沪教版高中物理选修3-1 5.6 洛伦兹力与现代科技_学案1

洛伦兹力与现代科技

【学习目标】
1．回旋加速器的构造及工作原理，并会应用其原理解决相关问题。
2．了解质谱仪的构造及工作原理。
3．会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题。
【学习重难点】
分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题。
【学习过程】
一、知识储备
（一）回旋加速器
1．使带电粒子获得较高的能量的基本原理是让带电粒子在 中受力被加速。

图1
2．是两个D形金属扁盒，它们之间有一间隙(如图1)。两个D形盒分别与高频电源的两极相连，使间隙中产生 ，加速带电粒子。磁场方向 于D形盒的底面。当带电粒子垂直于磁场方向进入D形盒中，粒子受到洛伦兹力的作用而做 运动，经过 回到D形盒的边缘。间隙中的电场使它获得一次加速。
（二）质谱仪
1．质谱仪是科学研究中用来分析 和测量 的精密仪器。
2．质谱仪的原理示意图如图2所示。

图2
从离子源S加速后，由小孔S1进入一个 ，再经小孔S2进入匀强磁场B′，受 作用做 运动，最后打到显示屏D上。那些原子序数相同而相对原子质量不同的同位素离子，将在显示屏上按质量大小排列成若干条细条状谱线，每一条谱线对应于一定的 ，故称“质谱仪”。
二、合作探究
（一）回旋加速器
[问题设计]
1．回旋加速器主要由哪几部分组成？回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？
答案 两个D形盒 磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速。
2．对交流电源的周期有什么要求？带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？
答案 交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期。
当带电粒子速度最大时，其运动rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm。
[要点提炼]
1．洛伦兹力永远不做功，磁场的作用是让带电粒子“转圈圈”，电场的作用是加速带电粒子。
2．两D形盒窄缝所加的是与带电粒子做匀速圆周运动周期相同的交流电，且粒子每次过窄缝时均为加速电压。
3．带电粒子获得的最大动能Ekm＝，决定于 和
[延伸思考]
为什么带电粒子加速后的最大动能与加速电压无关呢？
答案 加速电压高时，粒子在加速器中旋转的圈数较少，而加速电压低时，粒子在加速器中旋转的圈数较多，最终粒子离开加速器时的速度与加速电压无关。
（二）质谱仪
[问题设计]
1．如图3所示，是速度选择器的的粒子以速度v从左端进入两极板间，不计粒子的重力。要使粒子匀速通过该区域，粒子的速度应满足什么条件？

图3
答案 粒子受电场力和洛伦兹力作用，电场力的方向向下，洛伦兹力的方向向上。当qE＝qvB，即v＝时粒子做匀速直线运动。
2．阅读教材，总结质谱仪的构造和各部分的作用，并简述质谱仪的工作原理。
答案 质谱仪主要由以下几部分组成：离子源、加速电场U1．速度选择器(U2，B1)、偏转磁场B2及照相底片。
工作原理：在加速电场中被加速：qU1＝mv2
在速度选择器中匀速通过：q＝qvB1
在偏转磁场中做圆周运动：r＝
由此可求得离子的质量：m＝
通过前两式也可求得离子的比荷：＝。
[要点提炼]
1．速度选择器中存在正交的电场和磁场，当粒子的速度满足v＝时，粒子能通过速度选择器，粒子的速度 于或 于，均不能通过速度选择器。
2．速度选择器适用于 电荷。
3．速度选择器中的 的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对速度做出选择。
（三）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的分析
[要点提炼]
1．圆心的确定方法：两线定一点
（1）圆心一定在垂直于速度的直线上。
如图4甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。

图4
（2）圆心一定在弦的中垂线上。
如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心。
2．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形。做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形。
3．粒子在磁场中运动时间的确定
（1）粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。
（2）当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。
三、典例分析
（一）对回旋加速器原理的理解
例1 回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q、质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax。求：
（1）粒子在盒内做何种运动；
（2）所加交变电流频率及粒子角速度；
（3）粒子离开加速器时的最大速度及最大动能。
解析 （1）带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。
（2）粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为T＝，回旋频率f＝＝，角速度ω＝2πf＝。
（3）由牛顿第二定律知＝qBvmax
则vmax＝
最大动能Ekmax＝mv＝
答案 （1）匀速圆周运动 （2） （3）
方法点拨 回旋加速器中粒子每旋转一周被加速两次，粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关。
（二）对质谱仪原理的理解
例2 如图5是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2．平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场。下列表述正确的是( )

图5
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
解析 根据Bqv＝，C正确；在磁场中，B0qv＝m，得＝，半径r越小，比荷越大，D错误；同位素的电荷数一样，质量数不同，在速度选择器中电场力向右，洛伦兹力必须向左，根据左手定则，可判断磁场方向垂直纸面向外，A．B正确。
答案 ABC
（三）带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题
例3 如图6所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间。

图6
解析 过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示。由直角三角形OPN知，
电子运动的半径为r＝＝d①
由牛顿第二定律知qvB＝m②
联立①②式解得m＝
电子在无界磁场中运动的周期为
T＝·＝
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝
答案
四、课堂小结

五、课堂检测
1．(对回旋加速器原理的理解)在回旋加速器中( )
A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋
B．电场和磁场同时用来加速带电粒子
C．磁场相同的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大
D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关
答案 AC
解析 电场的作用是使粒子加速，磁场的作用是使粒子回旋，故A选项正确，B选项错误；粒子获得的动能Ek＝，对同一粒子，回旋加速器的半径越大，粒子获得的动能越大，与交流电压的大小无关，故C选项正确，D选项错误。
2．(对质谱仪原理的理解)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图7所示，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x，可以判断( )

图7
A．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小
C．只要x相同，则离子质量一定相同
D．只要x相同，则离子的比荷一定相同
答案 AD
解析 由动能定理qU＝mv2。离子进入磁场后将在洛伦兹力的作用下发生偏转，由圆周运动的知识，有：x＝2r＝，故x＝ ，分析四个选项，A．D正确，B．C错误。
3．(带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题)如图8所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点(图中未画出)时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则( )

图8
A．该粒子带正电
B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝
D．运动过程中粒子的速度不变
答案 BC
解析 根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A项错；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D项错；粒子做圆周运动的半径r＝，周期T＝，从O点到A点速度的偏向角为60°，即运动了T，所以由几何知识求得点A与x轴的距离为，粒子由O到A经历时间t＝，B．C两项正确。
【达标检测】
题组一 回旋加速器原理的理解
1．回旋加速器是利用较低电压的高频电源，使粒子经多次加速获得巨大速度的一种仪器，工作原理如图所示。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动
B．粒子由A0运动到A1比粒子由A2运动到A3所用时间少
C．粒子的轨道半径与它被电场加速的次数成正比
D．粒子的运动周期和运动速率成正比
答案 A
解析 由于粒子在磁场中只受洛伦兹力，且洛伦兹力与运动方向垂直，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动，A正确；
由T＝可知粒子在磁场中运动的周期与半径无关，故粒子由A0运动到A1与粒子由A2运动到A3所用时间相等，B错误；
由nqU＝mv2和R＝可得，R＝ ，n为加速次数，所以粒子的轨道半径与它被电场加速的次数的平方根成正比，C错误；
由T＝可知粒子在磁场中运动的周期与速率无关，D错误；故选A．
2．如图所示，回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得较大动能的装置，其核心部分是两个D型金属盒，置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。下列说法正确的有( )
A．粒子被加速后的最大速度随磁感应强度和D型盒的半径的增大而增大
B．粒子被加速后的最大动能随高频电源的加速电压的增大而增大
C．高频电源频率由粒子的质量、电荷量和磁感应强度决定
D．粒子从磁场中获得能量
答案 AC
解析 当粒子从D形盒中出来时速度最大，由qvmB＝m其中R为D型盒的半径，得vm＝，可见最大速度随磁感应强度和D型盒的半径的增大而增大，A正确；粒子被加速后的最大动能Ekm＝mv＝m()2B2R2与高频电源的加速电压无关，B错误；高频电源频率与粒子在磁场中匀速圆周运动的频率相同，则f＝，可见频率由粒子的质量、电荷量和磁感应强度决定，C正确；洛伦兹力不做功，所以粒子从电场中获得能量，D错误；故选A．C．
3．用回旋加速器分别加速α粒子和质子时，若磁场相同，则加在两个D形盒间的交变电压的频率应不同，其频率之比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 解决本题的关键是知道回旋加速器中，加速电场的变化周期与粒子在磁场中运动的周期相等。
带电粒子在磁场中的运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，又v＝，所以在磁场中运动的周期T＝，因此α粒子和质子在磁场中运动的周期之比为＝·＝，因为在回旋加速器中，加速电场的变化周期与粒子在磁场中运动的周期相等，故加在两个D形盒间的交变电压的频率之比为＝＝，所以选D．
题组二 对质谱仪原理的理解
4．速度相同的一束粒子(不计重力)由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列相关说法中正确的是( )
A．该束带电粒子带正电
B．速度选择器的P1极板带负电
C．能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于EB1
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，粒子的比荷越大
答案 AD
解析 由带电粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹和左手定则可知该束带电粒子带正电，A选项正确；在速度选择器中，带正电的粒子受向下的磁场力，则必受向上的电场力，所以上极板带正电，B选项错误；由于在速度选择器中粒子做匀速直线运动，所以qvB1＝qE，v＝，C选项错误；带电粒子由左端射入质谱仪后做匀速圆周运动，由qvB2＝m，解得＝＝，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，R越小，而E、B1．B2不变，所以粒子的比荷越大，D选项正确。
5．如图所示为质谱仪测定带电粒子质量的装置示意图。速度选择器(也称滤速器)中场强E的方向竖直向下，磁感应强度B1的方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外。在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中，若m甲＝m乙A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙
C．丙丁乙甲 D．丁甲丙乙
答案 B
解析 四种粒子，只有两个粒子通过速度选择器，只有速度满足v＝，才能通过速度选择器，所以通过速度选择器进入磁场的粒子是乙和丙，乙的质量小于丙的质量，根据公式Bqv＝m可得乙的半径小于丙的半径，则乙打在P3位置，丙打在P4位置，甲的速度小于乙的速度，即小于，洛伦兹力小于电场力，粒子向下偏转，打在P1位置，丁的速度大于v＝，洛伦兹力大于电场力，粒子向上偏转，打在P2位置，故B正确，
6．如图所示为质谱仪的原理图。利用这种质谱仪可以对氢元素进行测量。氢元素的各种同位素，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的加速电场，可以认为从容器出来的粒子初速度为零。粒子被加速后从小孔S2进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在照相底片D上，形成A．B．C三条质谱线。关于氢的三种同位素进入磁场时速率的排列顺序和三条谱线的排列顺序，下列说法中正确的是( )
A．进磁场时速率从大到小的排列顺序是氕、氘、氚
B．进磁场时速率从大到小的排列顺序是氚、氘、氕
C．A．B．C三条谱线的排列顺序是氕、氘、氚
D．A．B．C三条谱线的排列顺序是氘、氚、氕
答案 A
解析 根据qU＝mv2得，v＝ 。比荷最大的是氕，最小的是氚，所以进入磁场速率从大到小的顺序是氕、氘、氚。故A正确，B错误。进入偏转磁场有Bqv＝m，R＝＝ ，氕比荷最大，则轨道半径最小，c对应的是氕，氚比荷最小，则轨道半径最大，a对应的是氚。故C．D错误； 故选A．
题组三 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
7．如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。不计重力的影响。由这些条件可知( )
A．不能确定粒子通过y轴时的位置
B．不能确定粒子速度的大小
C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间
D．以上三个判断都不对
答案 D
解析 带电粒子以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故带电粒子一定在磁场中运动了周期，从y轴上距O为x0处射出，回旋角为90°，由r＝可得v＝＝，可求出粒子在磁场中运动时的速度大小，另有T＝＝，可知粒子在磁场中运动所经历的时间，故选D．
8．空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示的正方形虚线为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是( )
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
答案 BD
解析 由于粒子比荷相同，由r＝可知速度相同的粒子运动半径相同，运动轨迹也必相同，B正确。对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子的轨迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T＝知所有粒子在磁场运动周期都相同，A．C皆错误。再由t＝T＝可知D正确。故选B．D．
9．有一带电荷量为＋q，质量为m的带电粒子，沿如图所示的方向，从A点沿着与边界夹角30°、并且垂直磁场的方向，进入到磁感应强度为B的匀强磁场中，已知磁场的上部没有边界，若离子的速度为v，则该粒子离开磁场时，距离A点的距离( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 带电粒子将在磁场中做匀速圆周运动，粒子从O点离开磁场，如图所示：

由对称性，OA所对应的圆心角为60°。由Bqv＝得R＝，OA间的距离x＝R＝，所以选项A正确。
10．如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中的运动时间之比为( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶2∶1 D．∶∶1
答案 C
解析 如图所示，设带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心为O，由几何关系知，圆弧所对应的粒子运动的时间t＝＝＝·＝，因此，同种粒子以不同速率射入磁场，经历时间与它们的偏角α成正比，即t1∶t2∶t3＝90°∶60°∶30°＝3∶2∶1．

11．长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度答案 AB
解析 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝(r1－)2＋l2
又r1＝，
所以v1＝
粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝
综合上述分析可知，选项A．B正确。
12．如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有( )
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
答案 BC
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv0B＝，所以r＝，当带电粒子从不同方向由O点以速度v0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O点2r的距离，即OA＝2r，落在A点的粒子从O点垂直入射，其他粒子则均落在A点左侧，若落在A点右侧则必须有更大的速度，选项B正确。若粒子速度虽然比v0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A点左侧，选项A错误。若粒子落在A点左右两侧d的范围内，设其半径为r′，则r′≥，代入r＝，r′＝，解得v≥v0－，选项C正确，D错误。
13．如图所示，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）穿过第一象限的时间。
答案 （1） （2）
解析 （1）作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：
Rcos 30°＝a，得：R＝
Bqv＝m得：B＝＝。
（2）运动时间：t＝×＝。
14．如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在纸面向外。某时刻在x＝l0、y＝0处，一质子沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x＝－l0、y＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。不考虑质子与α粒子的相互作用，设质子的质量为m，电荷量为e。则：
（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？
答案 （1）eBl0/2m
（2）eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为
解析 （1）质子的运动轨迹如图所示，其圆心在x＝l0/2处，其半径r1＝l0/2．
又r1＝mv/eB，可得v＝eBl0/2m。

（2）质子从x＝l0处到达坐标原点O处的时间为tH＝TH/2，又TH＝2πm/eB，可得tH＝πm/eB．
α粒子的周期为Tα＝4πm/eB，可得tα＝Tα/4
两粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系得rα＝l0，又2evαB＝，解得
vα＝eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为。