人教版 数学八年级下册 18．2．3 正方形同步检测（有答案）

正方形
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：

（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
5．如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC、BD相交于点O，将AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长为( )

A．20 B．24 C．12 D．12
6．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（　　）

A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60° D．AB＝AF
9．如图，在长方形中，，分别为，边上的点，为的中点，且，，，，则的长为（ ）

A．5 B．10 C．25 D．20
10．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是( )

A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等
B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形
D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形
11．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为( )

A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
12．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________．

14．如图，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝AC，则∠BAE＝_____．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝_____．

16．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_____cm．

17．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为____．

18．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于_______．

19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是______．

20．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．

三、解答题
21．如图，正方形ABCD内的△BEC为正三角形，求∠DEA的度数．

22．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．

23．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
24．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．
（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB=2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．

25．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.
(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.

26．已知：?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DP∥OC且DP＝OC，连接CP．得到四边形CODP．
（1）如图（1），在?ABCD中，若∠ABC＝90°，判断四边形CODP的形状，并证明；
（2）如图（2），在?ABCD中，若AB＝AD，判断四边形CODP的形状，并证明；
（3）如图（3），在?ABCD中，若∠ABC＝90°，且AB＝AD，判断四边形CODP的形状，不需证明．



答案
1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B
9．A 10．B 11．C 12．C
13．150 14．67.5° 15． 16．5 17．4-2
18． 19． 20．． 21．150°．
22．证明见解析.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB﹣AE′=CD﹣CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．

24．解：（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：
四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠AEB=90°，
∴∠BGA=90°，
∴BE⊥AF；
（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF=，
∵S△ADF=AD×FD=AD×DN，
∴DN=，
∵△BAE≌△ADF，
∴S△BAE=S△ADF，
∵BE=AF，
∴AG=DN，
又∵∠AGE=∠DME，∠AEG=∠DEM
∴△AEG≌△DEM（AAS），
∴AG=DM，
∴DN=DM，
∵DM⊥BE，DN⊥AF，
∴GD平分∠MGN，
∴∠DGN=∠MGN=45°，
∴△DGN是等腰直角三角形，
∴GD=DN=．

25．(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE
∴△ADG≌△ABE
∴∠AGD＝∠AEB

如图1，延长EB交DG于点H
△ADG中 ∠AGD＋∠ADG＝90°
∴∠AEB＋∠ADG＝90°
△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°
∴∠DHE ＝90°
∴
(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE

∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG
∴∠DAG＝∠BAE
AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE
∴△ADG≌△ABE(SAS)
∴DG＝BE
如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M,
∠AMD＝∠AMG＝90°
BD是正方形ABCD的对角线
∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2
∴AM＝BD＝1
在Rt△AMG中，
∵
∴GM＝2
∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3
∴BE＝DG＝3
26．（1）四边形CODP是菱形，
证明：∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
?ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴四边形CODP是菱形；
（2）四边形CODP是矩形，
证明：?ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC=90°，
∴四边形CODP是矩形；
（3）四边形CODP是正方形，
证明：∵?ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四边形CODP是正方形．