沪教版高中物理选修3-1 2.3 研究电场的能的性质（二）_学案1

研究电场的能的性质（二）

【学习目标】
1．进一步掌握电势、电势差、电势能的概念。
2．进一步掌握电场力做功与电势能、电势差的关系，并会进行有关计算。
3．进一步增强运用力学规律处理电场问题的能力。
【学习重难点】
掌握电场力做功与电势能、电势差的关系，并会进行有关计算。
【学习过程】
一、新知预习
1．牛顿第二定律：物体的加速度与 成正比，与物体的 成反比，加速度的方向与 方向相同。
2．动能定理： 所做的功等于物体动能的 。
3．电场力做功的计算方法
（1）WAB＝qEd，只适用于 ，其中d为沿 方向的位移。
（2）WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场。
4．电势能大小由电场和 决定。电场力做功与电势能变化的关系为W＝ΔEp，电势能与电势的关系Ep＝φq。
5．电势φ＝，是反映电场性质的物理量，其大小与 的选取有关。通常把离场源电荷 的电势规定为零，或把 的电势规定为零。
6．A．B两点间的电势差UAB＝＝φA－φB，其大小与零电势点的选取无关。
7．用电场线和等势面可以形象地研究电场：（1）沿电场线的方向电势逐渐 ；（2）等势面一定与电场线 ，等差等势面越密的地方电场强度 ，反之则 。
8．匀强电场中电势差与场强的关系式： ，其中d为电场中两点间 的距离。电场中场强方向是指 最快的方向。
二、合作探究
（一）电势、电势能、电场力做功的综合分析
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
（1）利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB．
（2）利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场。

图1
（3）利用公式WAB＝qUAB求解。
（4）利用动能定理求解。
例1：为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图1所示。若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1．5×10－4 N，A点电势φA＝100 V。(不计重力)
（1）在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A．B两点的等势线，并标明它们的电势值。
（2）q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？
解析：（1）由平衡条件可知电场力方向与F方向相反、大小相等，又知点电荷带负电，故电场强度方向与电场力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示。E＝＝ N/C＝5×102 N/C，UBA＝φB－φA＝－Ecos α，φB＝φA－Ecos α＝－60 V。
（2）负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为ΔEp＝－qEd＝qUBA＝－3×10－7×(－160) J＝4．8×10－5 J。
答案：（1）见解析图：（2）4．8×10－5 J
（二）电场线、等势面和运动轨迹等方面的综合
带电粒子在电场中运动时，在电场线密处所受电场力大，加速度也大；其速度方向沿轨迹的切线方向或与切线相反的方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧；其速度方向与电场力方向夹角小于90°时电场力做正功，大于90°时电场力做负功。
例2：两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图2中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受电场力的作用，则粒子在电场中( )

图2
A．做直线运动，电势能先变小后变大
B．做直线运动，电势能先变大后变小
C．做曲线运动，电势能先变小后变大
D．做曲线运动，电势能先变大后变小
解析：带负电的粒子受到的电场力垂直电势为0 V的等势面向上，粒子做曲线运动，电场力先做正功后做负功，电势能先变小后变大，故C正确。
答案：C
针对训练：某静电场中的电场线如图3所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法正确的是( )

图3
A．粒子必定带正电荷
B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受电场力的作用
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于在N点的动能
答案：ACD
解析：根据带电粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受电场力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A选项正确。由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点加速度大，B项错误，C选项正确。粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能大，故D选项正确。
（三）等分法确定等势点(等势线)
根据“匀强电场中，任意方向上，平行且相等的两个线段之间的电势差相等”，先确定电势相等的点，画出等势面；根据电场线和等势面的关系，画出电场线。
例3：如图4所示，A．B．C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A．B．C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，试确定场强的方向，并画出电场线。

图4
解析：根据A．B．C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝ V＝6 V。由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B．N两点等电势，BN的连线即为等势线，那么电场线与BN垂直。电场强度的方向为电势降低的方向：斜向下。
答案：见解析




（四）电场中的力学问题分析
带电体在电场中的平衡问题和一般的平衡问题相同，在原有受力分析的基础上增加了电场力，根据带电体在电场中的平衡情况列出平衡方程。当带电体在电场中做加速运动时，可用牛顿运动定律和动能定理求解。
例4：如图5所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各平面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：

图5
（1）小球应带何种电荷及其带电荷量；
（2）小球受到的合外力；
（3）在入射方向上小球运动的最大位移sm。(电场足够大)
解析：（1）作电场线如图（A）所示。由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图（B）所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。由图（B）知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝。

（2）由图（B）知，F合＝＝mg
（3）由动能定理得－F合 sm＝0－mv
所以sm＝＝。
答案：（1）正电荷：：（2）mg：（3）
三、典例分析
1．(等势面、电场线和运动轨迹的综合)如图6所示，虚线A．B．C代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )

图6
A．三个等势面中，a的电势最高
B．带电质点通过P点时电势能较大
C．带电质点通过P点时动能较大
D．带电质点通过P点时加速度较大
答案：BD
解析：由轨迹QP可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以判断P点电势高。由Q到P，电场力做负功，电势能增加，故质点在P点电势能较大，由于P处等势面密集，所以带电质点通过P点时加速度较大。
2．(电势差、电场力做功的计算)如图7所示，A．B．C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－1．73×10－3 J，则该匀强电场的电场强度的大小和方向为( )

图7
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1000 V/m，垂直AB斜向上
D．1000 V/m，垂直AB斜向下
答案：D
解析：把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A．B两点在同一等势面上。因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB即为等势线，电场强度方向应垂直于AB，可见，选项A．B错误；UBC＝＝ V＝－173 V，说明B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m，因此选项D正确，C错误。
3．(电势、电势差、电场力做功的计算)如图8所示，A．B．C．D为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离均为2 cm，已知UAC＝60 V，求：

图8
（1）设B点电势为零，求A．C．D．P点的电势；
（2）将q＝－1．0×10－10 C的点电荷由A移到D，电场力所做的功WAD；
（3）将q＝1．0×10－10 C的点电荷由B移到C，再经过D最后回到P，电场力所做的功WBCDP。
答案：（1）30 V：－30 V：－60 V：0
（2）－9．0×10－9 J：（3）0
解析：（1）由题意可知φP＝φB＝0
UAC＝60 V，UAB＝UBC，所以UAB＝φA－0＝30 V
则φA＝30 V，同理φC＝－30 V，φD＝－60 V
（2）WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－9．0×10－9 J
（3）由于电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，所以做功为WBCDP＝qUBP＝0.
4．(电场中的动力学问题)如图9所示，Q为固定的正点电荷，A．B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，求：

图9
（1）此电荷在B点处的加速度；
（2）A．B两点间的电势差(用Q和h表示)。
答案：（1）3g，方向竖直向上：（2）－
解析：（1）由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m· g。在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上。
（2）从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－。
【达标检测】
题组一：电势、电势能、电场力做功的综合分析
1．关于电势和电势能的说法正确的是( )
A．电荷在电场中电势越高的地方电势能也越大
B．电荷在电场中电势越高的地方，电荷量越大，所具有的电势能也越大
C．在正点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能
D．在负点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能
答案：CD
解析：沿电场线方向电势越来越低，正电荷的电势能越来越小，负电荷的电势能却越来越大。
2．如图10所示，A．B．C为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，A．B电势分别为φa＝5 V、φb＝3 V。下列叙述正确的是( )

图10
A．该电场在c点处的电势一定为4 V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a
答案：C
解析：由于无法确定该电场是否为匀强电场及A．B．C处场强的关系，所以A．B错。正电荷运动到c点受力方向为由a指向c，故D错。
3．等量异号点电荷的连线和中垂线如图11所示，现将一个带负电的试探电荷先从图中的a点沿直线移动到b点，再从b点沿直线移动到c点，则试探电荷在此全过程中( )

图11
A．所受电场力的方向不变
B．所受电场力的大小恒定
C．电势能一直减小
D．电势能先不变后减小
答案：AD
解析：ab线是等量异号点电荷电场的等势线，而合电场的场强方向都是垂直ab线向下的，试探电荷在a→b过程中电场力方向始终竖直向上，与在c点相同，A对；沿ab方向越靠近两点电荷的连线，电场线越密，场强越大，所受电场力越大，B错；从a→b电场力不做功，从b→c电场力做正功，电势能先不变后减小，C错，D对。
4．图12是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧。对矿粉分离的过程，下列表述正确的有( )

图12
A．带正电的矿粉落在右侧
B．电场力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
答案：BD
解析：由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受电场力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受电场力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误；无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受电场力方向偏转，电场力均做正功，选项B正确；电势能均减少，选项C错误，选项D正确。
题组二：电场力、电场线和运动轨迹等方面的综合
5．三个点电荷电场的电场线分布如图13所示，图中A．B两点处的场强大小分别为EA．Eb，电势分别为φA．φb，则( )

图13
A．Ea>Eb，φa>φb B．EaC．Ea>Eb，φa<φb D．Eaφb
答案：C
解析：由题图可知，a点附近的电场线比b点附近的电场线密，所以Ea>Eb，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，a点所在等势面的电势一定低于b点所在的等势面的电势，即φb>φa故选项C正确。
6．一带电粒子沿图14中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )

图4
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案：B
解析：由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小。
7．如图15所示，虚线A．B和c是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φA．φb和φc，且φa＞φb＞φC．一带正电的粒子射入该电场中，其运动轨迹如图中KLMN所示，可知( )

图15
A．粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B．粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C．粒子从K到L的过程中，电势能增加
D．粒子从L到M的过程中，动能减少
答案：AC
解析：根据A．B．C三个等势面的电势关系及带电粒子的运动轨迹可以判断，该电场是正电荷周围的电场，所以粒子从K到L电场力做负功，电势能增加，A．C正确。粒子从L到M 的过程中，电场力做正功，电势能减少，动能增加，B．D错误。
8．如图16为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2．0 J，电场力做的功为1．5 J。则下列说法正确的是( )

图16
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1．5 J
C．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1．5 J
答案：D
解析：本题考查电荷在电场中的运动，从粒子运动的轨迹判断粒子带正电，A项错误；因为电场力做正功，电势能减小，所以B项错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，B点的动能小于A点的动能，C项错误；电场力做正功，机械能增加，所以A点的机械能比B点的机械能要小1．5 J，D项正确 。
题组三：等分法确定等势点、等势线
9．如图17所示，虚线框内为一匀强电场，A．B．C为该电场中的三个点。已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试在该框中作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线。若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功？

图17
答案：见解析
解析：由于电场线与等势面垂直，而且在匀强电场中，电势相等的点的连线必在同一等势面上，所以与等势点连线垂直的线必是电场线。电势相等的点可根据匀强电场的特点，利用等分法来找。因φB＝6 V，φC＝－6 V，由匀强电场的特点知：
BC连线的中点D处的电势必为零；同理，把AC线段等分成三份，在等分点D′处的电势也必为零。连结DD′即为该电场中的一条等势线。根据电场线与等势线垂直，可以画出电场中的电场线，如图中实线所示，由沿场强方向电势降低可确定场强的方向。将一电子从A移到B，电场力做功为：
W＝－eUAB＝－e×(12－6)V＝－6 eV
10．如图18所示，A．B．C．D是匀强电场中一正方形的四个顶点。已知A．B．C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，求：

图18
（1）AC的三等分点F点电势φF；
（2）D点电势φD．
答案：（1）3 V：（2）9 V
解析：（1）UAC＝UAE＋UEF＋UFC＝φA－
φC＝18 V
又UAE＝UEF＝UFC，UFC＝φF－φC
所以φF＝3 V
（2）如图，由题意知φE＝9 V，φF＝3 V，显然B．F两点等电势，D．E两点等电势，故D点电势φD为9 V。
题组四：匀强电场中的力学综合题
11．匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A．B两点，把质量为2×10－9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，电场力做了1．5×10－7 J的正功。求：
（1）A．B两点间的电势差UAB；
（2）A．B两点间的距离；
（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度。
答案：（1）－75 V：（2）1．875 m：（3）5 m/s，方向与电场线同向
解析：（1）WAB＝UAB·q
UAB＝＝ V＝－75 V。
（2）由题意知：场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝＝ m＝1．875 m。
（3）由动能定理有WAB＝mv－mv
解得vB＝5 m/s，方向与电场线同向。
12．如图19所示，匀强电场中有A．B．C三点构成等边三角形，边长均为4 cm，将一带电荷量q＝1．0×10－10 C的正电荷(不计重力)从A点移到C点，电场力做功为－×10－9 J，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为－×10－9 J，那么该电场的场强是多大？

图19
答案：5×102 V/m
解析：把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据WAB＝qUAB可知，B．C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
d＝sin 60°＝4×10－2× m＝2×10－2 m。
A．B两点的电势差UAB＝＝ V＝－10 V。
该电场的电场强度E＝＝ V/m＝5×102 V/m。
13．把一个带正电荷q的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O点，小球质量m＝2 g，悬线长L＝6 cm，两板间距离d＝8 cm，当两板间加上U＝2×103 V的电压时，小球自悬线水平的A点由静止开始向下运动到达O点正下方的B点时的速度刚好为零，如图20所示，以后小球一直在A．B之间来回摆动。取g＝10 m/s2，求小球所带的电荷量。

图20
答案：8×10－7 C
解析：取小球为研究对象，重力mg竖直向下，电场力qE水平向左，绳的拉力为T，在小球由A向B运动的过程中，重力mg对小球做正功，电场力qE对小球做负功，拉力T不做功，根据动能定理mgL－qEL＝0，又因为E＝，由以上两式可得：q＝8×10－7 C．