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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B为( )
A. B.
C.或 D.或
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝ (1－cos B)，则sin A的值为( )
A. B.
C. D.
3．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，角A的平分线AD＝，则AC＝( )
A．1 B.2
C. D.2
4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝( )
A．4 B.1
C. D.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝.若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，则△ABC的面积为( )
A. B.
C.或 D.或
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B.1＋
C. D.2
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.(－∞，0)
C. D.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B.直角三角形
C．等腰三角形 D.等腰直角三角形
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B.8
C. D.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin A，且B>，则sin A＋sin C的最大值是( )
A. B.
C．1 D.
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时 B.1小时
C.小时 D.2小时
12．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足acos B＝b(1＋cos A)，S△ABC＝2，则(c＋a－b)(c＋b－a)的取值范围是( )
A．(0,8) B.(0,8)
C．(8,8＋8) D.(8－8,8)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C的值为________．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
18.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
19．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积S△ABC.
20．(12分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
21.(12分)某工程队在某海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B，C两点的视角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？
22.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝x，BC＝1，对角线AC与BD的夹角∠BOC＝45°，记直线AB与CD的距离为h(x)．请求出h(x)的表达式，并写出x的取值范围．
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(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选D 因为a2＋c2－b2＝2accos B，所以2acsin B＝ac?sin B＝，
所以B＝或.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝ (1－cos B)，则sin A的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由sin B＝(1－cos B)，得sin＝.
又03．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，角A的平分线AD＝，则AC＝( )
A．1 B.2
C. D.2
解析：选C 如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.由题意知0°<∠ADB<60°，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝，故选C.
4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝( )
A．4 B.1
C. D.
解析：选B 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1，故选B.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝.若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，则△ABC的面积为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选D 由题意，得sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A·cos B＝6sin Bcos B，∴cos B＝0或sin A＝3sin B，∴B＝或a＝3b.若B＝，则A＝，S＝c·ctan A＝；若a＝3b，由余弦定理，得a2＋b2－ab＝1，得b2＝，∴S＝absin C＝.
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B.1＋
C. D.2
解析：选B ∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.(－∞，0)
C. D.
解析：选D 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，∵即∴k>.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B.直角三角形
C．等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析：选B 由已知可得＝－，
即cos A＝，b＝ccos A.
法一：由余弦定理得cos A＝，
则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得
sin B＝sin Ccos A．在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，
即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B.8
C. D.
解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin A，且B>，则sin A＋sin C的最大值是( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B 因为＝＝，所以sin B＝cos A＝sin，因为B>，所以B＝＋A，所以sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝ －2sin2A＋sin A＋1＝－22＋，所以当sin A＝时，sin A＋sin C 取最大值，为.
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.小时 B.1小时
C.小时 D.2小时
解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．
12．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足acos B＝b(1＋cos A)，S△ABC＝2，则(c＋a－b)(c＋b－a)的取值范围是( )
A．(0,8) B.(0,8)
C．(8,8＋8) D.(8－8,8)
解析：选D 根据正弦定理，acos B＝b(1＋cos A)可化为sin Acos B＝sin B(1＋cos A)，即sin(A－B)＝sin B.由于△ABC为锐角三角形，故A－B＝B，即A＝2B，所以A＋B＝3B∈，C∈，所以tan C＝>1，解得－1＋
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C的值为________．
解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理，cos C＝
＝＝，
所以cos C＝.
答案：
15．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
解析：如图，∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1(km)．
由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin 15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝×＝(km)．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以sin A＝＝.
又因为B＝2A，
所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
18.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
解：由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km，
在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cos α＝，sin α＝，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
得＝，
所以AD＝sin(60°＋α)＝
＝15(km)，
即所求D，A之间的距离为15 km.
19．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)∵c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，
∴＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
∵a＋b＝ab，∴(ab)2－3ab－4＝0，
解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．
∴S△ABC＝absin C＝×4×＝.
20．(12分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
解：(1)由a2＋c2＝b2＋ac，可得a2＋c2－b2＝ac.
∴cos B＝＝＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由(1)得C＝－A，
∴cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A＝sin A.
∵A∈，
∴当A＝时，sin A取得最大值1，
即cos A＋cos C的最大值为1.
21.(12分)某工程队在某海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B，C两点的视角∠BDC＝60°，如图所示，记∠CBD＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？
解：在△BCD中，BC＝1，∠BDC＝60°，∠CBD＝θ.
由正弦定理得＝，
∴BD＝＝cos θ＋ sin θ.
在△ABD中，AB＝1，∠ABD＝60°＋θ.
由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos(60°＋θ)
＝12＋2－2×1×cos θ＋sin θ×
＝1＋sin2 θ＋sin θcos θ＝＋sin(2θ－30°)．
∴当2θ－30°＝90°，θ＝60°时，跑道AD最长．
22.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝x，BC＝1，对角线AC与BD的夹角∠BOC＝45°，记直线AB与CD的距离为h(x)．请求出h(x)的表达式，并写出x的取值范围．
解析：在△BOC中，由余弦定理，得
BC2＝OB2＋OC2－2OB·OCcos∠BOC，
所以OB2＋OC2－OB·OC＝1. ①
在△ABO中，由余弦定理，得BA2＝OB2＋OA2－2OB·OAcos∠BOA，
所以OB2＋OA2＋OB·OA＝x2. ②
又OC＝OA，从而由②－①，得OB·OA＝，
所以S△OBA＝OB·OAsin 135°＝OB·OA＝.
又S△OBA＝AB×h(x)，所以h(x)＝.
易知0＜h(x)≤1，所以可解得1＜x≤＋1.
综上所述，所求h(x)＝，x的取值范围为(1，＋1].
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