高中数学人教新课标A版选修4-5第三讲　柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式(共35张PPT)

(共35张PPT)
类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系.
把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。
解：
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0,
因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2
上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式.
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。
设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
根据向量数量积的定义，有
α.β=│α││β│cos θ
用平面向量的坐标表示不等式(2)得：
所以
│α.β│=│α││β││cosθ│
因为│cosθ│≤1,
所以│ α.β │≤│ α ││ β │
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则│α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.
试从不等式(1)推导不等式(2)，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？
定理3(二维形式的三角不等式)
能用柯西不等式证明吗？
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：
请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。
虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。
已知a,b为实数。
试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.
利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。
问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.
1.二维形式的柯西不等式的代数形式.
若a,b,c,d都是实数，
则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
2.二维形式的柯西不等式的向量形式.
设α，β是两个向量，
则│α .β│≤│α││β│,
当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立.
3.二维形式的柯西不等式的应用.