2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市香坊区旭东中学八年级（下）期中数学试卷（人教五四学制） 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市香坊区旭东中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
2．直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
4．已知?ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．160° C．80° D．60°
5．下列说法错误的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣
8．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（　　）

A．32 B．28 C．30 D．36
9．小萍要在一幅长是90厘米、宽是40厘米的风景画四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度是x厘米，根据题意所列方程是（　　）

A．（90+x）（40+x）54%＝90×40
B．（90+2x）（40+2x）54%＝90×40
C．（90+x）（40+2x）54%＝90×40
D．（90+2x）（40+x）54%＝90×40
10．如图，BD为?ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为　 　．
12．一元二次方程x2＝4的解是　 　．
13．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是　 　．

14．Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝3，BC＝4．则CD＝　 　．
15．如图，E为?ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠A的度数为　 　．

16．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价　 　元．
17．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
18．菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，点P是菱形ABCD内一点，PB＝PD＝3，则AP的长为　 　．
19．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　 　．

20．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，过点C作CE⊥BD，交AB于点E，点F在BC上，AF交CE于点G，且AG＝GF＝CF，BD＝，则线段AB的长为　 　．

三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解下列方程：
（1）x2﹣6x+9＝0；
（2）x2﹣4x＝12；
（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣10．
22．如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一边的等腰Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为5；
（2）在 （1）的条件下，直接写出△ABC的周长是　 　．

23．如图，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我国领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/时的速度向西北方向航行，我国渔政船立即沿北偏东60°方向航行，2小时后，在我国领海区域的C处截获可疑渔船，求渔政船的航行速度（结果保留根号）．

24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．

25．六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？
26．已知正方形ABCD，M是直线BC上的一点，过点B作BE⊥DM于点E，交直线CD于点F，过点F作FG∥BC交直线BD于点G．
（1）如图1，点M在线段BC上时，直接写出FG、MC、AD之间的数量关系　 　；
（2）如图2，点M在线段BC的延长线上时，求证：FG+MC＝BC；
（3）如图3，过点E作EN⊥BD于点N，连接AN，若S△EFD＝DF2，AB＝4，求AN的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，B（2，0），点A在y轴正半轴上，AB＝2．
（1）直接写出A点坐标　 　；
（2）将△AOB沿x轴正方向平移，得到△DEC，点A对应点D，点B对应点C，点O对应点E．连接AD，作∠BAD的平分线，交射线DC于点F，设E点的横坐标为t，线段CF的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在 （2）的条件下，当点F在线段DC上时，AF与DE交于点G，连接EF，若∠DFE﹣∠BAF＝45°，求此时t的值，并判断坐标平面内是否存在一点M，使以点A、D、G、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．



2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市香坊区旭东中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
【分析】首先判断是否是整式方程，如果是整式方程，化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．
【解答】解：A、含有2个未知数，故错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，故错误；
C、为分式方程，故错误；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确；
故选：D．
2．直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【分析】根据直角三角形的两条直角边的长为6和8，利用勾股定理即可求出其斜边的长．
【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为6和8，
∴它的斜边长＝＝10．
故选：A．
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、82+152＝172，能构成直角三角形；
B、32+42＝52，能构成直角三角形；
C、42+82≠92，不能构成直角三角形；
D、92+402＝412，能构成直角三角形．
故选：C．
4．已知?ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．160° C．80° D．60°
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故选：C．

5．下列说法错误的是（　　）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的判定、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，正确．
B、三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半，正确．
C、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形．
D、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确．
故选：C．
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜．
故选：B．
8．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（　　）

A．32 B．28 C．30 D．36
【分析】连接BD交EF于O，由折叠的性质得出BD⊥EF，BO＝DO，OE＝OF＝EF＝，设BC＝x，BD＝＝，则BO＝，易证△BOF∽△BCD，得出＝，求出BC＝8，即可得出结果．
【解答】解：连接BD交EF于O，如图所示：
∵折叠纸片使点D与点B重合，折痕为EF，
∴BD⊥EF，BO＝DO，OE＝OF＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设BC＝x，
BD＝＝，
∴BO＝，
∵∠BOF＝∠C＝90°，∠CBD＝∠OBF，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
即：＝，
解得：x＝8，
∴BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝4×8＝32，
故选：A．

9．小萍要在一幅长是90厘米、宽是40厘米的风景画四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度是x厘米，根据题意所列方程是（　　）

A．（90+x）（40+x）54%＝90×40
B．（90+2x）（40+2x）54%＝90×40
C．（90+x）（40+2x）54%＝90×40
D．（90+2x）（40+x）54%＝90×40
【分析】本题可根据题意运用面积公式列出方程，再进行化简即可得出本题的答案．
【解答】解：依题意得：
（2x+90）（2x+40）×54%＝90×40．
故选：B．
10．如图，BD为?ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF＝90°，
而∠BHE+∠CBF＝90°，
∴∠BHE＝∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH＝CD，CE＝EH，
∵点H不是DE中点
∴BE＝ED≠2EC，所以①错误；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AB＝BH，所以③正确；
∵∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，
所以④错误；
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为　2　．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴|a|＝2，a+2≠0，
解得，a＝2．
故答案为：2．
12．一元二次方程x2＝4的解是　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
13．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是　8　．

【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA＝AC，∠BAC＝∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，
∴AC＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，OB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴该菱形的面积是：AC?BD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
14．Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝3，BC＝4．则CD＝　　．
【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC根据勾股定理即可求AB的长度，根据面积法即可求CD的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
AC＝3，BC＝4，则AB＝＝5，
△ABC的面积S＝AC?BC＝AB?CD
解得CD＝，
故答案为．
15．如图，E为?ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠A的度数为　115°　．

【分析】根据四边形内角和360°求出∠C度数，再借助平行四边形的性质可知∠A＝∠C即可得到结果．
【解答】解：在四边形BCDE中，∠E＝65°，∠EBC＝∠EDC＝90°，
所以∠C＝360°﹣65°﹣90°﹣90°＝115°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝115°．
故答案为115°．
16．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价　2　元．
【分析】设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝900，列出方程，求出x的值，再为了减少库存，计算得到降价多的数量即可得出答案．
【解答】解：设每件应降价x元，根据题意，得：
（32﹣x）（20+5x）＝900
解方程得 x＝2或x＝26，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝26不合题意舍去，
所以每件服装应降价2元；
故答案为：2．
17．有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了　20　个人．
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有（1+x）人患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）人，然后根据第二次被传染的有420人就可以列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得x（1+x）＝420，
∴x2+x﹣420＝0，
∴（x+21）（x﹣20）＝0
∴x1＝20，x＝﹣21（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给20个人．
故答案为：20．
18．菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，点P是菱形ABCD内一点，PB＝PD＝3，则AP的长为　3或6　．
【分析】分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．
【解答】解：设AC和BE相交于点O．
当P在OA上时，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝9，OB＝OD＝BD＝．
则AO＝＝＝．
在直角△OBP中，OP＝＝＝．
则AP＝OA﹣OP﹣＝3；
当P在OC上时，AP＝OA+OP＝＝6．
故答案是：3或6．

19．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　5　．

【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
【解答】解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故答案为：5．
20．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，过点C作CE⊥BD，交AB于点E，点F在BC上，AF交CE于点G，且AG＝GF＝CF，BD＝，则线段AB的长为　　．

【分析】连接AC交BD于O，BD交AF于M，连接GO，CM，CE交BD于点N．利用全等三角形的性质证明OC＝CM，∠ACG＝∠GCM，作GK⊥CM交CM的延长线于K，作GJ⊥AC于J．则有GJ＝GK，可得＝＝，推出＝＝，推出AG＝2GM，证明△MOG≌△MBF（AAS），可得OG＝BF＝GM＝FM，设GM＝k，则GM＝BF＝MF＝OG＝k，AG＝FG＝CF＝2k，利用勾股定理构建方程组即可解决问题．
【解答】解：连接AC交BD于O，BD交AF于M，连接GO，CM，CE交BD于点N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∵AG＝GF＝CF，
∴∠FCG＝∠FGC，OG∥CF，
∴∠OGC＝∠FCG＝∠FGC，
∵CE⊥BD，
∴∠GNO＝∠GNM＝90°，
∵GN＝GN，
∴△GNO≌△GNM（ASA），
∴ON＝NM，OG＝GM，
∵∠CNO＝∠CNM＝90°，CN＝CN，
∴△CNO≌△CNM（SAS），
∴∠OCN＝∠MCN，OC＝MC＝AC，
∴GC平分∠ACM，作GK⊥CM交CM的延长线于K，作GJ⊥AC于J．则有GJ＝GK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AG＝2GM，
∵AG＝GF，
∴GM＝MF，
∵∠MOG＝∠MBF，∠OMG＝∠BMF，
∴△MOG≌△MBF（AAS），
∴OG＝BF＝GM＝FM，设GM＝k，则GM＝BF＝MF＝OG＝k，AG＝FG＝CF＝2k，
∴BC＝3k，
在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，
∴（4k）2＝k2+AB2①，
在Rt△ABC中，∵AC2＝BC2+AB2，AC＝BD＝，
∴（）2＝（3k）2+AB2②，
由①②可得AB＝．
故答案为．
三．解答题（共7小题）
21．解下列方程：
（1）x2﹣6x+9＝0；
（2）x2﹣4x＝12；
（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）根据十字相乘法即可求解；
（3）根据提公因式法即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝0
（x﹣3）2＝0
x﹣3＝0
∴x1＝x2＝3；
（2）x2﹣4x＝12
x2﹣4x﹣12＝0
（x+2）（x﹣6）＝0
x+2＝0或x﹣6＝0
∴x1＝﹣2，x2＝6；
（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣10
3x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0
（2x﹣5）（3x﹣2）＝0
2x﹣5＝0或3x﹣2＝0
∴x1＝，x2＝．
22．如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一边的等腰Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为5；
（2）在 （1）的条件下，直接写出△ABC的周长是　2+2　．

【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合三角形面积求法得出答案；
（2）直接利用勾股定理和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；

（2）∵AB＝＝2，AC＝BC＝＝，
∴△ABC的周长为：2+2，
故答案为：2+2，

23．如图，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我国领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/时的速度向西北方向航行，我国渔政船立即沿北偏东60°方向航行，2小时后，在我国领海区域的C处截获可疑渔船，求渔政船的航行速度（结果保留根号）．

【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD中求得AC的长度，即可求出渔政船的航行速度．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝20×2＝40（海里），∠CBD＝45°，
∴CD＝BC?sin45°＝40×＝20（海里），
则在Rt△ACD中，
AC＝＝40（海里），
则渔政船的航行速度为40÷2＝20海里/时．

24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；
（2）利用三角形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：在△ABF与△DEC中
∵D是BC中点，
∴BD＝CD

∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△ABF与△DEC中
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴ED＝FD，
∵BD＝CD
∴四边形BFEC是平行四边形；
（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．
25．六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？
【分析】（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10件”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，然后根据月销售利润＝每件的利润×销售的数量列出方程并解答；
（2）设销售单价定为a元，根据“在月销售成本不超过10000元”列出不等式，并解答．
【解答】解：（1）设销售单价应定为x元，
由题意，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得x1＝60，x2＝80，
∵尽可能让利消费者，
∴x＝60．
答：消费单价应定为60元．

（2）设销售单价定为a元，
由题意，得40[500﹣10（a﹣50）]≤10000，
解得a≥75
答：销售单价至少定为75元．
26．已知正方形ABCD，M是直线BC上的一点，过点B作BE⊥DM于点E，交直线CD于点F，过点F作FG∥BC交直线BD于点G．
（1）如图1，点M在线段BC上时，直接写出FG、MC、AD之间的数量关系　FG＝MC+AD　；
（2）如图2，点M在线段BC的延长线上时，求证：FG+MC＝BC；
（3）如图3，过点E作EN⊥BD于点N，连接AN，若S△EFD＝DF2，AB＝4，求AN的长．

【分析】（1）结论：FG＝MC+AD．证明△BCF≌△DCM（AAS）即可解决问题．
（2）证明△BCF≌△DCM（AAS），利用全等三角形的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作AR⊥BD于R，EH⊥CD于H，取DF的中点T，连接TE．首先证明∠CDM＝15°，推出∠DBE＝30°即可解决问题．
【解答】（1）解：结论：FG＝MC+AD．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵BE⊥DM，
∴∠BEM＝90°，
∴∠EBM+∠BME＝90°，∠EBM+∠BFC＝90°，
∴∠BME＝∠BFC．又∵∠BCF＝∠DCM＝90°，BC＝CD，
∴△BCF≌△DCM（AAS），
∴FC＝CM．
又∵GF∥BC，
∴∠DGF＝∠DBC＝45°＝∠BDC，
∴GF＝DF，
∴FG＝CD+CF＝AD+CM．
故答案为：FG＝MC+AD．

（2）证明：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵BE⊥DM，
∴∠BEM＝90°，
∴∠EBM+∠M＝90°，∠EBM+∠BFC＝90°，
∴∠M＝∠BFC．又∵∠BCF＝∠DCM＝90°，BC＝CD，
∴△BCF≌△DCM（AAS），
∴FC＝CM．
又∵GF∥BC，
∴∠DGF＝∠DBC＝45°＝∠BDC，
∴GF＝DF，
∴FG+MC＝DF+CF＝CD＝BC．

（3）如图3中，作AR⊥BD于R，EH⊥CD于H，取DF的中点T，连接TE．

∵S△DEF＝?DF?EH＝DF2，
∴EH＝DF，即DF＝4EH，
∵∠DEF＝90°，DT＝TF，
∴TE＝DF＝DT＝TF，
∴TE＝2EH，
∴∠ETH＝30°，
∵TD＝TE，
∴∠TDE＝∠TED，
∵∠ETH＝∠TDE+∠TED，
∴∠EDT＝15°，
∵△BCF≌△DCM，
∴∠CBF＝∠CDM＝15°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠EBN＝30°，
∵BE⊥DM，
∴BE＝BD?cos30°＝8×＝4，BN＝BE?cos30°＝6，
∵AR⊥BD，AB＝4，∠ABR＝45°，
∴AR＝BR＝4，
∴NR＝2，
∴AN＝＝＝2．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，B（2，0），点A在y轴正半轴上，AB＝2．
（1）直接写出A点坐标　（0，4）　；
（2）将△AOB沿x轴正方向平移，得到△DEC，点A对应点D，点B对应点C，点O对应点E．连接AD，作∠BAD的平分线，交射线DC于点F，设E点的横坐标为t，线段CF的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在 （2）的条件下，当点F在线段DC上时，AF与DE交于点G，连接EF，若∠DFE﹣∠BAF＝45°，求此时t的值，并判断坐标平面内是否存在一点M，使以点A、D、G、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△AOB中，解直角三角形求出OA即可解决问题；
（2）首先证明AD＝DF＝t，分两种情形：①当点F在线段CD上时，CF＝CD﹣DF；当点F在CD的延长线上时，CF＝DF﹣CD；
（3）首先证明当四边形ADEO是正方形时，满足条件：∠DFE﹣∠BAF＝45°，求出直线AF的解析式，可得点G坐标，再利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵B（2，0），
∴OB＝2，
在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝＝4，
∴A（0，4），
故答案为（0，4）．

（2）如图1中，

由题意E（t，0）．
∵OA∥DE，OA＝DE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∵∠AOE＝90°，
∴四边形AOED是矩形，
∴AD＝OE＝t，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF＝t，
∵AB＝CD＝2，
∴当点F在线段CD上时，CF＝CD﹣DF＝2﹣t，
当点F在CD的延长线上时，CF＝DF﹣CD＝t﹣2．

（3）如图，

当四边形OADE是正方形时，由（2）可知：DA＝DE＝DF，
∴A，E，F在以D为圆心，DA为半径的圆上，
∴∠AFE＝∠ADE＝45°，
∴∠DFE﹣∠BAF＝∠DFE﹣∠AFD＝∠AFE＝45°，
∴当四边形ADEO是正方形时，满足条件：∠DFE﹣∠BAF＝45°，
此时OE＝OA＝4，
∴t＝4，E（4，0），
设直线AF交x轴于K．
∵AD∥BK，AK平分∠DAB，
∴∠BAK＝∠DAK＝∠AKB，
∴AB＝BK＝2，
∴OK＝2+2，
∴直线AK的解析式为y＝x+4，
∴G（4，2+2），
∵以点A，D，G，M为顶点的四边形是平行四边形，
∴M1（0，2+2），M2（8，6﹣2），M3（0，6﹣2）．