人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像、性质和解析式培优学案（PDF版，附答案）

模块一：二次函数的定义
例1
（1）①④ （2）3 （3）C

模块二：二次函数的图像性质
例2
（1）-√2 （2）a4例3
（1）8，（8，-5） （2）1，-3或1 （3）-1，1或-3
例4
（1）C （2）A （3）m≤1
例5
（1）m=1 （2）n=9 （3）0
例6
（1）B （2）①④ （3）D

模块三：二次函数解析式
例7
（1）y=?x?-20x+19

（2）?









例8
（1）y= 3（x-2）?-2

（2）












例9
（1）

（2）

例10
（1）









（2）




演练一 1、②③ 2、-4 3、m=2
演练二 1、①③② 2、（1，-8）
3、


4、（2,0）（4,0）

演练三 1、4.5 2、3或-5
3、





演练四
1、B 2、m≥8
演练五
1、B 2、9 3、C
演练六
1、

2、

3、


4、



解:抛物线y=ax2+bx+c过(-3,0),(1,0)两点与y
轴的交点为(0,4),
9a-3b+c=0
a+6+c=0
4
解得,
:88一秒
所以,抛物线的解析式为:y
+4;
2
解:根据题意得:
2a
a+6+c=4
25a+5b+c=0
解得:a=-,b=2,c
则二次函数解析式为y=-22+2x
解设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
a+b+c=3
根据题意
2
25a+5b+c=3
计算得出
b
6-52
6
所以二次函数解析式为y2+2x+2
解:根据题意,得
令y=0,则x2-|x|-12=0,从而x=±4
又△APB是等腰直角三角形,可以确定P(0,4)或(0,-4)
把(-4,0),(4,0),(0,4)代入y=ax2+bx+c,得
16a-4b+c=0
16a+4b+c=0,
C
解:
b=0,c=4
把(-4,0),(4,0),(0,-4)代入y=ax2+bx+c,得
16a-4b+c=0
16a+4b+c=0,
4
解得:a
b=0,c=-4
故答家为。1
b=0,c=4或a=
b=0,c=-4
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1
二次函数的图象、性质和解析式
模块一：二次函数的定义
1．定义：一般地，形如 2y ax bx c? ? ? （a，b，c是常数， 0a ? ）的函数，叫做二次函数．其中 x是
自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
注意：二次函数的二次项系数 0a ? ，而 b、c可以为零．
模块二：二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数 2y ax? ( 0)a ? 的性质：
（1）函数 2y ax? 的图象与 a的符号关系．
①当 0a ? 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当 0a ? 时?抛物线开口向下?顶点为其最高点；
③ | |a 决定抛物线的开口大小： | |a 越大，抛物线开口越小； | |a 越小，抛物线开口越大．
（2）抛物线 2y ax? 的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是 0x ? （y轴）．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴 增减性
0a ? 向上 (0, 0) y轴
0x ? 时，y随 x的增大而增大； 0x ? 时，y随 x的
增大而减小； 0x ? 时，y有最小值 0．
0a ? 向下 (0, 0) y轴
0x ? 时，y随 x的增大而减小； 0x ? 时，y随 x的
增大而增大； 0x ? 时，y有最大值 0．
3．二次函数 2 ( 0)y ax c a? ? ? 的性质：
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴 增减性
0a ? 向上 (0, c) y轴
0x ? 时，y随 x的增大而增大； 0x ? 时，y随 x的
增大而减小； 0x ? 时，y有最小值 c．
0a ? 向下 (0, c) y轴
0x ? 时，y随 x的增大而减小； 0x ? 时，y随 x的
增大而增大； 0x ? 时，y有最大值 c．
4．二次函数 2( )y a x h k? ? ? ( 0a ? )的性质：
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴 增减性
0a ? 向上
（h，
k）
x=h
x h? 时，y随 x的增大而增大；x h? 时，y随 x
的增大而减小； x h? 时，y有最小值 k．
0a ? 向下
（h，
k）
x=h
x h? 时，y随 x的增大而减小；x h? 时，y随 x
的增大而增大； x h? 时，y有最大值 k．


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2
5．二次函数 的性质：
配方：二次函数
a的
符号
开口
方向
顶点坐标 对称轴 增减性
向上 （
2
b
a
? ，
24
4
ac b
a
?
）
2
b
x
a
? ?
时，y随 x的增大而增大；
时，y随 x的增大而减小；
时，y有最小值 ．
向下 （
2
b
a
? ，
24
4
ac b
a
?
）
2
b
x
a
? ?
2
b
x
a
? ? 时，y随 x的增大而减小；
2
b
x
a
? ? 时，y随 x的增大而增大；
2
b
x
a
? ? 时，y有最大值
24
4
ac b
a
?
．
注意：二次函数 2y ax bx c? ? ? 与坐标轴的交点：
（1）与 y轴的交点： (0, )c ；
（2）与 x轴的交点：使方程 2 0ax bx c? ? ? 成立的 x值．
模块三：二次函数的解析式
1．一般式：
已知图象上三点 、 、 ，可用一般式求解二次函数解析式．
2．顶点式：
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．
3．交点式：
已知抛物线与 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
4．对称式：
已知抛物线经过点 、 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
注意：
（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
（2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这
三种形式可以互化．

2y ax bx c? ? ? ( 0a ? ?
2
2 2 4( )
2 4
b ac b
y ax bx c a x
a a
?
? ? ? ? ? ?
0a ?
2
b
x
a
? ?
2
b
x
a
? ?
2
b
x
a
? ?
24
4
ac b
a
?
0a ?
2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?
1 1( )x y， 2 2( )x y， 3 3( )x y，
2( ) ( 0)y a x h k a? ? ? ?
1 2( )( )( 0)y a x x x x a? ? ? ?
x
1 2( )( ) ( 0)y a x x x x k a? ? ? ? ?
1( , )x k 2( , )x k
x 2 4 0b ac? ≥
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3


（1）在函数① 2
1
3 1
2
y x x? ? ? ；② 2(3 2)(4 3) 12y x x x? ? ? ? ；③ 2y ax bx c? ? ? （ a、b、c 是常数）；④
2 20y x kx? ? ? （k为常数）；⑤ 2
2
5
6y x
x
? ? ? 中，y关于 x的二次函数是________．（填写序号）

（2）当m ? ________时，函数
22 4( 4) 3m my m x x? ?? ? ? ? 是二次函数．

（3）下列函数关系中，可以看作二次函数 2y ax bx c? ? ? ( 0)a ? 模型的是（ ）
A．圆的周长与半径之间的关系
B．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D．我国人口的自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系










（1）若二次函数 2 2 2y ax bx a? ? ? ? （a，b为常数）的图象如图 2-1，则 a的值为___________．

（2）如图 2-2，抛物线①②③④对应的解析式为 21y a x? ，
2
2y a x? ，
2
3y a x? ，
2
4y a x? ，将 1a 、 2a 、 3a 、
4a 从小到大排列为______．

图 2-1 图 2-2

x
y
O
①
②
③
④
x
y
O
模块一 二次函数的定义 0
例题 1
模块二 二次函数的图象和性质 0
例题 2
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4

（1）抛物线 22 3y x bx? ? ? 的对称轴是直线 2x ? ? ，则 b的值为________，顶点坐标为________．

（2）抛物线 2 2 3 ( 0)y ax ax a a? ? ? ? 的对称轴是直线_______，与 x轴的交点为_______和_______．

（3）二次函数 2 2( 1) 4y x k x? ? ? ? 的顶点在 y轴上，则 k ?______，若顶点在 x轴上，则 k ?_______．

（1）若点
1(2, )A y ， 2( 3, )B y? ， 3(5, )C y 三点在抛物线
2 4y x x m? ? ? 的图象上，则
1y 、 2y 、 3y 的大小关系
是（ ）
A．
1 2 3y y y? ? B． 2 1 3y y y? ? C． 2 3 1y y y? ? D． 3 2 1y y y? ?

（2）已知二次函数 2 4 ( 0)y ax ax c a? ? ? ? ，当自变量 x分别取 2 ，3，0 时，对应的值分别为
1y ， 2y ， 3y ，
则
1y ， 2y ， 3y 的大小关系正确的是（ ）
A．
3 2 1y y y? ? B． 1 2 3y y y? ? C． 2 1 3y y y? ? D． 3 1 2y y y? ?
（3）已知二次函数 2 ( 1) 1y x m x? ? ? ? ? ，当 1x ? 时，y随 x的增大而增大，则 m的取值范围是___．

（1）已知抛物线经过点 ( 2, 7)A ? ， (6, 7)B ， (3, 8)C ? ， ? ?8D m ?， ，则m ? ________．

（2）已知抛物线 2 2 1y x x? ? ? 经过点 ( , )A m n ， ( 6, )B m n? ，则 n ?__________．

（3）已知点
1( , 5)A x ， 2( , 5)B x 是函数
2 3y x mx? ? ? 上两点，则当
1 2x x x? ? 和 x ? ________时的函数值相等．

（1）已知二次函数 2( 3) 1y x? ? ? ．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线 3x ? ；③
其图象顶点坐标为 (3, 1)? ；④当 3x ? 时，y随 x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

（2）对于二次函数 2 2 3( 0)y x mx m? ? ? ? ，有下列说法：
①如果 2m ? ，则 y有最小值 1? ；
②如果当 1x ? 时，y随 x的增大而减小，则 1m ? ；
③如果当 1x ? 时的函数值与 2015x ? 时的函数值相等，则当 2016x ? 时的函数值为 3．
其中正确的说法是________________．（把你认为正确的结论的序号都填上）





例题 3
例题 4
例题 5
例题 6
初中数学提高培优课程 方法·兴趣·努力
5
（3）在同一直角坐标系中，函数 y mx m? ? 和函数 2 2 2y mx x? ? ? ? （m是常数，且 0m ? ）的图象可能．．是
（ ）

A B C D



（1）已知一个二次函数的图象经过 (1,0)A 、 (2,3)B 、 (3,28)C 三点，求此二次函数的解析式．

（2）已知一个二次函数的图象经过 (0, 1)A ? 、 (1,5)B 、 ( 1, 3)C ? ? 三点，求此二次函数的解析式并把二次函
数转化成顶点式．






（1）已知二次函数过点 (0, 1)? ，且顶点为 ( 1, 2)? ，求二次函数的解析式．

（2）已知二次函数的顶点坐标为 (2, 2)? ，且其图象经过点 (3,1) ，求此二次函数的解析式，并求出该函数
图象与 x轴的交点坐标．






（1）若抛物线过 ( 3, 0)? ， (1, 0)，且与 y轴交点为 0 4（，），求二次函数的解析式．

（2）已知二次函数 2y ax bx c? ? ? 的对称轴为 2x ? ，且经过点 (1, 4)、 (5, 0) ，求二次函数的解析式．


DCBA
x
y
Ox
y
Ox
y
OO
y
x
模块三 二次函数的解析式 0
例题 7
例题 8
例题 9
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6

（1）已知二次函数图象经过点 (1, 3)A 、 (0, 2)B 、 (5, 3)C 三点，求此二次函数解析式．

（2）已知函数 2 | | 12y x x? ? ? 的图象与 x 轴交于相异两点 A、B，另一抛物线 过 A、B，顶
点为 P，且 是等腰直角三角形，求 a、b、c．







（1）下列函数：①
2
1
y
x
? ；② ( 1)( 3)y x x? ? ? ；③ 2y x bx c? ? ? （b、c是常数）；④ 2 +3y ax x? ? （a为常
数）；⑤ 2( 1) ( 1)( 1)y x x x? ? ? ? ? ，其中是二次函数的是___________．（填序号）

（2）当m ? ________时，函数
2 5 6( 4) 3m my m x x? ?? ? ? 是关于 x的二次函数．

（3）已知函数
22 2 2( ) ( 3 2) 2m my m m x m m x m m?? ? ? ? ? ? ? 是二次函数，则函数为______________．




（1）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出① 23y x? ? ，② 2
1
2
y x? ? ，③ 2y x? ? 的图象，则从里到
外的三条抛物线对应的函数依次是________．（填序号）

（2）抛物线 2( 1)( 3)y x x? ? ? 的顶点坐标是________．

（3）抛物线 2 2y x x? ? ? 的对称轴是_________，顶点坐标为_________，当 x ?
_____时，y有最______值是________．
2y ax bx c? ? ?
APB△
例题 10
模块一 二次函数的定义 0
演练 1
模块二 二次函数的图象和性质 0
演练 2
初中数学提高培优课程 方法·兴趣·努力
7
（4）已知抛物线 2 ( 2) 3 20y x m x m? ? ? ? ? ? 经过点 (1, 3)? ，则抛物线与 x 轴交点的坐标为_________和
_________．


（1）已知二次函数 2 2y x mx? ? ? ? 的对称轴为直线
9
4
x ? ，则m ? ________．
（2）已知抛物线 2 2( 1) 16y x k x? ? ? ? 的顶点在 x轴上，则 k的值是________．
（3）抛物经 2 ( 0)y x x p p? ? ? ? 与 x 轴相交，其中一个交点的横坐标是 p，则该抛物线的顶点的坐标是
_____________．

（1）已知点
1(1, )A y ， 2( 2 )B y? , ， 3( 2, )C y? 在函数
2 12( 1)
2
y x? ? ? 上，则
1y ， 2y ， 3y 的大小关系是（ ）
A．
1 2 3y y y? ? B． 1 3 2y y y? ? C． 3 1 2y y y? ? D． 2 1 3y y y? ?
（2）已知二次函数 24 2 2y x mx? ? ? ? ，当 2x ? 时，y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范围是
_____________．


（1）已知 22 9 34y x x? ? ? ，当 x取不同的值
1x ， 2x 时函数值相等，则当 1 2x x x? ? 时的值（ ）
A．与 1x ? 的函数相等 B．与 0x ? 的函数相等
C．与
1
4
x ? 的函数相等 D．与
9
4
x ? ? 的函数相等
（2）已知抛物线 2 16y x bx? ? ? 经过点 (1, )A n ， (7, )B n ，则 n ?________．
（3）在同一坐标系中，一次函数 y ax b? ? 与二次函数 2y bx a? ? 的图象可能是（ ）

A B C D







DCBA
y
O
y
xxOx
y
O
y
O x
演练 3
演练 4
演练 5
初中数学提高培优课程 方法·兴趣·努力
8


（1）已知二次函数的图像经过 ( 1, 1)A ? ? 、 (0, 2)B 、 (1, 3)C ，求二次函数的解析式．

（2）已知抛物线经过点 (2, 3)，且顶点坐标为 (1,1)，求这条抛物线的解析式．

（3）已知二次函数的对称轴是直线 1x ? ，且图像过点 (3, 0)A 和 ( 2, 5)B ? ，求此函数的解析式．

（4）设二次函数 2y ax bx c? ? ? ，当 3x ? 时取得最大值为 10，并且它的图象在 x轴上截得的线段长为 4．求
二次函数的解析式．



模块三 二次函数的解析式 0
演练 6