第三章 3.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·山东菏泽一中高二月考)如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( B )
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
[解析] ∵a2＋a＜0，∴－1＜a＜0，取a＝－，可知－a＞a2＞－a2＞a，排除A，C，D，故选B．
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( D )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
[解析] 由题意可知500x＋400y≤20 000.
即5x＋4y≤200.
3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( C )
A．a>b B．a
C．a≥b D．a≤b
[解析] a－b＝3x2－x＋1－2x2－x
＝x2－2x＋1
＝(x－1)2≥0.
故a≥b.
4．设a，b∈R，定义运算“?”和“⊕”如下：a?b＝a⊕b＝若m?n≥2，p?q≤2，则( A )
A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4
[解析] m?n≥2表示或
∴mn≥4，
p⊕q表示或
∴p＋q≤4，故选A．
5．已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，那么下列各式正确的是( A )
A．aC．b[解析] ∵a<0，b>0，∴a又∵c－b＝7－3＝－>0，∴c>b，∴a6．已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( C )
A．P>Q B．PC．P≤Q D．无法确定
[解析] P－Q＝－a2＋a－1
＝
＝，
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0，－a2(a2＋1)≤0，
∴≤0，∴P≤Q.
二、填空题
7．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)__≤__g(x)．
[解析] f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
∴f(x)≤g(x)．
8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__x＜y__.
[解析] x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.
三、解答题
9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：
方式
效果
种类
轮船运输量(t)
飞机运输量(t)
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解析] 设需安排x艘轮船和y架飞机，则
，∴.
10．(2019·山东日照青山中学高二月考)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
[解析] x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( B )
A．a<C．b[解析] a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a0，∴>ab＝sin60°×sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故a2．已知－1A．AC．A[解析] 不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B具体比较过程如下：
由－10，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)
＝－
＝－>0，得C>A，
∴B3．甲，乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度，跑步速度均相同，则( B )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
[解析] 设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s?2t＝，
∴T－2t＝－＝s×＝>0.故选B．
4．若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是( A )
A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm＋nC．1＋dm＋n≥dm＋dn D．不能确定
[解析] 1＋dm＋n－(dm＋dn)＝(1－dm)＋dn(dm－1)＝(1－dm)(1－dn)．
∵m，n∈N*,1－dm与1－dn同号，
∴(1－dm)(1－dn)>0.
二、填空题
5．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为__p≤q__.
[解析] p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·(－)
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
综上，p≤q.
6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为__M＞N__.
[解析] ∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.
三、解答题
7．已知a，b，c这三个实数中至少有一个不等于1，试比较a2＋b2＋c2与2a＋2b＋2c－3的大小．
[解析] a2＋b2＋c2－(2a＋2b＋2c－3)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.
∵a，b，c这三个数中至少有一个不等于1，
∴a－1，b－1，c－1中至少有一个不为0，
∴(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2>0.
∴a2＋b2＋c2>2a＋2b＋2c－3.
8．某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦价格为a(元/kg)，二级小麦价格为b(元/kg)(b[解析] 若以a(元/kg)的价格收购小麦m(kg)，以b(元/kg)的价格收购小麦n(kg)，所需钱数设为x(元)，那么x＝am＋bn.
若以两种价格的平均数收购，所需钱数记为y(元)，那么y＝(m＋n)．
则x－y＝(am＋bn)－(m＋n)
＝(a－b)(m－n)，
∵b0，
所以当m>n时，x>y，合理；
当m当m＝n时，花钱一样多．
课件37张PPT。第二章不等式化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进而得到原问题的解．3.1 不等关系与不等式第1课时 不等关系与不等式的性质自主预习学案
购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？1．实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a______b；如果a－b是负数，那么a______b；如果a－b等于零，那么a______b.
2．不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.大 > < ＝ 不等式 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( )√ √ × × × √ 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系_________.
[解析] 限重40吨，即不能超过40吨，故T≤40.
3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是_________.
[解析] c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.T≤40 c－2b 4．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．互动探究学案 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析] 应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．命题方向1 ?用不等式表示不等关系例题 1 『规律总结』 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
(2)列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．〔跟踪练习1〕
一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为_____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_________.8(x＋19)>2 200 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析] ∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．命题方向2 ?比较数或式子的大小例题 2 『规律总结』 比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差．
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．命题方向3 ?作商法比较大小例题 3 『规律总结』 作商法比较大小应注意的问题
作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．错用不等式的性质致错 例题 4 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．待定系数法在不等式中的应用 例题 5 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M、<、≥、≤”符号填空
(1)(2a＋1)(a－3)______(a－6)(2a＋7)＋45；
(2)a2＋b2______2(a－b－1)．
[解析] (1)(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(2a＋7)＋45]＝－6<0，
所以(2a＋1)(a－3)<(a－6)(2a＋7)＋45.
(2)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
所以a2＋b2≥2(a－b－1)．< ≥ 4．当m>2时，mm与2m的大小关系是__________.mm>2m 课时作业学案第三章 3.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( C )
A．a>b B．a＝b
C．a[解析] a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋>0，所以a2．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题
①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①∵ab＜0，∴＜0，
又∵bc－ad＞0∴·(bc－ad)＜0即－＜0，
∴①错；
②∵ab＞0，－＞0，∴ab(－)＞0，
即：bc－ad＞0，∴②正确；
③∵－＞0∴＞0，
又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．
3．若不等式a>b与>同时成立，则必有( C )
A．a>b>0 B．0>>
C．a>0>b D．>>0
[解析] 若a>b>0，则<，
同理0>a>b时，<，
所以只有当a>0>b时，满足>.故选C．
4．若0A．logaC．loga3[解析] ∵y＝logx为减函数，0∴loga>logb，故A错；
∵y＝2x为增函数，a∵y＝x－3在第一象限内为减函数，0b－3，故D错；
∵y＝log3x为增函数，a即<<0，∴loga3>logb3，故C错．
5．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( A )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M、N的大小无法确定
[解析] M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝
loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，
∴loga>0，∴M>N，若0∴00，
∴M>N，故选A．
6．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D．
[解析] 本题可用特值法：令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A中a1b1＋a2b2＝0.74；B中a1a2＋b1b2＝0.25；C中a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A．
二、填空题
7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是__(－3,3)__.
[解析] ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，
∴－4<－|β|≤0，
∴－3<α－|β|<3.
8．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是__①②④__.
[解析] 三、解答题
9．(1)已知a>b>0,0>c>d，求证：ad(2)a(3)已知a>b，<，求证：ab>0.
[解析] (1)∵a>b，c<0，∴ac∵c>d，a>0，∴ac>ad，∴ad(2)证法一：∵a－b>0，
∴0<－<－，①
∵0<－b<－a，②
①②相乘，<.
证法二：－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，∴－<0，即<0，
而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.
10．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．
[解析] (an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，
(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，
总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.
∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.
B级 素养提升
一、选择题
1．若a、b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( D )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
[解析] 解法一：由a＋|b|<0知，a<0,0≤|b|<－a，
∴b20；
∵|b|≥b，∴a＋b≤a＋|b|<0；
∵|b|≥－b，∴a－b≤a＋|b|<0；
∵－a>|b|≥b，∴(－a)3>b3，∴a3＋b3<0.
∴A、B、C错，D正确．
解法二：取a＝－2，b＝±1，易知a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A、B、C，故选D．
2．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( C )
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
[解析] 解法一：由a>b>0?0<b＋，故选C．
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，
b＝，排除B．
3．已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( B )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
[解析] ∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)又∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
4．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( B )
A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N
[解析] ∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，
即M二、填空题
5．若a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad[解析] 由>>0知，a、b同号，c、d同号，
且－＝>0.
由ad所以在取(a、b、c、d)时只需满足以下条件即可：
①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，
则d<＝－，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．
6．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是__p＜r＜s＜q__.
[解析] 解法一：取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r＝，s＝则p＜r＜s＜q(特值探路)．
解法二：p－r＝－＝＜0，∴p＜r.
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0
∴a＋m＞b＋m＞0.a＋n＞b＋n＞0，
∴＜1，＞1，∴r＜s.
或r－s＝－＝＜0.
∴r＜s.s－q＝－＝＜0，
∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.
三、解答题
7．(1)已知c＞a＞b＞0.求证：＞；
(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：＞.
[解析] (1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，
?＜
?＞.
(2)证法一：－＝，
∵0＜a＜b，m＞0，∴＞0，∴＞.
证法二：＝＝1＋＝1－＞
1－＝.
证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证＞，
只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，
只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，
要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，
∴原不等式成立．
8．设a＞0，a≠1，t＞0比较logat与loga的大小．
[解析] logat＝loga，
∵－＝＝，
∴当t＝1时，＝；当t＞0且t≠1时.＞.
∵当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＞loga＝logat.
当t＝1时，loga＝logat.
∵当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＜loga＝logat，
当t＝1时，loga＝logat.
综上知，当t＝1时，loga＝logat；当t＞0且t≠1时，若a＞1则loga＞logat；若0＜a＜1则loga＜logat.
课件37张PPT。第三章不等式3.1 不等关系与不等式第2课时 不等式性质的应用自主预习学案和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A、B、C、D，桶A、B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C、D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
不等式的性质
(1)性质1：如果a>b，那么b______a；
如果b即a>b?b______a.
(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a______c.
即a>b，b>c?a______c.
(3)性质3：如果a>b，那么a＋c______b＋c.< > < > > > > < > > > > 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b?ac2>bc2.( )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( )
(4)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(5)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )× × √ × × 2．若b<0，a＋b>0，则a－b______0.(填“>”或“<”)
[解析] ∵b<0，a＋b>0，∴a>0，∴－b>0，a－b>0.
3．若a”或“<”)
[解析] ∵a0，且a2>ab.> > 互动探究学案命题方向1 ?利用性质判断、证明不等式例题 1 ①②④
命题方向2 ?利用不等式的性质比较大小例题 2 D a>b 『规律总结』 比较大小的两种方法
特别提醒：不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a若a＝1816，b＝1618，试比较a与b的大小．命题方向3 ?利用不等式的性质求取值范围例题 3 『规律总结』 求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．例题 4 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．不等式的实际应用 例题 5 『规律总结』 “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．1．若x>1>y，下列不等式不成立的是( )
A．x－1>1－y B．x－1>y－1
C．x－y>1－y D．1－x>y－x
[解析] 特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确．A 2．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>c|b|
[解析] ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，
∵b>c，a>0，
∴ab>ac，故选C．C > 课时作业学案