高中数学人教新课标A版选修4-5第三讲　柯西不等式与排序不等式三 排序不等式(共25张PPT)

(共25张PPT)
设c1,c2,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任何一个排列，问以下的n个乘积的和s=a1c1+a2c2+…+ancn何时取得最大值?
把S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的乱序和；
按相反顺序想成所得积的和
S=a1bn+a2bn-1+…+anc1称为反序和;
按相同顺序相乘所得积得和S2=a1b1+a2b2+…+ancn称为顺序和.
即;反序和≤乱序和≤顺序和.
有直觉可以得到S1≤S≤S2
为了初步检验上面的直觉，用两组数(例如1，2，3和4，5，6）检验出的结果和直觉一致.
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组实数，c1 ≤c2 ≤… ≤cn是b1,b2,…,bn的任一排列.
因为b1,b2,…,bn的全排列只有n!,所以S=a1c1+a2c2+…ancn (1)的不同值只有有限个，其中必有最大和最小值.
若c1≠b1，则有某ck=b1(k>1),c1>ck.
经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和，即S≤S2.
将(1)中c1,ck对换，得S,=a1ck+…+akc1+…+ancn (2)
(2)-(1)得：S,-S=(ak-a1)(c1-ck)≥0.
若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.
同样可证，最小和数是反序和，即S1≤S.
因此S1 ≤S ≤S2
顺序和S2与反序和S1能相等吗？如果能，那么什么条件下两者相等？
观察可得，当a1=a2=…an，或b1=b2=…=bn时，顺序和等于反序和.即S1=S=S2.
定理（排序不等式又称排序原理）
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列，则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和.
首先转化为数学问题.若第一接水的人需要t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分；第二接水的人需要t2分，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2 分；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一人在等，需要t10分.
所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
现要考虑t1,t2,…t10满足什么条件时这个和数最小.
解：
等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
根据排序不等式，当t1其中t1设b1,b2,…bn是a1,a2,…,an的一个排列，且满足b1因为b1,b2,…bn是互不相同的正整数，故b1≥1,b2 ≥2,…bn ≥n.
1.排序不等式:
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列，则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和.
2.排序不等式的应用.
对于许多不等式问题，应用排序不等式往往简明。掌握排序不等式的结构特点，灵活应用.
1.已知a,b,c为正数，用排序不等式证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
由于要证的式子中a,b,c式轮换对称的，所以不妨设a≤b≤c.于是a2 ≤b2 ≤c2,
有排序不等式，得 a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a,
a2a+b2b+c2c ≥a2c+b2a+c2b,
两式相加，得
2(a3+b3+c3) ≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)