1.3 线段的垂直平分线一课一练测试题（含解析）

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八下同步课堂【一课一练】（北师大版）
第一章 三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________总分：___________
一．选择题（共8小题）
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）

A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3．若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
4．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
5．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（　　）

A．90° B．100° C．120° D．130°
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）

A．14 B．18 C．20 D．26
7．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．13
二．填空题（共6小题）
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为　 　cm．

10．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝　 　．

11．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．

12．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　 　．

13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．

14．在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为　 　．（用含α的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
15．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）

16．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．

17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．

18．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．




1.3 线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）

A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
3．若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
【解答】解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，
到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，
到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，
而三角形三边的垂直平分线交于一点．
故选：A．
4．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【解答】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（　　）

A．90° B．100° C．120° D．130°
【解答】解：∵△ABC的边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，
∴AD＝DC，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠A＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°+50°＝100°，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）

A．14 B．18 C．20 D．26
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：A．
7．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．13
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为　16　cm．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC．
∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，
∴C△ABC＝10+6＝16cm．
故答案为：16．
10．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝　15　．

【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝12，
∴AC＝AF+FC＝15．
故答案为：15．
11．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　1.5　．

【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．

12．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　115°　．

【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝50°，
∴∠EBC＝25°，
∵AD垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠C＝∠EBC＝25°，
∴∠DEC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AEC＝115°，
故答案为：115°．
13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　．

【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
14．在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为　2α﹣180°或180°﹣2α　．（用含α的代数式表示）
【解答】解：分两种情况：
①如图所示，当∠BAC≥90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得，∠C＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得，∠C＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．
故答案为：2α﹣180°或180°﹣2α．
三．解答题（共5小题）
15．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）

【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接BF，则直线BF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；
⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求．

16．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．

【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．

17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．

【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，
∴AC＝，
∴AB＝2．
18．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．

（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．





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