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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )
A．10 B．20
C．16 D．12
4．已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于( )
A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1
C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
6．数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋4cos2，则a9，a10的大小关系为( )
A．a9>a10 B．a9＝a10
C．a9
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
8．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为的等比数列，那么an＝( )
A. B.
C. D.
10．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
11．数列{an}满足a1＝2，a2＝1，并且＝(n≥2)，则数列{an}的第100项为( )
A. B.
C. D.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2 018中，有理数项的项数为( )
A．42 B．43
C．44 D．45
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2 018－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
15．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元(参考数据：1.00811≈1.092,1.00812≈1.100,1.0811≈2.332, 1.0812≈2.518)．
16．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则 ＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 018.
18．(12分)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
19．(12分)张先生2018年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．
(1)张先生估计第一年(即2019年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0)?
20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．(12分)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
解析：选D 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…，所以数列{an}是摆动数列．
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
解析：选D 由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )
A．10 B．20
C．16 D．12
解析：选D ∵{an}是等差数列，
∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.
4．已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于( )
A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1
C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1
解析：选C ∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，
∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②
∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
6．数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋4cos2，则a9，a10的大小关系为( )
A．a9>a10 B．a9＝a10
C．a9解析：选C 当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1＝2a2k－1(k∈N*)，所以数列：a1，a3，a5，…是首项为1，公比为2的等比数列，所以a9＝a1×24＝16；
当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＝a2k＋4，所以数列：a2，a4，a6，…是首项为1，公差为4的等差数列，所以a10＝a2＋4×4＝17.所以a97．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－1，n为正奇数，,2－2，n为正偶数，))则2－2＝254，n＝14，故选D.
8．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵an＋1－an＝n＋1，an－an－1＝n－1＋1，…，a2－a1＝1＋1，
∴an＋1－a1＝＋n，即an＋1＝＋n＋1，
∴an＝＋n＝，＝2，＋＋…＋＝2＋＋…＋＝2×＝.故选A.
9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为的等比数列，那么an＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题知a1＝1，q＝，
则an－an－1＝1×n－1.
设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，
∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝＝，∴an＝.
10．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a，
即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.
又a1＝1，所以d2＋2d＝0.
又d≠0，则d＝－2，
所以{an}前6项的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24.
11．数列{an}满足a1＝2，a2＝1，并且＝(n≥2)，则数列{an}的第100项为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵＝(n≥2)，∴数列(n≥2)是常数列．
设＝k，则k＝＝2，
∴－＝＝.
∴＝－＋－＋…＋－＋
＝(n－1)＋＝，
∴＝50.∴a100＝.故选D.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2 018中，有理数项的项数为( )
A．42 B．43
C．44 D．45
解析：选B ＝(n＋1)＋n＝·(＋)
＝，
an＝＝－，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1－＋－＋…＋－＝1－，
问题等价于在2,3,4，…，2 019中有多少个数可以开方，
设2≤x2≤2 019且x∈N，因为442＝1 936,452＝2 025，所以2≤x≤44且x∈N，共有43个．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2 018－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2 018－3n>0，得n<＝672，
又∵n∈N*，∴n的最大值为672.
答案：672
15．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元(参考数据：1.00811≈1.092,1.00812≈1.100,1.0811≈2.332, 1.0812≈2.518)．
解析：设每期应付款x元，第n期付款后欠款An元，
则A1＝2 000(1＋0.008)－x＝2 000×1.008－x，
A2＝(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，…，
A12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，
因为A12＝0，
所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0，
解得x＝＝≈176，
即每期应付款176元．
答案：176
16．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则 ＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
等比数列{bn}的公比为q，
则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；
b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.
所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，
所以＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 018.
解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N*)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝.
∴x2 018＝.
18．(12分)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
19．(12分)张先生2018年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．
(1)张先生估计第一年(即2019年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0)?
解：(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N*)，
则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…，
显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，
所以S10＝10×4＋×＝55，
即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨．
(2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N*)，
则b1＝1×1.8，b2＝1×(1＋10%)×1.8，b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，
其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列，
记其前n项和为Tn，
由题意，有Tn＝＝18×(1.1n－1)≥55，
解得n≥15.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量．
20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差是d，
由已知条件得
解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，
∴bn＝＝
＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
21．(12分)(2018·浙江高考)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，
得a3＋a5＝2a4＋4，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.
由a3＋a5＝20，得8＝20，解得q＝2或q＝.
因为q>1，所以q＝2.
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.
由cn＝解得cn＝4n－1.
由(1)可得an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)×n－1，
故bn－bn－1＝(4n－5)×n－2，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)×n－2＋(4n－9)×n－3＋…＋7×＋3.
设Tn＝3＋7×＋11×2＋…＋(4n－5)×n－2，n≥2.
则Tn＝3×＋7×2＋…＋(4n－9)×n－2＋(4n－5)×n－1，
所以Tn＝3＋4×＋4×2＋…＋4×n－2－(4n－5)×n－1，
所以Tn＝14－(4n＋3)×n－2，n≥2.
又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×n－2.
22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N*，
所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．
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