上海市2019-2020学年度高二数学第二学期抛物线的几何性质典例分析与演练学案（Word版）

上海市2019-2020高二数学第二学期精品讲义
抛物线几何性质典例分析与演练


【知识梳理】　
1.抛物线的定义：
平面上与一个定点和一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程：
（1）焦点在轴上，开口向右的抛物线标准方程为
（2）焦点在轴上，开口向左的抛物线标准方程为
（3）焦点在轴上，开口向上的抛物线标准方程为
（4）焦点在轴上，开口向下的抛物线标准方程为
3.抛物线的几何性质：
（1），顶点坐标为，焦点坐标为.
对称轴为轴，准线方程为.
（2），顶点坐标为，焦点坐标为.
对称轴为轴，准线方程为.
（3），顶点坐标为，焦点坐标为.
对称轴为轴，准线方程为.
（4），顶点坐标为，焦点坐标为.
对称轴为轴，准线方程为.
【课前小练】
1、抛物线的准线方程为，焦点坐标为.
2、经过点的抛物线的标准方程是.
3、若抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为——————————————（）

4、若抛物线上一点的纵坐标为，则点与抛物线焦点的距离为————————————（）

5、抛物线上有一点的横坐标为，它到焦点的距离为，
求抛物线的方程和的坐标.
参考解答：，
6、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上.
剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.
解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），
∵过点（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2.
∴p=或p=.
∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－.
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.
当焦点为（4，0）时，=4，
∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；
焦点为（0，－2）时，=2，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y.
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2.
评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.

【典型例题分析】

例1、已知抛物线上的点到它的准线的距离的最小值为，
⑴求抛物线焦点的坐标；
⑵若过的直线与抛物线交两点，为坐标原点，且斜率之和为，求直线的方程.
参考解答：⑴，⑵




例2、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦，
⑴求证：直线恒过一定点；
⑵求中点的轨迹方程.
参考解答：⑴定点为，⑵








例3、给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值.
解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
==.
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x0=0时，
dmin==a.
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0=a－1时，
dmin=.
例4、过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1.

解：由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1）
=180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF）
=（∠A1AF+∠B1BF）=90°.

例5、设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
剖析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.
证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0.
由韦达定理，得yAyB=－p2，
即yB=－.
∵BC∥x轴，且C在准线x=－上，
∴C（－，yB）.
则kOC====kOA.
故直线AC经过原点O.
证法二：如下图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.

则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N，则==，=.
∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，
∴|EN|===|NF|，
即N是EF的中点.从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.
评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·yB=－p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.
例6、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.
①问△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.
②当△ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围.
解：（1）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x，如下图.

（2）①由题意得，直线AB的方程为
y=－（x－1）.
y=－（x－1），
y2=4x，
解得A（，），B（3，－2），
若△ABC能为正三角形，
设C（－1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，
（+1）2+（－y）2=（3－）2+（2+）2， ①
（3+1）2+（2+y）2=（3－）2+（2+）2. ②
解得y=－.
但y=－不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.
②设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由
y=－（x－1），
x=－1，
即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=－+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.
当|BC|2＞|AC|2+|AB|2，
即28+4y+y2＞－y+y2+，
即y＞时，∠CAB为钝角.
当|AC|2＞|BC|2+|AB|2，
即－y+y2＞28+4y+y2+，
即y＜－时，∠CBA为钝角.
又|AB|2＞|AC|2+|BC|2，即
＞－+y2+28+4y+y2，即
y2+y+＜0，（y+）2＜0.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y＜－或y＞（y≠2）.
【课堂小练】
1、抛物线的准线方程为——————————————————————————————（）

2、抛物线上一点到焦点的距离为，则到轴的距离为————————（）

3、若动点到定点（定点不在定直线上）的距离等于它到直线的距离，则动点的轨迹为抛物线.
4、抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是.
5、已知点，为抛物线焦点，在抛物线上，则使最小时的坐标为.
6、已知抛物线过焦点的一条弦，则.
【课堂总结】
本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：
1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.
2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.
3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.

【课后练习】
1、若点到点的距离比它到定直线的距离小，则点的轨迹方程是——————（）

2、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，
则这样的直线———————————————————————————————————————（）
有且仅有一条 有且仅有两条 有无穷条 不存在
3、已知圆与抛物线的准线相切，则.
4、若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线上，则这个三角形的面积是.
5、已知为抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好
是此抛物线的焦点，则直线的方程为.
6、已知抛物线与直线；
⑴若抛物线与直线无公共点，求的取值范围；
⑵若抛物线上点到直线的距离的最小值为，求值，并求此时抛物线上与距离为的点坐标.
参考解答：⑴，⑵，





7、已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，
且满足，，
⑴当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
⑵过作直线与轨迹交于两点，若在轴上存在一点，使为等边三角形，
求的值.
参考解答：⑴，⑵，






走近高考：

1、圆心在抛物线上的动圆，恒与直线相切，则动圆必过定点—————————（）

2、已知点是抛物线上的动点，点在轴上射影为，点的坐标是，
则的最小值是————————————————————————————————（）

3、抛物线上一点到准线的距离为，则点的坐标为.
4、某抛物线拱桥的跨度是米，中间拱高是米，在建桥时每隔米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高
是米.

消去y，得3x2－10x+3=0.

由

∴

得y=2，