第二章 2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( B )
A．－1 B．0
C．1 D．6
[解析] 根据题意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.
2．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第________项( B )
A．60 B．61
C．62 D．63
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.
∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.
令201＝3n＋18，∴n＝61.
3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝( C )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.
4．等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为( B )
A．1 B．2
C． D．
[解析] 设公差为d，由题意，得
，解得.
5．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( B )
A．40 B．42
C．43 D．45
[解析] 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( C )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
[解析] 由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
∴＝()2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝__－2n＋3__.
[解析] 设公差为d，由题意，得
a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
，
∴，解得.
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9．(2019·吉林汪清六中高二月考)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3.
∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，
∴d＝－1.
∴这三个数分别为4,3,2.
10．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，求bn及b15.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，解得.
∴an＝3＋3(n－1)＝3n.
∴bn＝a2n＝3×2n＝6n.
∴b15＝6×15＝90.
B级 素养提升
一、选择题
1．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 解法一：设数列的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝.
因此＝＋2d＝.故a4＝，选A．
解法二：由等差中项的性质可知，2·＝＋，解得a2＝.故选A．
2．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，
∴d1＝，d2＝，
∴＝·＝.
3．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( D )
A．d> B．d<
C．
[解析] 由题意，∴，
∴4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是( B )
A．(－8，－6) B．(－7，－6)
C．(－6，－5) D．(6,7)
[解析] ∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，
∴an＝n＋a－1.∴bn＝＝1－.
又∵对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，
可知≤，
则必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，
∴－7二、填空题
5．一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则＝____.
[解析] 由题意得，
∴a＝，b＝x，∴＝.
6．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为__an＝2n－1__.
[解析] 由an－1＋an＋1＝2an，
得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
三、解答题
7．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列{}是等差数列，并求x95的值．
[解析] 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，
即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，
所以数列{}是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
8．是否存在数列{an}(an≠0)同时满足下列条件：
(1){an}是等差数列且公差不为0；
(2)数列{}也是等差数列．
[解析] 设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差d≠0，则有an＝a1＋(n－1)d.
又因为{}也是等差数列，
所以－＝－，
即＝，
所以＝，所以a1＋2d＝a1，
所以d＝0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}．
课件40张PPT。第二章数列2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与通项公式自主预习学案
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的差等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为__________.第2项 同一个常数 公差 常数列 2．等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有：
3．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的____________.即A＝______.a1＋(n－1)d 等差中项 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数，则该数列是等差数列．
( )
(2)常数列也是等差数列．( )
(3)1,2,3,4,5可以构成等差数列．( )
(4)在等差数列{an}中，若m是2与14的等差中项，则m＝16.( )× √ √ ×
[解析] (1)如数列2,7,9,1.虽然7－2＝5,9－7＝2,1－9＝－8，每一项与前一项的差都是常数，但不是同一个常数，故不是等差数列．
(2)因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.
(3)符合等差数列的定义，从第二项起每一项与它的前一项的差是1.
(4)因为m是2与14的等差中项，所以2m＝2＋14，则m＝8.2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为_______.
[解析] d＝an－an－1＝3－2n－3＋2(n－1)＝－2.
3．方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项等于_____.－2 3 4．在等差数列{an}中，a3＝3，a2＋a8＝14，则a10＝______.17 互动探究学案 (1)(2019·哈尔滨高二检测)2 000是等差数列4,6,8，…的( )
A．第998项 B．第999项
C．第1 001项 D．第1 000项
(2)(2019·南京高二检测)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．
[分析] (1)4,6,8?公差?通项公式?解方程得n.
(2)首项1与第二项－3?公差?通项公式?第20项．命题方向1 ?等差数列的通项公式B 例题 1 [解析] (1)数列4,6,8，…的通项公式为an＝2n＋2.
则2n＋2＝2 000.
解得n＝999.
(2)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.
所以a20＝5－4×20＝－75.
即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.『规律总结』 等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项．
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．〔跟踪练习1〕
(1)(2019·西城八中高二检测)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝
( )
A．8 B．12
C．16 D．24
(2)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．C (2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)×d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.命题方向2 ?等差中项的应用例题 2 A [分析] (1)求a，b的等差中项?等差中项的定义?等式?计算．
(2)方法一：设c为斜边，公差为d?a，b，c成等差数列?a＝b－d，c＝b＋d?列出方程组?解方程组．
方法二：设c为斜边?2b＝a＋c，面积，勾股定理?得出方程组?求解．『规律总结』 等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m(2019·四平高二检测)已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析] 因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，
即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.[分析] (1)判定是否是等差数列，可以利用等差数列的定义．
(2)由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．命题方向3 ?等差数列的判断与证明例题 3 『规律总结』 证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．C 若数列{an} 的通项公式为an＝10＋lg2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，
所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．
[误区警示] 错解中仅利用a2－a1＝a3－a2来证明数列{an}是等差数列导致错误．对等差数列的定义理解不透致错 例题 4 [正解] 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)
＝lg2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．例题 5 1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．A 2．(2019·吉林汪清六中高二月考)等差数列－3,1,5，…的第15项的值是
( )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析] 设这个等差数列为{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.B 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.C 4．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点有________个．
[解析] ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴有1个或2个交点．1或2 5．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.课时作业学案第二章 2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8>a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8[解析] 由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝( C )
A．14 B．21
C．28 D．35
[解析] ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28.
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( A )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
[解析] 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A．
4．下列命题中正确的个数是( B )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[解析] 对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错误；对于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝，(4)正确，综上选B．
5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( B )
A．120 B．105
C．90 D．75
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
6．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( D )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
[解析] a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.
二、填空题
7．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝__log25__.
[解析] 由题意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5，即x＝log25.
8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.
[解析] 该数列记作{an}，公差记作d，若共2m＋1项，
则am＋1＝1 010，a2m＋1＝2 015，∴md＝1 005，
∴a1＝am＋1－md＝5；
若共2m项，
则am＋am＋1＝2×1 010＝2 020，a2m＝2 015，
又a1＋a2m＝am＋am＋1，∴a1＝5.综上a1＝5.
三、解答题
9．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析] (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解析] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知数列{}是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝( B )
A．10 B．30
C．40 D．20
[解析] 解法一：设数列{}的公差为d.
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，
∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.
解法二：由于数列{}是等差数列，故2×＝＋，
即＝2×－＝2，故a15＝30.
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( C )
A．14 B．15
C．16 D．17
[解析] 由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( B )
A．24 B．23
C．22 D．21
[解析] 由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，则由ak·ak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－n＋＝0得n＝，所以a23>0，a24<0，所以k＝23.故选B．
4．设{an}是等差数列．下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析] 先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3?a2>，选C．
二、填空题
5．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__(A＋B)__.
[解析] ∵m－n，m，m＋n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am－n，am，am＋n成等差数列，
∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝(A＋B)．
6．已知数列{an}满足a1＝1，若点(，)在直线x－y＋1＝0上，则an＝__n2__.
[解析] 依题意得－＋1＝0，即－＝1，
∴数列{}为等差数列，且公差d＝1.
又＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2.
三、解答题
7．在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．
[解析] 由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，
∴3B＝π，∴B＝.
∵lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，
∴2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，
即sin2B＝sinAsinC，
∴sinAsinC＝.
又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，
cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，
∴sinAsinC＝－[cos(A＋C)－cos(A－C)]．
∴－[cos－cos(A－C)]＝.
∴＋cos(A－C)＝.∴cos(A－C)＝1.
∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝，
∴A＝B＝C.
故△ABC为等边三角形．
8．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
课件42张PPT。第二章数列2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质自主预习学案
2019年4月29日至10月7日，2019中国北京世界园艺博览会在中国北京延庆区举办，展会期间，人流如织，总参观人数超过7 000万，根据有关部门统计，某展馆7月上旬每天平均参观人数为20万人，在后面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天减少1万人，问在这时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是与等差数列单调性有关的问题，让我们进一步认识等差数列的有关性质吧！1．等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
an＝am＋(________)d(m，n∈N*)．
(2)多项关系
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)
则an＋am＝__________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝_______.n－m ap＋aq 2ap an－1 an－k＋1 3．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为______的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列．d cd 2d pd1＋qd2 4．等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，
(1)当d>0时，数列{an}为________数列．
(2)当d<0时，数列{an}为________数列．
(3)当d＝0时，数列{an}为______数列．递增 递减 常 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )
(2)等差数列的通项公式an是关于n的一次函数．( )
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q也能成立(m，n，p，q∈N*)．( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )× × × √ [解析] (1)如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)当公差d＝0时，an为常数，不是关于n的一次函数．
(3)若数列{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不一定成立．
(4)因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3，所以相等成立．2．等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a101＝0，则a1＋a101＝_____.0 4 4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝______.
[解析] 设公差为d，因为a5＝a2＋6，a5－a2＝3d＝6，所以a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
5．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝______.
[解析] 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.13 90 互动探究学案 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.命题方向1 ?等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用例题 1 [点评] 1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.
2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
3．解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．『规律总结』 解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口．〔跟踪练习1〕
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.7 (1)(2019·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝______.
(2)(2019·赤峰高二检测)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．
[分析] (1)方法一：求a5＋b5?各设出公差?利用通项公式；
方法二：求a5＋b5?{an}，{bn}都是等差数列?{an＋bn}也构成等差数列．
(2)求a2＋a8的值?a3＋a7＝a4＋a6＝2a5?a5?a2＋a8＝2a5.命题方向2 ?用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解 题例题 2 35 [解析] (1)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(2)因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450.所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180.『规律总结』 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．A 命题方向3 ?等差数列的综合应用例题 3 B 2n－1 (2)因为不等式log2(ax2－3x＋6)>2可转化为ax2－3x＋2>0，所给条件表明：ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
根据不等式解集的性质可知：
方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.
利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.
由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1.『规律总结』 解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．〔跟踪练习3〕
(1)在等差数列{an}中，已知a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4}的第2 019项为___________.
(2)首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．12 118 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，该数列从第几项开始为正数．例题 4 三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．对称项的设法 成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析] 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．例题 5 1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )
A．64 B．30
C．31 D．15D 2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．30 B．27
C．24 D．21
[解析] 设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.A 3．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________.3n－1 4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．课时作业学案