝，
所以an＝(n≥2，n∈N*)，
又a1＝5符合上式，所以其通项为an＝.
所以a1＝5，a2＝，a3＝，a4＝2.
6．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__－__.
[解析] f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
三、解答题
7．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；
(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．
[解析] (1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，
∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.
(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝.
8．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，求通项公式an.
[解析] 把(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0分解因式，
得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋2)an＋1－nan＝0，∴＝，
∴an＝a1·····…·＝1×××××…××＝(n≥2)．
又a1＝1满足上式，∴an＝.
课件48张PPT。第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法第2课时 数列的通项公式与递推公式自主预习学案
假设一对兔子每月能生一对小兔(一雌一雄)，每对小兔出生后的下一个月是没有繁殖能力的，至出生后的第三个月开始又可以每月生一对小兔，问从一对刚出生的小兔开始，经过若干个月后一共有多少兔子(假设在此过程中兔子没有死亡)?
这个问题是意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他1202年出版的《算盘全书》中提出来的，从第一对刚出生的小兔开始每月的兔子数被称作菲波那契序列．1．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项_________(n≥2，n∈N*)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的____________.an－1 递推公式 2．通项公式与递推公式的区别与联系1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)递推公式不能用来表示数列．( )
(2)所有的数列都有递推公式．( )
(3)给出数列的方法只有图象，列表和通项公式．( )
(4)数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝an－2，则a3＝－5.( )× × × √ 2．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 014＝_____.
[解析] ∵xn＋1＝f(xn)，
∴x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝5，
x4＝f(x3)＝f(5)＝2，
x2 018＝x2 015＝…＝x2＝1，
∴x2 019＝f(x2 018)＝f(1)＝5.5 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为______.
[解析] a3＝6＋a1＝7，
a5＝6＋a3＝13，
a7＝6＋a5＝19，
a9＝6＋a7＝25，
a11＝6＋a9＝31.31 互动探究学案[分析] 由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的规律，写出一个通项公式．命题方向1 ?由数列的递推公式求项、归纳通项公式例题 1 『规律总结』 由递推公式写出通项公式的步骤：(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．(3)归纳总结写出一个通项公式．D 命题方向2 ?数列的函数性质例题 2 80 [解析] (1)因为anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，
所以an＋1an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4.
两式相减得，(an－an＋4)(an＋1an＋2an＋3－1)＝0，
由于an＋1an＋2an＋3≠1，所以an＝an＋4，
又a1＝a2＝1，a3＝2，所以a4＝4，
a1＋a2＋a3＋a4＝8，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a40
＝10(a1＋a2＋a3＋a4)＝80.
C (－3，＋∞) (2)因为数列{an}是单调递增数列，
所以对任意n∈N*，an＋1>an，
(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，
化为：b>－(2n＋1)，
因为数列{－(2n＋1)}是单调递减数列，所以n＝1，
－(2n＋1)取得最大值－3，
所以b>－3.
即实数b的取值范围为(－3，＋∞)．命题方向3 ?递推公式在实际问题中的应用例题 3 『规律总结』 在实际问题中，涉及有规律的变化情况，常建立数列模型加以解决，当后一种情况与上一种情况有联系，且呈现规律性，就需用到递推公式加以解决．〔跟踪练习3〕
某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜．用An、Bn分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，则An与An－1的关系是_____________________________，
Bn与Bn－1的关系是_____________________________.An＝0.5An－1＋300(n≥2) Bn＝0.5Bn－1＋200(n≥2) 已知数列{an}，a1＝a(a>0，a≠1)，an＝a·an－1(n≥2)，定义bn＝an·lgan，如果数列{bn}是递增数列，求a的取值范围．例题 4 由递推公式求通项公式的方法 例题 5 1．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，
∴f(n)是递增数列．A A B 5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求a5.
[解析] ∵a1＝2，an＋1＝an＋n，
∴当n＝1时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3；
当n＝2时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5；
当n＝3时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8；
当n＝4时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即a5＝12.课时作业学案