第二章 2.4 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝( D )
A．－ B．－2
C．2 D．
[解析] 由条件得，
∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.故选D．
2．数列m，m，m，…一定( C )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[解析] 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．
3．(2019·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( B )
A．±4 B．4
C．± D．
[解析] 由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为a6＝4.
4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%)
B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n
D．a[1－(b%)n]
[解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
5．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则logq的值为( A )
A．－ B．
C．－2 D．2
[解析] 由已知得，
∴，
解得q＝，∴q＝＝log2－12＝－.
6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
二、填空题
7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是____.
[解析] 设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，
∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.
8．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是__－__.
[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
三、解答题
9．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．(2018·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k
B．m＝k
C．m
D．m与k的大小随q的值而变化
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( C )
A． B．4
C．2 D．
[解析] ∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，
∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴公比q＝＝＝2，故选C．
3．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( A )
A．a1＋a8>a4＋a5
B．a1＋a8C．a1＋a8＝a4＋a5
D．a1＋a8与a4＋a5大小不定
[解析] 由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]
＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)
＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．
∵q>0且q≠1，a1>0，
∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，
∴a1＋a8>a4＋a5.
4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D )
1
2
0.5
1
a
b
c
A．1 B．2
C．3 D．
[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1
2
3
4
0.5
1
1.5
2
0.25
0.5
0.75
1
0.125
0.25
0.375
0.5
0.062 5
0.125
0.187 5
0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D．
二、填空题
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通关第8关”，则第8关需收税金为____x.
[解析] 第1关收税金：x；
第2关收税金：(1－)x＝x；
第3关收税金：(1－－)x＝x；…，可得第8关收税金：x，即x.
6．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝__2n－1__.
[解析] 设等比数列的公比为q(q>0)，
由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝.
a3＝a1q2＝＝(q>0)，
而－＋＝－(－)2＋，①
当q＝2时①式有最大值，
所以当q＝2时a3有最小值4.
此时a1＝＝＝1.
所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.故答案为2n－1.
三、解答题
7．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解析] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
，解得.
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
课件39张PPT。第二章数列2.4 等比数列第1课时 等比数列的概念与通项公式自主预习学案
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？1．等比数列的定义
如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的比都等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母_____表示．
2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)，
填表：第2项 同一个常数 公比 q q a1qn－1 3．等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成____________，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么__________，即___________.等比数列 G2＝xy √ √ × × [解析] (1)根据等比数列的定义可知(1)的结论正确．
(2)由任意两项值可以求出公比，再结合其中一项的值求出首项，这样就得到了等比数列的通项公式，从而可以求出任一项的值，所以(2)结论正确．
(3)由等比中项的概念可知，若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，但由G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列，所以(3)错误．
(4)需要保证这个数列的每一项都不为0，且为无穷数列，如为有穷数列，应去掉末项，才能说这个数列是等比数列．2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么abc＝________.
[解析] 由题意知b2＝(－1)×(－9)＝9，∴b＝±3.
又b<0，∴b＝－3，而b2＝ac.∴ac＝9.∴abc＝－27.
3．在等比数列{an}中，a2 020＝8a2 017，则公比q的值为_____.
[解析] a2 020＝a2 017q3，∴q3＝8，q＝2.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝_________________.－27 2 －2n或(－2)n 5．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，求公比q的值．互动探究学案 在等比数列{an}中，
(1)a1＝3，a3＝27，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[分析] (1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.
(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.命题方向1 ?等比数列通项公式及应用例题 1 『规律总结』 等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．〔跟踪练习1〕
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
A．90 B．100 C．145 D．190命题方向2 ?等比中项的应用B 例题 2 『规律总结』 等比中项的应用主要有两点：
(1)计算，与其他性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．(2)用来判断或证明等比数列．B －4 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．命题方向3 ?等比数列的判定与证明例题 3
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．忽视等比中项的符号致错 例题 4 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[分析] 根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．数列的实际应用问题 例题 5 [解析] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得8.857万元．『规律总结』 解答数列实际应用问题的一般思路
(1)建模：根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型．
(2)解模：利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解．
(3)还原：把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
[解析] 设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，
∴a7＝26＝64.A 2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
[解析] ∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.故选B．B 4 4．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．课时作业学案第二章 2.4 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为( B )
A．35 B．63
C．21 D．±21
[解析] ∵{an}是等比数列，∴a4，a6，a8是等比数列，
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
2．(2019·山东荣成六中高二月考)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，q＞1，则n＝( A )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] ∵a3a4＝a2·a5＝32，
又∵a2＋a5＝18，
∴或.
∵q＞1，∴a2＝2，a5＝16，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1＝128，
∴n－1＝7，∴n＝8.
3．如果数列{an}是等比数列，那么( A )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
[解析] 设bn＝a，则＝＝()2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
4．(2019·山东莒县二中高二月考)在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则＝( C )
A．2 B．
C．2或 D．－2或－
[解析] 由等比数列的性质得a4a8＝a2a10＝2，
又∵a2＋a10＝3，∴a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1.
当a2＝1，a10＝2时，＝＝2，
当a2＝2，a10＝1时，＝＝.
5．(2019·福建莆田一中高二月考)等比数列{an}的各项都是正数且a1a11＝16，则log2a6＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵{an}是各项都是正数的等比数列，
∴a1a11＝a＝16，
∴a6＝4，
∴log2a6＝log24＝2.
6．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B )
A．210 B．220
C．216 D．215
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
二、填空题
7．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为__3__.
[解析] 由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3.
8．(2017·北京理，10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__1__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅲ文，17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log2 3，
c＝log2 12＝2＋log2 3.
∴b－a＝c－b.
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A．
2．(2019·山东日照青山中学高二月考)已知等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( B )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
[解析] ∵{an}是等比数列，∴a1a5＝a2·a4＝a，
∴T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，
∴a3＝1.
3．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( D )
A．4 B．2
C． D．
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
4．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( C )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
5．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝__4__.
[解析] ∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
6．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为__4__.
[解析] ∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×()n－1＝()n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝()3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
三、解答题
7．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
[解析] 原式可化为
∴或
∴a3＝8，a5＝2，q＝或a5＝8，a3＝2，q＝2.
∴当q＝时，a1＝32，an＝64×()n＝26－n.
当q＝2时，a1＝，an＝2n－2.
8．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
[解析] (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，∴an＝2kn－k＋1.
(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a＝am·a4m，
即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
整理得mk(k－1)＝0.
∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.
课件46张PPT。第二章数列2.4 等比数列第2课时 等比数列的性质自主预习学案
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，…我们知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性质呢？1．等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·_________(m、n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝__________.
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，则am·an＝_______.qn－m ap·aq an－1 an－k＋1 q |q| q1·q2 4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0,0(2)当a1>0,01时，等比数列{an}为递______数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．增 减 ××√×√[解析] (1)当an＝(－1)n时，bn＝0，{bn}不是等比数列．
(2)当an为负值时，lnan没有意义．
(3)等比中项公式．
(4)当an＝0时符合条件，但{an}不是等比数列．
(5)根据通项可求出首项，进而可求出任意一项．2．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝_____.3 4．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝______.互动探究学案命题方向1 ?等比数列性质的应用例题 1 C 2
〔跟踪练习1〕
(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝______；
(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝_________；
(3)在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q值的个数可能为
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个25 1或64 D 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．命题方向2 ?等比数列的设项技巧例题 2
〔跟踪练习2〕
(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为_____________.
(2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为___________.
[分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组求解．
(2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．3,6,12,24 －4,2,8 (2)由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．
综上可知此三数为－4,2,8.命题方向3 ?等比数列的实际应用例题 3 C 8公里 5 [分析] (1)建立等比数列模型?运用等比数列的性质求解；
(2)建立等比数列模型?运用等比数列的性质求解．『规律总结』 解等比数列应用题的一般步骤
〔跟踪练习3〕
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年C 忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错 例题 4 方程思想在等比数列中的应用 例题 5 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
[解析] 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．C B 3．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝
( )
A．5 B．10
C．15 D．20A 4．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝_______.567 5．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．课时作业学案