第三章 3.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式组表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( A )
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y＜x和y≥3.
∴选A．
2．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D．
O点满足x－2y＋2≥0，排除C．∴选A．
3．若不等式mx＋ny－6>0(mn≠1)所表示的区域不含第三象限，则点(m，n)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 依题意，直线mx＋ny－6＝0(mn≠0)经过第一、二、四象限，则>0，－<0，即m>0，n>0，所以点(m，n)在第一象限，故选A．
4．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( C )
A．a<－7或a>24 B．－24
C．－77
[解析] 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两则，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0即可，解得－75．不等式组表示的平面区域是一个( C )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点(0,1)代入(x－y＋5)(x＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
6．不等式组表示的平面区域的面积是( B )
A．18 B．36
C．72 D．144
[解析] 作出平面区域如图．
交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)，
∴S△ABC＝[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.
二、填空题
7．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m、n满足的条件是__5m＋4n－1≤0__.
[解析] 由题意知点P不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，即为点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
8．若不等式组表示的平面区域为I，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过I中的那部分区域的面积为____.
[解析] 如图所示，I为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D(－，)，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
三、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分．
10．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件．
[解析] 分别求三边的直线方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式分别为：y>0,2x－y＋4>0,2x＋y－4<0.
∴△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为
B级 素养提升
一、选择题
1．不等式组表示的平面区域是( B )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域，且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
2．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，由题意得50x＋40y≤2 000即5x＋4y≤200.x、y表示人数∴x、y∈N*，∴答案为C．
3．某人上午7∶00乘汽车以匀速v1千米/时(30≤v1≤100)从A地出发到距300千米的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4≤v2≤20)从B地出发到距50千米的C地．计划在当天16∶00至21∶00到达C地．设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x，y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x、y的范围用阴影部分表示正确的是( B )
[解析] 由已知得∴画出图形可知应选B．
4．若M(x0，y0)是平面区域(a≠8)内的一个动点，且x0＋2y0≤14恒成立，则实数a的取值范围是( A )
A．(8,10] B．(8,9]
C．[6,9] D．[6,10]
[解析] 不等式组(a≠8)，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由题意易知a>8，且点(6，a－6)为可行域内边界上一点．由图可知当点(6，a－6)位于直线x＋2y＝14上或其左下方时，x0＋2y0≤14恒成立，从而有6＋2(a－6)≤14，即a≤10，所以8二、填空题
5．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝__3__.
[解析] 由条件知，＝，∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，∴3＋a－3＞0，
∴a＞0，∴a＝3.
6．现有以下五个说法：①原点在区域x＋y＋1≥0内；②点(－1，－1)在区域x＋y＋1<0内；③点(1,2)在区域y>2x内；④点(0,2)在区域x－2y＋5>0内；⑤点(1,1)在区域－x－5y＋6<0内．其中正确的序号为__①②④__.
[解析] ∵原点(0,0)的坐标满足不等式x＋y＋1≥0，
∴①正确；∵点(－1，－1)的坐标满足不等式x＋y＋1<0，∴②正确；
∵点(1,2)的坐标不满足不等式y>2x，∴③不正确；
∵点(0,2)的坐标满足不等式x－2y＋5>0，∴④正确；
∵点(1,1)的坐标不满足不等式－x－5y＋6<0，∴⑤不正确．故填①②④.
三、解答题
7．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
[解析] (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示x＋2y＋1与x－y＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组，与在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．
在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断．
不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0的右上方区域，x＋2y＋1＜0表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域；x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0的左上方区域，x－y＋4＞0表示直线x－y＋4＝0的右下方区域．
所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．
8．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
[解析] (1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由，解得A(4，－4)，
由，
解得B(4,12)，由，解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得，即，
∴.
∴t＝－1,0,1,2,3,4.故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
课件41张PPT。第三章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域自主预习学案景泰蓝是我国古老而又令很多人喜欢的手工艺品，它制作的关键一步是在制好的铜胎上，用扁铜丝依据图案要求把铜胎表面划分为若干个小的区域．例如，一片树叶就需要两条铜丝围成树叶形的封闭区域，一个三角形需要三条铜丝围成一个封闭区域，…….铜丝有直有曲、有长有短，区域形状各异，然后再经“点蓝”等工艺就制作成功．那么在制作过程中，这些区域是如何确定的呢？
1．二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有________未知数，并且未知数的次数是_____的不等式称为__________________；把由几个__________________组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的________称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的________.于是，二元一次不等式(组)的________就可以看成直角坐标内的点构成的集合．两个 1 二元一次不等式 二元一次不等式 集合 坐标 解集 2．平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线________________某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的________.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域__________边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________.
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取______________作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．Ax＋By＋C＝0 边界 不包括 实线 符号 原点(0,0) ××××2．不等式x－2y≥0表示的平面区域是图中的( )
[解析] x－2y≥0表示直线x－2y＝0右下方部分，选D．D 3．原点与点(－1,10)在直线x＋y－1＝0的________(填“同侧”或“两侧”)
[解析] (0,0)满足0＋0－1<0，在x＋y－1＝0的左侧，(－1,10)满足－1＋10－1>0，在x＋y－1＝0的右侧．两侧 4．点集A＝{(x，y)|x＋2y－1≥0，y≤x＋2,2x＋y－5≤0}，则原点O(0,0)与点集A的关系是________，点M(1,1)与点集A的关系是________.
5．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是__________________.O?A M∈A 互动探究学案 画出不等式2x＋y－6≤0表示的平面区域．
[解析] 先画直线2x＋y－6＝0(画成实线)，把原点(0,0)，代入2x＋y－6.
因为2×0＋0－6＝－6<0，所以(0,0)在2x＋y－6≤0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图所示．命题方向1 ?二元一次不等式表示的平面区域例题 1 『规律总结』 由于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某侧任取一点(x0，y0)，把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．〔跟踪练习1〕
画出不等式－x＋2y－4＜0表示的平面区域．
[解析] 先画直线－x＋2y－4＝0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以，不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示． 画出下列不等式组表示的平面区域．命题方向2 ?二元一次不等式组表示的平面区域例题 2 [解析] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界)．『规律总结』 1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判断．[解析] (1)不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方的区域．不等式x－2y>3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方的区域．
所以不等式组表示的平面区域如下图所示．命题方向3 ?不等式(组)表示平面区域的应用例题 3 『规律总结』 求平面区域面积的方法
(1)画出不等式组表示的平面区域．
(2)判断平面区域的形状，并求得相关两直线的交点坐标、图形的边长、相关的线段长(三角形的高、四边形的高)等，利用图形的面积公式求解．若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形，然后求解．C D 对平面区域判定不准致误 例题 4 [误区警示] 画二元一次不等式表示的平面区域时，没有注意到利用特殊点来判定对应区域，画图时虚实不分，解答中，画出直线x＋y－3＝0后，应选一特殊点来验证不等式的解集应该对应直线的哪一侧的区域．[正解] 不等式x>0表示直线x＝0(即y轴)右侧的点的集合(不含边界)；不等式y>0表示直线y＝0(即x轴)上方的点的集合(不含边界)；不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合．
所以原不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分(不包括x，y轴上的点)．例题 5 B 1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方
C．左下方 D．右下方
[解析] 将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0，可知(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧，则所求区域在对应直线的右下方．D 2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．a＝0或a＝2
C．0[解析] 设F(x，y)＝x＋y－a，由题意知F(0,0)·F(1,1)<0，即－a(2－a)<0，∴0A级 基础巩固
一、选择题
1．(2017·山东文，3)已知x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值是( D )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析] 画出可行域(如图阴影部分所示)．
画直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M.
解方程组，得点M(－1,2)．
∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，
且zmax＝－1＋2×2＝3.故选D．
2．(2019·天津理，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( C )
A．2 B．3
C．5 D．6
[解析] 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，
∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1,1)时，z取得最大值，
zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C．
3．(2017·天津卷理，2)设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y的最大值为( D )
A． B．1
C． D．3
[解析] 画出可行域，如图中阴影所示．
又目标函数z＝x＋y，
结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值，
即zmax＝0＋3＝3.
故选D．
4．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( B )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
[解析] 可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.
5．(2017·山东理，4)已知x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值是( C )
A．0 B．2
C．5 D．6
[解析] 如图所示，先画出可行域，
作出直线l：x＋2y＝0.
由，
解得.
∴A(－3,4)．
由图可知平移直线l至过点A时，z取得最大值，
zmax＝－3＋2×4＝5.
故选C．
6．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( D )
A． B．8
C．16 D．10
[解析] 画出不等式组对应的可行域如图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
则(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
二、填空题
7．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为__[－1,3]__.
[解析] 画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，
∴－1≤z≤3.
8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是____.
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．
不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．
故|OM|的最小值为＝.
三、解答题
9．若非负变量x、y满足约束条件，求x＋y的最大值．
[解析] 由题意知x、y满足的约束条件.
画出可行域如图所示．
设x＋y＝t?y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．
作直线l0：x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A(4,0)时， t取最大值4.∴x＋y的最大值为4.
10．在平面直角坐标系中，不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y的最大值．
[解析] 由题意得：
S＝×2a×a＝4，∵a>0，
∴a＝2.
设z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
由，得(2,2)，即z在(2,2)处取得最大值6.
B级 素养提升
一、选择题
1．若x、y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( A )
A．(－4,2) B．(－1,2)
C．(－4,0) D．(－2,4)
[解析] 作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－<2，即－42．已知点P(x，y)的坐标满足条件，那么x2＋y2的取值范围是( D )
A．[1,4] B．[1,5]
C．[，4] D．[，5]
[解析] 不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分，
显然，原点O到直线2x＋y－2＝0的距离最小，为＝，此时可得(x2＋y2)min＝；点(1,2)到原点O的距离最大，为＝，此时可得(x2＋y2)max＝5.故选D．
3．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( D )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图．
由题意知S△ABC＝9.
∵|BC|＝|a＋4－(－a)|＝2a＋4，
A到直线BC的距离为a－(－2)＝a＋2，
∴S△ABC＝(2a＋4)(a＋2)＝9，
解得a＝1或a＝－5(舍)
∴a＝1.
4．在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为( C )
A．－或 B．－3或1
C．1 D．
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图．
由题意知，可行域为一直角梯形．
面积S＝[1＋(t＋1)]·t＝＝.
∴t＝1或t＝－3(舍)．∴t的值为1.
二、填空题
5．已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是____.
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，
∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，
直线x＝1与y＝1垂直，
∴|MN|的最大值是
|AB|＝
＝.
6．(2016·全国卷Ⅲ文，13)设x、y满足约束条件，则z＝2x＋3y－5的最小值为__－10__.
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
三、解答题
7．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件，求z＝·的最大值．
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0,1)，z＝·＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，显然当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，且zmax＝2.
8．设x、y满足条件.
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．
由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
由，解得.
∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0.
(2)v＝表示可行域内的点(x，y)和定点D(5,0)的连线的斜率，
由图可知kBD最大，kCD最小．
由，解得.∴B(3，－3)．
∴vmax＝＝，vmin＝＝－4.
课件53张PPT。第三章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第2课时 线性规划的概念自主预习学案战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己的下等马对国王的上等马，用自己的上等马对国王的中等马，用自己的中等马对国王的下等马，这样田忌以2∶1取得了胜利，这个故事讲述了规划的威力．实际生产生活中，我们常常希望以最少的投入获得最大的回报．线性规划提供了解决优化问题的有效工具．线性规划中的基本概念二元一次 一次函数 解 集合 可行解 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)约束条件是关于变量的不等式，其中次数必须为1.( )
(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上．( )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )× × × ×
[解析] (1)次数不一定为1.
(2)线性目标函数的最优解不一定唯一．
(3)不一定在顶点上．
(4)几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴截距的相反数．2．将目标函数z＝2x－y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于_______.
[解析] z＝2x－y可化为2x－y－z＝0，故y轴上截距为－z.－z D [解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3.
故选D．A 3 互动探究学案命题方向1 ?求线性目标函数的最值问题例题 1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．『规律总结』 (1)解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)要注意直线斜率的大小．D 命题方向2 ?简单的线性规划中的整数解例题 2 『规律总结』 在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答．D 命题方向3 ?非线性目标函数的最值问题例题 3 『规律总结』 求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系．例题 4 [误区警示] 作图不准确．目标函数变形后对应的直线画的方向不准确，导致求最优解时，对应点的位置找错．
[名师点津] 在求目标函数的最优解时，必须准确地作出可行域以及目标函数对应的直线，最为关键的是弄清楚这些直线斜率之间的关系．已知目标函数的最值求参数 例题 5 D B [解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，
即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，
即zmin＝0－3＝－3.
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
故选B．2．(2019·北京卷理，5)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7C D D 课时作业学案第三章 3.3 第3课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·浙江文，4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,2)、B(2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B．
2．(2019·浙江卷，3)若实数 x，y 满足约束条件则 z＝3x＋2y的最大值是( C )
A．－1 B．1
C．10 D．12
[解析] 如图，
不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C．
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( B )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
[解析] 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( B )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
[解析] 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
作出可行域如图所示：
由图形知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
5．(2017·浙江卷，4)若x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的取值范围是( D )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4，所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．
故选D．
6．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( D )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
[解析] 设生产甲x吨、乙y吨，则有目标函数z＝3x＋4y，依题意得约束条件为易知最优解为(2,3)，代入目标函数可得z的最大值为18.故选D．
二、填空题
7．若x、y满足约束条件，则的最大值为__3__.
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8．已知x、y满足，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝__0__.
[解析] 由条件作出可行域如图．
根据图形知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.
三、解答题
9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.(x∈N，y∈N)
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．
10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知，目标函数为z＝320x＋504y(其中x、y∈N)．作出可行域如图所示．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2 560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．
B级 素养提升
一、选择题
1．若变量x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为( A )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，∴，∴A(0,1)，∴z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1，故选A．
2．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是( B )
A．24 B．27
C．42 D．72
[解析] 令xy2＝X，()2＝Y，则z＝＝.
问题转化为：已知实数X，Y满足
求z＝的最大值．
作出可行域(图略)，z＝＝表示可行域内的点P(X，Y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，即求斜率的最大值．当点P(X，Y)位于点(3,81)时，斜率最大，为＝27.所以zmax＝27，即的最大值是27.故选B．
3．已知实数x、y满足，若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为( C )
A．4 B．3
C．2 D．－
[解析] 表示的可行域如图中阴影部分所示．
将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值．由得A(m－1，m)，由得B(4－m，m)，所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝10－4m＝2，解得m＝2.故选C．
4．已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x，y)的坐标x，y满足不等式组若当且仅当时，·取得最大值，则a的取值范围是( D )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(0，) D．(，＋∞)
[解析] 作出不等式组所表示的可行域如图，由目标函数·＝(a,1)·(x，y)＝ax＋y所表示的斜率为－a的平行直线系仅过点A(3,0)时，取得最大值可得－a.故选D．
二、填空题
5．若x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为__8__.
[解析] 不等式组表示的可行域是以A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)为顶点的三角形区域，z＝2x＋y的最大值必在顶点C处取得，即x＝3，y＝2时，zmax＝8.
6．福建武夷山市南岩茶叶精制厂用茶叶由甲车间加工出红茶，由乙车间加工出绿茶．甲车间加工一箱茶叶需耗费工时10 h，可加工出7 kg红茶，每千克红茶获利40元；乙车间加工一箱茶叶耗费工时6 h，可加工出4 kg绿茶，每千克绿茶获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱茶叶的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h，甲、乙两车间每天总获利最大值为__15 200__元．
[解析] 设甲车间加工茶叶x箱，乙车间加工茶叶y箱，甲、乙两车间每天总获利为z元，则
，即.
目标函数z＝280x＋200y，x、y∈N，作出可行域，即如图(阴影部分)所示中的整数点．
当z＝280x＋200y对应的直线过直线x＋y＝70与5x＋3y＝240的交点时，目标函数z＝280x＋200y取得最大值．
由，得.故zmax＝280×15＋200×55＝15 200(元)，即 甲、乙两车间每天总获利最大值为15 200元．
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000 g．如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
8．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.
x、y应满足，
即，
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．
9．某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
月资金供
应量(百元)
电子琴(架)
洗衣机(台)
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
/
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
[解析] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，
则根据题意，有，
作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分
令z＝0，作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.
当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．
解方程组，得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．
课件56张PPT。第三章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第3课时 线性规划的应用自主预习学案
某加工厂用某原料由甲车间加工A产品，由乙车间加工B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可生产出7 kg A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6 h，可生产出4 kg B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h，你能为甲、乙两车间制定一个生产计划，使每天的获利达到最大吗？1．线性规划常用来解决下列问题：
(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最______，收到的效益最______.
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最______.常见问题有：物资________、产品________、下料等问题．
2．最优解常转化为由目标函数得到的直线到________距离的最值来考虑．(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小))大 大 小 调运 安排 原点 D [解析] 约束条件满足的区域如图阴影部分所示，目标函数z＝3x＋2y在点A(5,7)处取得最大值29.2．(2016·全国卷Ⅰ文，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____________元．216 000
其可行域为四边形OMNC及其内部区域中的整点，其中点O(0,0)，M(0,200)，N(60,100)，C(90,0)，当直线z＝2 100x＋900y经过点N(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000，即生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．互动探究学案 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3 kg，B种原料1 kg；生产乙产品1工时需要A种原料2 kg，B种原料2 kg.现有A种原料1 200 kg，B种原料800 kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？命题方向1 ?收益最大问题(利润、收入、产量等)例题 1 [解析] 依题意可列表如下：『规律总结』 解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来处理．
(2)转化——设出未知量，由条件列出约束条件确立目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．
(3)作图——作出可行域，求出可行域边界点的坐标．
(4)求解——利用图形法求出最优解和最值．(5)作答——就应用题提出的问题作出回答．
几个注意点：(1)列不等式组时，要特别注意表达不等关系的词语(如不超过，不大于，最少等)；(2)平移直线时，特别注意斜率大小与直线的倾斜程度，准确找出最优解对应直线的位置；(3)将求解得到数学结论转化为实际问题的结论．〔跟踪练习1〕
某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4 t/件，B种原料2 t/件，生产乙产品需要A种原料3 t/件，B种原料1 t/件，该厂能获得A种原料120 t，B种原料50 t．问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大？最大总收入为多少？ 某公司的仓库A存有货物12 t，仓库B存有货物8 t．现按7 t、8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？命题方向2 ?耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题例题 2 作出可行域，如图所示．
作直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，
当直线过A(0,8)时，z＝x－2y＋126取得最小值，
zmin＝0－2×8＋126＝110，即x＝0，y＝8时，总运费最少．
即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0 t、8 t、4 t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7 t、0 t、1 t，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．『规律总结』 求最优解时，常常要考虑直线的位置，精确作图又比较麻烦，这时可通过比较直线的斜率来判断其位置．〔跟踪练习2〕
某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件与B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元．2 300 某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？命题方向3 ?整数最优解不是边界点的问题例题 3 『规律总结』 整数最优解不是边界点时，要取可行域内距离最优解最近的点检验找出整数最优解，或者利用格点法(即过x轴与y轴上的整点作与坐标轴平行的直线，从网格交点中找位于可行域内使z取最值的点．)忽视线性目标函数的几何意义而致误 例题 4 B [错解] 作出可行域如图，[误区警示] 因为没有弄清目标函数z＝2x－y的几何意义，由z＝2x－y得y＝2x－z，当z取最大值时，－z应取最小值，故当直线y＝2x－z在y轴上截距最大时，符合题意，另外画图不够准确致错．
[名师点津] ①线性规划的求解是在图上进行的，因此做图是否准确直接影响到结论的正误；②要注意目标函数最值的几何意义；③要注意线性目标函数直线与围成可行域的直线的位置关系．数形结合的主要解题策略是：数?形?问题的解决；或：形?数?问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相应的几何图形，并利用直观特征去解决的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决实际问题是典型的数形结合问题．线性规划中的数形结合思想 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是___________.例题 5 1．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 800元
C．36 000元 D．38 400元B 2．某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．该公司要想获得最大收益，应分配在甲电视台_______min广告时间，乙电视台_______min广告时间，获得的最大收益为______万元．100 200 70 现有A种原料200 t，B种原料360 t，C种原料300 t，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x、y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．课时作业学案