第三章 3.4 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( D )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[解析] ∵2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时，等号成立)，
∴≤，∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2.
2．(2019·山东昌乐一中高二月考)设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为( A )
A． B．
C． D．4
[解析] ∵2a＋3b＝6，∴＋＝1，
∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
3．(2019·江西弋阳一中高二月考)下列结论正确的是( D )
A．当x＞0，x≠1时，lgx＋≥2
B．当x≥2时，x＋的最小值为2
C．当x∈R时，x2＋1＞2x
D．当x＞0时，＋的最小值为2
[解析] 当0＜x＜1时，lgx＜0，排除A；当x≥2时，y＝x＋单调递增，ymin＝2＋＝，排除B；当x＝1时，x2＋1＝2x，排除C，故选D．
4．函数f(x)＝的最大值为( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.
当t＝0时，f(x)＝0；
当t>0时，f(x)＝＝.
∵t＋≥2，∴0<≤.
∴f(x)的最大值为.
5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( D )
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析] 由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.
6．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有( B )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2.故选B．
二、填空题
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__[，＋∞)__.
[解析] 令f(x)＝(x>0)
＝≤＝，
当且仅当x＝，
即x＝1时等号成立，
∴a≥f(x)max＝.
8．已知正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__.
[解析] 因为x、y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，
所以的最小值为9.
三、解答题
9．已知x>0，y>0.
(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．
[解析] (1)∵x>0，y>0，
由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.
又∵2x＋5y＝20，
∴20≥2·，
∴≤，∴xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
由，解得.
∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.
这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.
(2)由已知，得x·y＝100，
5x＋2y≥2＝2＝20.
∴当且仅当5x＝2y＝，
即当x＝2，
y＝5时，等号成立．
所以5x＋2y的最小值为20.
10．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．
[解析] 设一条直角边长为x cm，(0
面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)
等号在x＝10－x即x＝5时成立，
∴面积最大时斜边长L＝＝
＝5(cm)．
B级 素养提升
一、选择题
1．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
[解析] 解法一：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D．
解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
2．(2019·福建莆田一中高二月考)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
[解析] ∵这两年的平均增长率为x
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，
由题设a＞0，b＞0.
∴1＋x＝
≤
＝1＋，
∴x≤，
等号在1＋a＝1＋b，
即a＝b时成立．∴选B．
3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( A )
A． B．－
C．1 D．－1
[解析] 由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，
即x＝，y＝1，
∴xy的最大值为.
4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( A )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
[解析] 因为a＋b＝cd＝4，
所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.
又因为cd≤，所以c＋d≥4，
所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选A．
二、填空题
5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__3__.
[解析] y＝x－4＋＝x＋1＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，>0，
所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5
≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
6．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为__3__.
[解析] (＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋2×＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，
即a＝，b＝时等号成立，
所以＋≤3.
三、解答题
7．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋)2＋(b＋)2的最小值．
[解析] (a＋)2＋(b＋)2
＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)(1＋)＋4
＝(1－2ab)(1＋)＋4，
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴ab≤()2＝，
∴1－2ab≥1－＝，且≥16,1＋≥17.
∴原式≥×17＋4＝(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴(a＋)2＋(b＋)2的最小值是.
8．求函数y＝1－2x－的值域．
[解析] y＝1－2x－＝1－(2x＋)．
①当x>0时，2x＋≥2＝2.
当且仅当2x＝，即x＝时取等号．
∴y＝1－(2x＋)≤1－2.
②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．
∵－2x＋(－)≥2＝2.
当且仅当－2x＝－时，即x＝－时取等号．
∴此时y＝1－2x－≥1＋2
综上知y∈(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
∴函数y＝1－2x－的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
课件45张PPT。第三章不等式第1课时 基本不等式自主预习学案如图是第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥_______，当且仅当________时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有__________，当且仅当________时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得__________.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得__________.2ab a＝b a＝b 最大值 最小值 ××××C C 4．已知x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y( )
A．有最大值2 B．等于4
C．有最小值3 D．有最大值4D 5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________.
[解析] 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.a＝1 互动探究学案命题方向1 ?对基本不等式的理解例题 1 B D [分析] (1)运用基本不等式证明，也可以用特殊值法排除错误选项；
(2)注意基本不等式运用的条件，一正二定三相等．『规律总结』 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．
一正，a，b均为正数；
二定，不等式一边为定值；
三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．C 命题方向2 ?利用基本不等式求函数的最值例题 2
C C [分析] 要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．命题方向3 ?变形技巧：“1”的代换例题 3
6 18 忽视等号成立的条件而致误 例题 4 利用基本不等式比较数的大小 例题 5 m>n B C D 4．已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为( )
A．100 B．75
C．50 D．25D 5．若a>2 010,0A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( C )
A．5 B．4
C．2 D．1
[解析] 由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝，
∴k1k2＝＝－1，
∴b＝>0，∴|ab|＝||＝|a|＋≥2，等号成立时|a|＝，∴a＝±1，b＝2，
∴|ab|的最小值为2.
2．若点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是( C )
A．8 B．6
C．4 D．3
[解析] 点(a，b)在直线x＋2y＝3上，则a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，
当且仅当a＝2b＝时等号成立．故选C．
3．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是( B )
A．4 B．5
C．8 D．10
[解析] 依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B．
4．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
[解析] 设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．
5．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( B )
A．16 B．25
C．9 D．36
[解析] (1＋x)(1＋y)≤[]2＝[]2＝()2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.故选B．
6．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为( B )
A． B．
C．2 D．4
[解析] ∵2是2a与b的等差中项，∴2a＋b＝4.
又∵a>0，b>0，∴2ab≤()2＝()2＝4，
当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号．
∴≥.故选B．
二、填空题
7．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__[9，＋∞)__.
[解析] ∵a、b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
8．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是__乙__.
[解析] 设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋%)2，因为≤＝1＋%，因为p>q>0，所以<1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋%)2，所以提价多的方案是乙．
三、解答题
9．(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
[解析] 设矩形的一边长为x m，则另一边长为 m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4) m，长为(－2) m.
由，得4所以其面积S＝(x－4)·(－2)＝808－(2x＋)
≤808－2＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝，即x＝40∈(4,400)时等号成立．
因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
10．已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明] ∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，(当且仅当a＝b＝c时上式等号成立)
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·贵州凯里一中高二月考)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( D )
A． B．3
C．5 D．9
[解析] ∵a＋b＝1，∴＋＝(＋)·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立，
由，得.
2．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为( A )
A．3 B．
C．2 D．
[解析] 令logab＝t，由a>b>1得03．设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为( D )
A．8 B．9
C．16 D．18
[解析] 由条件可得||·||＝4，
设△ABC的面积为S，
则S＝||·||sin∠BAC＝1，
∵S△MBC＝，∴x＋y＝，
故＋＝2(x＋y)·(＋)＝2(5＋＋)≥18，当且仅当x＝，y＝时等号成立．故选D．
4．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋ab＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝且ab＝即a＝2b＝时，等号成立．故选D．
二、填空题
5．等差数列的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，则的最小值是____.
[解析] 因为2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，所以2(a2＋1)＝a2(a2＋1)，即a2＝2(an>0)，所以an＝n，Sn＝，所以＝＝n＋＋1由于函数f(x)＝x＋(x>0)在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而3<<4，且f(3)＝>f(4)＝，所以当n＝4时，n＋＋1的最小值为，即的最小值是.
6．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是__(－4,2)__.
[解析] 不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，
即x2＋2x<(＋)min，
由＋≥2＝8，
当且仅当＝，即a＝4b时，取得等号，则x2＋2x<8，解得－4三、解答题
7．已知a，b为正数，求证：＋≥.
[解析] 因为a>0，b>0，所以(2a＋b)(＋)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4＝2(＋1)2，
即得＋≥.
8．(2019·山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝－(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；
(2)为了让年利润W不低于2 360万元，求年产量x的取值范围．
[解析] (1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋4 360
＝－(＋16x)＋4 360(10＜x＜100)，
∵＋16x≥2＝1 600.
当且仅当x＝50时，“＝”成立，
∴W≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元．
(2)W＝－－16x＋4 360≥2 360，
整理得x2－125x＋2 500≤0.
解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.∴25≤x＜100.
故为了让年利润W不低于2 360万元，年产量x的范围是[25,100)．
9．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t，最多为600 t，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解析] (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理为400 t时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元．
(2)不获利．
设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
课件45张PPT。第三章不等式第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题自主预习学案
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？1．利用基本不等式求函数的最值
(1)如果x，y>0，xy＝P(定值)，当________时，x＋y有最______值_______.(简记：积定和有最小值)
(2)如果x，y>0，x＋y＝S(定值)，当________时，xy有最______值______.(简记：和定积有最大值)x＝y 小 x＝y 大 (3)利用基本不等式求最值，必须满足三条：__________________.
即①x，y都是正数(x，y为非正数，则结论不成立)；
②积xy(或和x＋y)为定值；
③x与y必须能够相等．
利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最值是最常见的方法之一，而求最值时又极易忽略上述条件，这一点希望注意．一正二定三相等 2．求实际问题中的最值的解题步骤
(1)先读懂题意，理清思路，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
(4)正确写出答案．√√××2．已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是_______.
[解析] p2＋q2≥2pq＝200，当且仅当p＝q＝10时取等号．200 8 互动探究学案命题方向1 ?利用基本不等式证明例题 1 『规律总结』 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
特别提醒：在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．命题方向2 ?求参数的取值范围问题例题 2 『规律总结』 1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．命题方向3 ?利用基本不等式解决实际问题例题 3 [分析] 由已知得出函数解析式，用基本不等式求最值．『规律总结』 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．〔跟踪练习3〕
某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？忽视等号成立的条件而致误 例题 4 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？均值不等式在实际问题中的应用 例题 5 C A C 4 5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是_____万元．8 课时作业学案