一、知识网络
课件72张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练02 平面向量本章方略总结基础知识提炼温示提馨基础知识提炼 （点击进入）word板块 解题方法技巧高考考点指导高考命题分析温示提馨课时作业24 （点击进入）word板块 课时作业24 第二章综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分．考试时间100分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：a＋b＝(0，1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．
答案：C
2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：在△ABC中，有＋＝2，可知P为AC中点，因此，＋＝0.
答案：B
3．(2019年北京东城区模拟)已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为( )
A．30° B．－150°
C．150° D．30°或150°
解析：由a·b<0可知a，b的夹角θ为钝角，又
S△ABC＝|a|·|b|sinθ，∴×3×5×sinθ＝，
∴sinθ＝?θ＝150°.
答案：C
4．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是( )
A．(，)或(1，) B．(，)
C．(0，1) D．(0，1)或(，)
解析：画图知，选D.
答案：D
5．(2019年河北石家庄一模)已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[1，]
C．[，] D．[－1，1]
解析：因为a·b＝0，
所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
所以|a＋b|＝.
所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c
＝3－2(a＋b)·c.
当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，|a＋b－c|2
最小，
此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos0°＝，
|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，
所以|a＋b－c|min＝－1；
当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2
最大，
此时(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cosπ＝－，
|a＋b－c|2＝3＋2＝(＋1)2，
所以|a＋b－c|max＝＋1.
所以|a＋b－c|的取值范围为[－1，＋1]．故选A.
答案：A
6．已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b上的投影值为( )
A. B.
C. D.
解析：a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝＝＝，选C.
答案：C
7．(2019年四川成都期中)在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AB的中点，CE交AD于点F.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．－ B.
C．－ D．1
解析：∵点D是BC的中点，点E是AB的中点，CE交AD于点F，
∴F是△ABC的重心，
∴＝＝(＋)
＝(＋－)
＝－＋.
∵＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝.故选B.
答案：B
8．(2019年东南三校联考)如图1所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝( )
图1
A．8 B.
C. D.
解析：设m(x1，0)，N(x2，0)，P(x3，2)，
函数y＝2sin(ωx＋φ)的周期为T，
·＝(x1－x3，－2)·(x2－x3，－2)
＝(x1－x3)(x2－x3)＋4＝0，
∵x1－x3＝－，x2－x3＝.
∴－＋4＝0，∴T＝8.
∴＝8，∴ω＝，选C.
答案：C
9．已知△ABC中，A(0，1)，B(2，4)，C(7，1)，点O为平面上任一点，M、N分别使＝(＋)，＝(＋＋)，则下列命题中真命题是( )
A.∥
B．直线MN的方程为x＋4y－11＝0
C．直线MN必过△ABC的外心
D．向量λ(＋)(λ∈R＋)所在射线必过△ABC的重心
解析：由题设有＝[(0，1)＋(2，4)]＝(1，)，
＝[(0，1)＋(2，4)＋(7，1)]＝(3，2)．
∴＝(2，－)，＝(5，－3).与不平行，排除A；过M(1，)，N(3，2)的直线方程为y－2＝－(x－3)即x＋4y－11＝0，选B.
答案：B
10．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值( )
A. B.
C. D.
解析：设BC的中点为M，则＝，
又M为BC中点，∴＝(＋)．
∴＝＝(＋)，
∴||＝.
又∵·＝－2，∠A＝120°，∴||||＝4，
∴||＝≥
＝.
当且仅当||＝||时取“＝”，
∴||的最小值为，故选C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为________．
解析：a＋λb＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，
∵(a＋λb)∥c，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝.
答案：
12．(2019年高考·课标全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos?a，c?＝________．
解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，
所以cos?a，c?＝＝.
答案：
13．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2.若c＝λa＋μb(λ，μ∈R), 则＝________．
图2
解析：如图3，选取向量a的终点为点A，向量b所在线段的中点为点B，以点B为起点作向量，使得＝c，由图易知此时＝2a，
图3
又因为线段AB，BC，CA恰好围成三角形，
所以 ＋＋＝0
即c＝－2a－b，所以λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
解析：
图4
解法1：如图4，
因为＝，＝，
＝－＝－
＝＝，
＝＋＝＋λ，
＝＋＋＝＋＋
＝＋，
·＝(＋λ)·
＝2＋λ2＋·
＝×4＋λ＋×2×1×cos120°
＝＋λ＋≥2＋＝.
当且仅当＝λ即λ＝时，
·的最小值为.
解法2：如图5建立坐标系，则A，B，C，D.
图5
由＝λ，＝DC，
可得E，F.
所以＝，＝，
则·＝＋λ＋≥2＋＝，
当且仅当λ＝时等号成立．
答案：
三、解答题(共44分)
15．(10分)(2019年河南鹤壁段考)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝1，且a＋b与a－2b垂直，求a与b的夹角θ的余弦值．
解：(1)设c＝(x，y)，则
由c∥a和|c|＝2可得
解得或
∴c＝(－2，4)或c＝(2，－4)．
(2)∵a＋b与a－2b垂直，
∴(a＋b)·(a－2b)＝0，
即a2－a·b－2b2＝0，∴a·b＝3，
∴cosθ＝＝.
16．(10分)(2019年广东佛山二模)如图6，已知梯形ABCD满足AD∥BC，AD⊥DB，且∠ABD＝∠BCD＝，DB＝，现将△DBC绕D点顺时针旋转α角(0<α<)后得△DB1C1，DC1交BC于点E，DB1交AB于F.
图6
(1)当DF＝1时，求α的值；
(2)求·的值．
解：(1)在Rt△ABD中，DB＝，∠ABD＝，
∴AD＝1，∠DAB＝.
又∵DF＝1，∴△ADF为等边三角形，
∴∠ADF＝，∴α＝.
(2) ∵＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·
＝·＋·＋·＝＝3.
17．(12分)一条河的两岸平行，河宽为d (m)，一船从A出发航行到河的对岸，船航行速度为|v1|，水流速度为|v2|，那么v1与v2的夹角θ多大时才能垂直到达对岸B处？航行多少时间(只要求出cosθ即可)?
解：(1)cosθ＝－
(2)航行时间为t＝
18．(12分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证明：(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0
∴(a－b)⊥c.
(2)解：|ka＋b＋c|>1
?|ka＋b＋c|2>1?(ka＋b＋c)2>1，
∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1
∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c相互之间的夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1.a·b＝a·c＝b·c＝－
∴k2－2k>0 ∴k>2或k<0.
