苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：11导数的应用三---导数的实际应用

导数的实际应用

【学习目标】
利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.
【要点梳理】
要点一：最优化问题
现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题．
要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤
解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等．
不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值．
一般步骤为：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；
(2)求函数的导数，解方程；
(3)比较函数在区间端点和使的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
要点诠释：
利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．
要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路

要点四：最优化问题的常见类型
(1)利润最大问题；
(2)用料最省、费用最低问题；
(3)面积、体积最大或最小问题．
【典型例题】
类型一：用料最省、费用最低问题
例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)

【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x（或y）的函数.
【解析】依题意，有，
∴ ，于是框架用料总长度为
．
，令，即，
解得，(舍去)．
当0＜x＜8－时，；当时，．
∴ 当x＝时，L取得最小值，此时，y≈2.828 m．
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．
【总结升华】本问题中，由，得到，，由于x表示边框的长度，故x＞0，所以舍去．解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义．
举一反三：
【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?

【答案】依题意设CD＝x，则AC＝50-x(0≤x≤50)用，
∴ 水管费．
∴ ，
令，得，
∴ x＝30．
当0≤x＜30时，；当30＜x≤50时，．
∴ x＝30时，y取得最小值，此时，CD＝30 km，故AC＝50-30＝20(km)，
因此供水站建在A、D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．
类型二：利润最大问题
例2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元／辆，出厂价为13万元／辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)×年销售量．
(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？
【思路分析】（1）由题设分别求出本年度每辆车的投入成本、每辆车的出厂价及年销售量，列出年利润的表达式；（2）由（1）知，每一辆汽车的利润是(3-0.9x)，结合年销售量，从而计算出本年度的年利润，建立关于变量x的函数.
【解析】 (1)由题意得：
上年度的利润为(13-10)×5000＝15000(万元)；
本年度每辆车的投入成本为10×(1+x)；
本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x)；
本年度年销售量为5000×(1+0.4x)，
因此本年度的利润为y＝[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)＝(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)
＝-1800x2+1500x+15000(0＜x＜1)．
由-1800x2+1500x+15000＞15000，解得0＜x＜．
所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加．
(2)本年度的年利润为

，
则，
由，解得或(舍去)，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数．
所以当时，取极大值(万元)，
因为在(0，1)上只有一个极大值，所以20000是最大值，
所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
【总结升华】实际问题中的最值问题，首先要根据题意，列出相应的函数关系式，再利用均值不等式法或者求导法得出问题的最值．一般说来，应用求导法确定函数的单调性，再根据单调性求最值的方法更具有普遍性．
举一反三：
【变式】已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100+4q(0＜q＜100)，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大?
【答案】收入R＝q·p＝，
利润
，，
令，即，求得唯一的极值点q＝84．
故产量q为84时，利润三最大．
类型三：面积、体积最大或最小问题
例3．做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值V，而用材料要最省，问圆柱的底面半径及高各应为多少？
【解析】设圆柱的底面半径为R，高为h，则，．
设圆柱的表面积为S，

则
,
令，得，从而．
因为函数在(0，+∞)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点．
故当圆柱的底面半径和高均为时，用材料最省．
【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值．
举一反三：
【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?
【答案】设底面较短的边长为x cm，则相邻一边长为2x cm，又设箱子高为h，则，
设表面积为S，
则，
．
令，解得S在(0，+∞)内的唯一可能的极值点x＝3．
当x＜3时，S′＜0．
当x＞3时，S′＞0．
∴ 在x＝3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm，6 cm，高为4 cm时，长方体箱子的表面积最小．
【巩固练习】
一、选择题
1．以长为10的线段为直径作半圆，则它的内接矩形的面积最大值为( )
A．10 B．15 C．25 D．50
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A． B． C． D．
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32 16 B．30 15 C．40 20 D．36 18
4．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱的高为( )
A． B． C． D．
5．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A． B． C． D．
6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品产量是( )
A．100 B．200 C．250 D．300
二、填空题
7．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定。窗户周长最小时，x与h的比为_______．


8．设某银行中的总存款与银行付给储户的利率的平方成正比，若银行以10％的年利率把总存款的90％贷出，同时能获得最大利润，需要支付给储户的年利率为________．
9. 水以20m3／min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，底面直径为12 m，当水深10 m时，水面上升的速度是________．
三、解答题
10．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．


11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，两桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?
12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．


【答案与解析】
1. 【答案】C
【解析】 解法一：设内接矩形的宽为z，则长为，
面积．则．
令，得或(舍)．
∵ 此函数为单峰函数，
∴ 当时，．
解法二：如图所示．

设∠NOB＝，则矩形的面积＝，故．

2．【答案】D
【解析】 设高为x cm，则底面半径为cm，
体积，则，
由得或(舍去)．
当时，，
当时，，所以当时，V取最大值．
3．【答案】A
【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为，则，令，得x＝±16．又x＞0，∴ x＝16．则当x＝16时，长为(米)．
4．【答案】A
【解析】作轴截面如图，设圆柱高为2h，则底面半径为，
圆柱的体积．
∴ ，
令，得，
∴ ．
即当时，圆柱的体积最大．

5．【答案】C
【解析】设此三棱柱底面边长为a，高为h，则，
∴ 表面积．
由0得．
6．【答案】D
【解析】 由题意，总成本为C＝20000+100x，
所以总利润
则
令，当0≤x≤400时，得x＝300；
当x＞400时，恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
7．【答案】1:1
【解析】设窗户面积为S，周长为L，
则，，所以窗户周长，
．由，得，
时，，
时，，
所以当时，L取最小值，此时．
8．【答案】6％
【解析】设支付给储户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给储户利息的差，即，，由，得或(舍去)．当x∈(0，0.06)时，，当x∈(0.06，+∞)时，，故当x＝0.06时，y取最大值．
9．【答案】m／min
【解析】 设经过t分钟水深为h，则，
∴ ，
∴ 当水深10m时，，水面上升速度为．
10．【解析】由梯形面积公式得，
其中AD＝2DE+BC，DE＝，BC＝6，
所以．
所以． ①
因为，AB＝CD，所以．②
由①得，代入②得，
，，
所以，当0＜h＜时，，当时，，
所以时，取得最小值，此时．
11．【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x＝m，即，
所以
．
(2)由(1)知，．
令，得，所以x＝64．
当0＜x＜64时，，在区间(0，64)内为减函数；
当64＜x＜640时，，在区间(64，640)内为增函数．
所以在x＝64处取得最小值，此时．
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12.【解析】设长为x，则宽为，设总造价为y元，
根据题意 解得．

，
，解得．
当x∈(0，18)时，函数为减函数；当x≈∈(18，+∞)时，函数为增函数，因此当且仅当长为16米，宽为12.5米，总造价最低，为45000元．