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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘除（一）
课前预习
A. 二次根式的乘法法则： ____________（填写a，b的取值范围），即两个二次根式相乘，把被开方数__________，根指数__________.
1. 计算：（1） × =______________；
（2） × =______________．
（a≥0，b≥0）
相乘
不变
3
B. 积的算术平方根：
=______________（a≥0,b≥0），即积的______________，等于各因式的__________ ____的积．
2. 化简： =_____________．
算术平方根
算术平方根
·
9.9
C. = ______________（a≥0,b≥0,c≥0）.
3. 计算： =_________.
课堂讲练
知识点1 二次根式的乘法法则
典型例题
【例1】化简
1. 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
举一反三
解：原式=
=2;
解：原式=
=9;
解：原式=
= .
解：原式= = .
知识点2 积的算术平方根
典型例题
【例2】计算：
（1） ；（2） .
举一反三
2. 计算：（1） ；
（2）
解：（1）原式= ．
（2）原式= =8×9=72．
知识点3 二次根式乘法公式的推广
典型例题
【例3】计算：
举一反三
3. 计算：
分层训练
【A组】
2. 下列各等式成立的是（ ）
D
1. （2019株洲） =（ ）
A. B. 4
C. D.
B
3. （-2）2的算术平方根是（ ）
A. 2 B. ±2 C. -2 D.
4. 当m≤3时，下列等式一定成立的是（ ）
A
D
5. 等式 成立的条件是（ ）
A.x≥1 B.x≥-1
C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1
6. 若等式 成立，则x的取值范围为_____________.
7. 若a+ =0，则化简 的结
果为______________.
A
x≥4
8. 计算：
9. 计算：
解：原式
=-6.
解：原式
=1.
【B组】
10. 如果 是整数，那么x是（ ）
A. 6或3 B. 3或1
C. 2或18 D. 只有18
11. 若 ，则 =__________（用含m，n的代数式表示）．
C
10mn
12. 计算：
（1） ;
（2） ;
解：原式
解：原式
= ×6
=2.
（3） ;
（4） （x≥0,y≥0,z≥0）．
解：原式
解：原式
13. （1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”“＜”或“=”，并完成后面的问题．
_________ ，
__________ ，
__________ ，
__________ ，…
用 表示上述规律为：
_____________________________；
=
=
=
=
（a≥0，b≥0）
【C组】
（3）设 ，试用含x，y的式子表示 ．
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的乘除（二）
课前预习
A. 二次根式的除法法则： __________________（填a，b的取值范围），即两个二次根式相除，把被开方数__________，根指数__________.
（a≥0，b>0）
相除
不变
1. 计算：（1） = .
（2） =______________．
2
3
B. 商的算术平方根： =________（a≥0，
b＞0），即商的算术平方根，等于___ ___________的算术平方根，除以___ ___________的算术平方根．
2. 化简：（1） =______________；
（2） =______________；
（3） =_____________.
被除式
除式
课堂讲练
典型例题
【例1】计算：
（1） ；
知识点1 二次根式的除法法则
解：原式=
（2） ；
解：原式=
（3） .
解：原式=
1. 计算：
举一反三
（3） .
解：原式=
典型例题
【例2】化简：
知识点2 商的算术平方根
举一反三
2. 化简：
（1） ;（2） ;
（3） .
（1）解：原式= .
（2）解：原式= .
解：原式= .
分层训练
【A组】
1. 计算： （ ）
2. 下列计算不正确的是（ ）
A
C
3. 下列运算正确的是（ ）
4. 如果 ，那么x的取值范围是（ ）
A. 1≤x≤2 B. 1＜x≤2
C. x≥2 D. x＞2
C
D
6. 计算：
（1） =______；（2） =______.
7. 如果一个三角形的面积为 ，一边长为 ，那么这边上的高为_______.
5
7. 化简：
3
8. 计算：
9.计算：
【B组】
10. 计算： （a>0,b>0）.
解：原式
12. 若x,y为实数，且y= ，
求 的值.
解：根据二次根式的非负性可知，
于是x2=4，又由x-2≠0，故x=-2,易得y= .则
14.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：“你把题目抄错了，不是‘ ’，而是‘ ’.”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a－3都在根号内.”试问：刘敏说的对吗？就是说，按照 解题和按照 解题的结果一样吗？请说明理由.
解：刘敏说的不对，结果不一样.
因为按 计算，则a≥0，a－3＞0或a≤0，a－3＜0.
解得a＞3或a≤0.
而按 计算，则只有a≥0，a－3＞0.
解得a＞3.
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第3课时 二次根式的乘除（三）
课前预习
A. 最简二次根式：如果二次根式满足：
（1）被开方数不含______________；
（2）被开放数中不含_____ _____的因数或因式.
这样的二次根式叫做最简二次根式.
1. 在 ， ， ， 中，是最简二次根
式的是______________．
分母
能开得尽方
B. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为_________ _____，并且分母中不含______________.
2.把二次根式 化成最简二次根式，则
= ．
最简二次根式
二次根式
C. 二次根式的乘除混合运算，按_ ____ 的顺序进行，如果有括号，就先算_________里面的.
3.计算2÷ = .
从前到后
括号
1
课堂讲练
典型例题
【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式，并把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
知识点1 最简二次根式
解:（1）不是最简根式, .
（2）不是最简根式, .
（3） 是最简二次根式.
（4）不是最简根式, .
举一反三
1. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
解：不是最简二次根式， ．
解：不是最简二次根式， .
解： 是最简二次根式.
（4） ；
（5） ．
解：不是最简二次根式， .
解：不是最简二次根式， .
典型例题
【例2】（1）已知长方体的体积V= ，高h= ，求它的底面积S;
（2）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S= ,a= ，求它的另一边长b.
知识点2 二次根式的应用
2. 若长方形的宽为 cm，面积为 cm2，则长方形的长为________.
举一反三
典型例题
【例3】 =（ ）
知识点3 二次根式的乘除混合运算
C
举一反三
3. 计算： .
解：原式= =8×3=24.
分层训练
【A组】
2. 若a＞0，把 化成最简二次根式为（ ）
C
1. 在根式 中，最简二次根式是（ ）
A. ①② B. ③④
C. ①③ D. ①④
C
3. 把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） __________；（2） __________；
（3） __________；（4） __________；
（5） __________；（6） __________；
（7） _________；（8） __________.
4. 已知长方形的面积是48 cm2，其中一边的长是 cm，则另一边的长是_________cm.
5. 若最简二次根式 与 的值相等，则a=________，b=________.
1
1
6. 计算 =_______.
7. 计算 =_______.
12
24
8. 在下列各式中，哪些不是最简二次根式？
解：（1）（3）（4）（5）（6）不是最简二次根式.
【B组】
9. 计算：（1）
（2） .
解：原式
=18．
解：原式
10. 计算：
（1） （a>0,b>0）;
解：原式
（2）8x2 ÷12 ×3 （x>0,y>0）.
解：原式
11. 一个底面为 的长方体玻璃容器中装满水，现将玻璃容器中的一部分水倒入一个底面为正方形，高为 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了 ，那么铁桶的底面边长是多少？
解：设铁桶的底面边长为x cm，则有
化简，得x2＝150.
∵x＞0，∴x＝
∴铁桶的底面边长为 cm.
12. 阅读下面的解题过程：
（1）利用上面所提供的解法，化简
（2）观察上面的解题过程，直接写出：
________________.（n为正整数）
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