人教A版必修二 第一章空间几何体单元测试题（解析版)

中小学教育资源及组卷应用平台



人教A版必修二第一章空间几何体单元测试题（含解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


评卷人 得分

一、单选题
1．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据三视图判断出平面并计算出的长度，再根据的长度以及勾股定理求解出的长度.
【详解】
由已知三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形．
在△ABC中，AC＝4，AC边上的高为，所以BC＝4.
在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝.
故选：C.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，由此求出它的体积．
【详解】
解：由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；

则该三棱锥的体积为．
故选：．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示：
底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高
故

4．在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥的体积为2.则球O的表面积的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，球的半径为R，因为底面均为直角三角形，故外接球的球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点，如图中O点为三棱柱外接球的球心．根据三棱锥O?ABC的体积为2，可得，接着表示出R，根据基本不等式可得到球的表面积的最小值．
【详解】
如图，在中，

设，则，取的中点分别为则分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为O，则O为的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以.在中，，
所以，当且仅当时取“=”，所以球O的表面积的最小值是，故选B.
5．在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
如图，

延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H，
延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G，
可得截面五边形AHFEG．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，
∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．
∴截面的周长为．
故选D．
6．矩形中，，，沿将三角形折起，得到四面体，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积取到最大值，作，可以求出的大小,这样通过计算可以求出四面体的表面积.
【详解】
在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积取到最大值，作，此时点到平面的距离为，∵，∴，∴，作，，由，可得，∴，∴.同理可得，，∴四面体的表面积为.

7．某几何体的三视图（都是半径为的圆）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由三视图可知，该几何体是半径为的球，因此，该几何体的体积为.
故选：A.
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，
圆锥的底面半径，高，
所以该几何体的体积为：
，故选B．

9．如图所示，三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由于三棱锥中，平面，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：

则体对角线即为外接球的直径，，
所以外接球的半径，
故三棱锥的外接球表面积，
故选：D.
10．某正方体的棱长为，其八个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
一个正方体的顶点都在同一个球面上，可知其体对角线的长度是此球体的直径，先求出直径，进而求出该球的表面积．
【详解】
因为正方体的顶点都在同一个球面上，所以该正方体的对角线的长度是此球体的直径.
设该球的半径为，又正方体的棱长为， 所以， ∴，所以该正方体的外接球的表面积为．
故选：A．


评卷人 得分

二、填空题
11．如图，AB是底面圆O的直径,点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且，点E在线段PB上，则的最小值为________.

【答案】
【解析】
首先求出，即有，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证为中点，从而可求，从而得解．
【详解】
在中，，，
所以，同理，所以，
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，
使之与平面共面，如图所示，

当，，共线时，取得最小值，
又因为，，
所以垂直平分，即为中点，
从而，
亦即的最小值为：，
故答案为.
12．已知四面体的顶点都在同一个球的球面上，，，且，，. 若该三棱锥的体积为，则该球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
将四面体补成长方体，如图，则三棱锥的体积为,球的直径为, 球的表面积为

点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
13．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。
【答案】.
【解析】
由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解．
【详解】
设，，则由面积可得ab=4；
由已知，平面，将三棱锥补形为一个长方体，
则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为、、，则球的直径，
则球的表面积为，因，
故.
故答案为：.
14．如图所示，三棱锥中，、均为等边三角形，，则三棱锥的体积为________.

【答案】
【解析】
根据、均为等边三角形，，可求得的长.结合即可知为正三角形.可证明平面，所以，即可求得.
【详解】
取的中点，连接，如下图所示：

因为三棱锥，
故，
又，所以为正三角形，
又因为，故平面，
故三棱锥的体积为.
故答案为：
15．已知是球面上的四点，且，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.
【答案】
【解析】
计算，的外接圆半径为，得到，解得答案.
【详解】
，故，当时等号成立.
根据正弦定理：，故，即的外接圆半径为.
，故.
故球体积为.
故答案为：.

评卷人 得分

三、解答题
16．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积.
【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

17．如图，已知圆柱的底面半径为，高为.
（1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；
（2）若平行于轴的截面将底面圆周截去四分之一，求圆柱被截得较小部分的体积.

【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）展开的矩形的对角线长为最短路径，计算得到答案.
（2）计算，三棱柱的体积是，计算得到答案.
【详解】
将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是和，
则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长．
连接，因为截面将底面圆周截去，所以.
设圆柱被截得较小部分的体积 ，
依题知，三棱柱的体积是，
则，所以.
【点睛】
本题考查了最短路径，几何体体积，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.

（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;
（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；
（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．
【详解】
（1）
（2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,
则
易知
，即



【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．
19．如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直，、分别是、的中点，，，.

（1）求证：平面；
（2）若是线段上的任意一点，求证：；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据、分别是、的中点，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得平面；
（2）由平面平面，结合面面垂直的性质定理可得平面，可得结合及线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论；
（3）先证明平面，利用三棱锥体积公式即可求解．
【详解】
（1）、分别是、的中点，，
平面，平面，平面；
（2），，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
，，则，，
，平面，平面，平面.
平面，；
（3）平面，，平面.
平面，平面，.
且，，，
所以，三角形的面积为.
因此，三棱锥的体积.
【点睛】
本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（2）的关键是熟练掌握空间线面垂直的判定定理，性质定理及几何特征，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
20．在直四棱柱中，，，，.

（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，交于点，证明，可得出为的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再由直棱柱的定义得出平面，可得出，通过证明平面得出；
（2）计算出四边形的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接，交于点.
因为，，，
所以.
在等腰中，因为是顶角的平分线，所以.
又因为是直四棱柱，平面，
平面，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以；
（2）由（1）可知，，，，所以.
所以四边形的面积，
故四棱锥的体积.

【点睛】
本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了锥体体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
























































21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)