苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：20数学归纳法(基础)

数学归纳法

【学习目标】
1．理解数学归纳法的原理及适用范围．掌握数学归纳法证题的思路和特点。
2．能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
【要点梳理】
知识点一、数学归纳法的原理
数学归纳法定义:
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
要点诠释：
即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
数学归纳法的原理：
数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：
① 证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；
② 证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
3.数学归纳法的功能和适用范围
1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.
2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题。但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。

知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧
1 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
2．用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始n0．n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
3. 用数学归纳法证题的关键：
运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．

知识点三、用数学归纳法证题的类型：
1.用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
2.用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；
用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
3.用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；
数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．
4.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.
用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．
5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.
由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．
【典型例题】

类型一、对数学归纳法的两个步骤的认识
例1. 对一切n∈N*，试比较2n与n2的大小．
【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。
【解析】 当n=1时，21＞12，即2n>n2；
当n=2时，22=22，即2n=n2；
当n=3时，23＜32，即2n＜n2；
当n=4时，24=42，即2n=n2；
当n=5时，25＞52，即2n＞n2；
当n=6时，26＞62，即2n＞n2；
……
猜想：当n≥5，2n＞n2．下面用数学归纳法证明猜想成立．
（1）当n=5时，由上可知猜想成立．
（2）假设当n=k（k≥5）时，命题成立，即2n＞n2．那么当n=k+1时，2k+1=2·2k＞2k2=k2+k2＞k2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜想成立．
根据（1）、（2）可知，当n≥5时，2n＞n2都成立．
所以n=2或4时，2n=n2；n=3时，2n＜n2；n=1或n≥5时，2n＞n2．
【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想．在用数学归纳法证明时，要注意2n与n2的大小关系只有在n≥5时才稳定下来，故起点n=5．另一个易错点在假设n=k时要带上限制条件k≥5．
举一反三：
【变式】 用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）．
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
当n=1时，2=2；当n=2时，22=4＜22+1=5；当n=3时，23=8＜32+1=10；当n=4时，24=16＜42+1=17；当n=5时，25=32＞52+1=26；当n=6时，26=64＞62+1=37。故选C。
例2. 用数学归纳法证明：
．
【思路点拨】本题是一个与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题，故可考虑用数学归纳法进行证明.
【解析】
（1）当n=1时，左边，右边，∴等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，
即，
则当n=k+1时，




．
所以当n=k+l时等式也成立．
根据（1）和（2），等式对于任意的n∈N*都成立．
【总结升华】 在利用归纳假设论证n=k+1时等式也成立时，应注意分析n=k和n=k+1时两个等式的差别：n=k+1时，等式左边应增加两项，右边增加一项，所证等式的右边第一项变为，因此在证明中，右式中的应与合并，可以得到所证等式．因而在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作分析是有效的．
举一反三：
【变式1】用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为
A2k+1 B2（2k+1） C D
【答案】B
当n=1时，显然成立
当n=k时，左边=（k+1）（k+2）·…·（k+k），
当n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）·…·（k+1+k）（k+1+k+1）
=（k+2）（k+3）·…·（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）
=（k+1）（k+2）·…·（k+k）
=（k+1）（k+2）·…·（k+k）2（2k+1）
【变式2】 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
【答案】因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B
类型二、利用数学归纳法证明等式
例3．证明：（其中n∈N*）．
【解析】（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即 ，
那么当n=k+l时，
左边
=右边．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（1）、（2）可知，等式对任何n∈N*都成立．
【总结升华】
①数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；
②在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性；
③用数学归纳法证明时，要注意从时的情形到时的情形是怎样过渡的，即要证明时等式成立，应如何利用时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解决这一问题的关键；
举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N*时，．
【答案】（1）当n=2时，左边，右边，
∴n=2时等式成立．
（2）假设当n=k（n≥2，n∈N*）时等式成立，
即．
那么当n=k+1时，

．
∴当n=k+1时，等式也成立．
根据（1）和（2）知，对任意n≥2，n∈N*等式都成立．
例4. 用数学归纳法证明等式：
【思路点拨】注意由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
【解析】（1）当n=1时，左==右，等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则
当n=k+1时，等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【总结升华】 利用数学归纳法证明与正整数有关的一些恒等式问题，关键是看清等式两边的项，弄清等式两边的构成规律．例如，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关等．
举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：对任意的nN*,1-+-+…+-=++…+.
【答案】
（1）当n=1时，左边=1-===右边，∴等式成立.
（2）假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，等式成立，即1-+-+…+-=++…+.
则当n=k+1时,
1-+-+…+-+-=++…++-
=++…+++(-)=++…+++,
即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n∈N*等式成立.
类型三、用数学归纳法证明不等式

例5.用数学归纳法证明不等式
【解析】（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则


当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【总结升华】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法、放缩法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面
【变式1】用数学归纳法证明：.
【答案】（1) 当n=2时，左式=，右式=，
∵，∴，即n=2时，原不等式成立.
（2)假设n=k(k≥2, )时，不等式成立，
即,
则n=k+1时，
左边=

右边=，要证左边>右边，
只要证 ，
只要证 ，
只要证 4k2+8k+4>4k2+8k+3
只要证 4>3.
而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式.
由（1),（2)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立.
【变式2】已知，求证：n>1时，.
【答案】（1) n=2时，左式=, 右式=，
∵， ∴左式>右式，不等式成立，
n=3时，左式=,
右式=， 左式-右式=，左式>右式，不等式成立.
（2)假设n=k(, k≥3)时不等式成立，
即，
当n=k+1时，

即n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，n>1, n∈N时，都有.
【变式3】数列中，，用数学归纳法证明：
【答案】(1) 当n=1时, ,不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即，
则，
当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立
类型三：用数学归纳法证明与数列有关的命题
例6.在数列中，，求数列的通项公式
【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.
【解析】猜想
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立
（2）假设当n=k时猜想成立，则
当n=k+1时猜想也成立
综合（1）（2），对猜想都成立
【总结升华】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.
用数学归纳法证明与递推关系有关的命题时依归纳假设证明时命题也成立时，除了用上假设外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方.
举一反三：
【变式】数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1） 当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.
当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.
由此猜想an=(n∈N*).
（2） ①当n=1时，a1=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即ak=,
那么n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,
这表明n=k+1时，结论成立，由①②知猜想an=（n∈N*）成立.
类型四：用数学归纳法证明整除性问题
例7. 试证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
【思路点拨】，证明一个多项式或指数幂形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n有关的命题．常用数学归纳法
【解析】 方法一（1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.
（2）假设当n=k (k≥1,k∈N*)时， f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.
由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*，命题都成立.
方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.
（2）假设当n=k (k≥1,k∈N*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.
由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得
f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*,命题都成立.
【总结升华】 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除.
举一反三：
【变式】 证明：能被整除
【答案】 （1）当n=1时，，能被整除；
（2）假设n=k时命题成立，即能被整除
则可设（其中为次多项式）
当当n=k+1时，
能被整除
所以，当n=k+1时，命题仍然成立
由(1)(2)可知，对于命题依然成立.
类型五：用数学归纳法证明几何问题
例8．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．
【解析】
　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
【总结升华】
用数学归纳法证明几何问题时，关键是寻找f(k+1)与f(k)之间的递推关系，基本策略是往后退，从f(k+1)中将f(k)分离出来。
举一反三：

【变式】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不交于同一点，求证n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.
【答案】
(1)当n=1时，1个圆将平面分成2部分，f(1)=12-1+2=2
∴命题成立.
(2)假设当n=k时命题成立，即k个圆将平面分成k2-k+2部分
当n=k+1时，新增的圆与前k个圆交于2k个点，
这2k个点将此圆分成2k段弧，每段弧把它所在平面分成2部分，
故增加了2k个部分
∴f(k+1)=f(k)+2k =k2-k+2+2k =(k+1)2-(k+1)+2
即n=k+1时命题也成立
综上由(1)(2)得，命题对任意n∈N*成立.

【巩固练习】
一、选择题
1. 用数学归纳法证明1+++…+1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（ ）
A.1<2 B.1+<2
C.1++<2 D.1+<2
2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
3．满足1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=3n2－3n+2的自然数n等于（ ）．
A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4
4. 用数学归纳法证明“≥,(n∈N+)”时，由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（ ）
A.
B.
C.
D.
5．记凸k边形的内角和为，则凸（k+1）边形的内角和________．
A． B． C． D．
6．某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：
（1）当n=1时，S1=a1显然成立．
（2）假设当n=k时，公式成立，即，当n=k+1时，

．
∴n=k+1时公式成立．
由（1）、（2）知，对n∈N*公式都成立．
以上证明错误的是（ ）．
A．当n取第一个值1时，证明不对
B．归纳假设的写法不对
C．从n=k到n=k+1时的推理中未用归纳假设
D．从n=k到n=k+1时的推理有错误
7．某个命题与自然数有关,若时得命题成立,那么可推得时命题也成立.现在已知当时,命题不成立,那么可推得( )
A．时命题不成立　　　　　B．时命题成立
C. 时命题不成立　　　　　D．时命题成立
二、填空题
8．用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2（n∈N*）”时，第一步的验证为________．
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），试归纳猜想Sn的表达式为________．
10.设，则除以20的余数为 。
11.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是
三、解答题
12. 用数学归纳法证明: n∈N*时,++…+=.
13.求证：能被6 整除.

14.已知n为正整数.用数学归纳法证明：当x＞-1时，(1+x)n≥1+nx.

15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.
（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.

【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】n=2时，左边=1++，右边=2.所以应证1++<2.
2.【答案】B.
【解析】∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)
＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B.
3．【答案】C
【解析】 当n=1，2，3时满足，当n=4时，左边=1×2+2×3+3×4+4×5=40，
右边=3×42－3×4+2=38。所以左边＞右边。即n=4不满足，故选C。
4. 【答案】C
【解析】思路解析：当n=k时，不等式为≥，
当n=k+1时，
左边=
=,
比较n=k与n=k+1的左边，知应添加的项是.
5．【答案】B
【解析】由凸k边形变为凸（k+1）边形时，增加了一个三角形，故f（k+1）=f（k）+π。
6．【答案】C
【解析】 在此同学的证明过程中，并未使用“假设n=k时，”这个条件，不符合数学归纳法的证明步骤。故选C。
7．【答案】C
【解析】易知原命题的逆否命题为：若时命题不成立，则时命题不成立．
8．【答案】当n=1时，21+1≥12+1+2成立
【解析】 起点是n0=1。
9．【答案】
【解析】 a1=1，，，，S1=1，，，，…，可归纳出。
10.【答案】9
【解析】取，则，被20除余数为9.
11. 【答案】
【解析】求即可
当 n=k时，左边，
n=k+1时，左边,
故左边增加的式子是，即
12. 【解析】
（1）当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.
（2）假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=,
则当n=k+1时, ++…++
=+====,
所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n∈N*等式都成立.

13. 【解析】
. 当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；
. 假设时命题正确，即能被6整除，
∴当时，
，
∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，
能被6整除，即当时命题也正确，
由知命题时都正确.
14. 【解析】
（1）当n=1时，原不等式成立；
当n=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；
（2）假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,则当n=k+1时，
∵x＞-1,∴1+x＞0.于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同时乘以1+x得
(1+x)k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,
即当n=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数n,不等式都成立.
15. 【解析】
（1）∵an=Sn-Sn-1（n≥2）∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）
∵a1=1，∴S1=a1=1.∴S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）.
（2）①当n=1时，S1=1成立.
②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，
当n=k+1时， Sk+1=·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，∴ak+1=，
∴Sk+1=·ak+1==，∴n=k+1时等式也成立，得证.
∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.又∵ak+1=，∴an=.




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