课件51张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 三角恒等变换本章方略总结基础知识提炼解题方法技巧高考考点指导高考命题分析温示提馨课时作业31 （点击进入）word板块 课时作业31 第三章综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分．考试时间100分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意)
1．化简：sin119°sin181°－sin91°sin29°得( )
A. B．－
C. D．－
解析：原式＝sin61°(－sin1°)－cos1°cos61°
＝－(cos1°cos61°＋sin61°sin1°)
＝－cos60°＝－
答案：B
2．函数y＝sin2πxcos2πx是( )
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：原式＝sin4πx，
∴T＝＝，它又是奇函数，选C.
答案：C
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由三角函数定义sinθ＝2cosθ，再由sin2θ＋cos2θ＝1得，cos2θ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案：B
4．若sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋的值为( )
A．±2 B．－2
C．2 D．±1
解析：sinθ＋cosθ＝?1＋sin2θ＝2?sin2θ＝1
而tanθ＋＝＝＝2.
答案：C
5．(2019年广东汕头期末)设α，β∈(0，)，且tanα－tanβ＝，则( )
A．3α＋β＝ B．2α＋β＝
C．3α－β＝ D．2α－β＝
解析：由tanα－tanβ＝，得－＝，
则sinαcosβ－sinβcosα＝cosα，
即sin(α－β)＝sin(－α)．
因为α，β∈(0，)，所以α－β＝－α，
即2α－β＝.故选D.
答案：D
6．(2019年云南省玉溪一中高三上学期第一次月考)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：函数y＝tan(ωx＋)向右平移后得到
y＝tan[ω(x－)＋]＝tan(ωx－＋)．
又因为y＝tan(ωx＋)，
∴令－＝＋kπ，
∴＝＋kπ(k∈Z)，
由ω>0得ω的最小值为.选D.
答案：D
7．若－2π<α<－，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：原式＝＝|cos|＝－cos
(∵－2π<α<－π?－π<<－π，
∴cos<0)
答案：D
8．(2019年高考·课标全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(，π)单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|
＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故①正确；排除B；
当∴f(x)在(，π)单调递减，故②不正确；排除A；
∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.
答案：C
9．若cos(－α)＝，则sin2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：本题主要考查三角恒等变换．
cos＝2cos2－1
＝2·－1＝－，
且cos＝cos＝sin2α，故选D.
答案：D
10．函数y＝－cos2x的图象大致是( )
解析：函数是偶函数，排除选项A；当x→＋∞时，y→＋∞，排除选项D；当x＝时，y>0，排除选项B.所以正确选项为C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
11.＝__________．
解析：原式＝
＝＝＝1.
答案：1
12．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cosα＝__________．
解析：∵0<α，β<，0<2α＋β<π，
cos(2α＋β)＝，
∴0<2α＋β<，sin(2α＋β)＝
又0<α，β<，0<α＋β<π，cos(α＋β)＝
∴0<α＋β<，sin(α＋β)＝
cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝×＋×＝.
答案：
13．(2019年江苏无锡期末)设f(x)＝sin2x－cosxcos(x＋)，则f(x)在[0，]上的单调递增区间为________．
解析：f(x)＝sin2x－cosxcos(x＋)
＝sin2x＋sinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x
＝sin(2x－)＋.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈[0，]，
∴当k＝0时，－≤x≤，即0≤x≤.
故函数f(x)在[0，]上的单调递增区间为[0，]．
答案：[0，]
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则tanα∶tanβ＝__________．
解析：
?，＝·＝＝5.
答案：5
三、解答题(本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、演算步骤)
15．(10分)如图1所示，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(，)，△AOB为正三角形，记∠AOC＝θ.
图1
(1)求sinθ＋cosθ的值；
(2)求B点的坐标．
解：(1)由三角函数的定义知sinθ＝，cosθ＝，
所以sinθ＋cosθ＝.
(2)设B点的坐标为(x0，y0)，则
x0＝cos(θ＋)＝cosθ－sinθ＝.
y0＝sin(θ＋)＝sinθ＋cosθ＝.
∴B点的坐标为(，)．
16．(10分)化简sin3α·sin3α＋cos3α·cos3α＋sin2α·sin4α.
解：原式＝·sinα·sin3α＋·cosα·cos3α＋sin22α·cos2α＝cos2α(cos3α·cosα－sin3α·sinα)＋(cos3α·cosα＋sin3α·sinα)＋sin22α·cos2α＝cos2α(cos4α＋1)＋·cos2α＝cos2α.
17．(12分)已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，
x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
解：(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＝2sin(x－)
∴T＝2π，fmin(x)＝－2.
(2)证明：证法1：∵0<α<β≤，
∴0<β－α<，0<β＋α<π.
∴sin(β－α)＝，sin(β＋α)＝，
cos2β＝cos[(β－α)＋(β＋α)]
＝cos(β－α)cos(β＋α)－sin(β－α)sin(β＋α)
＝－－＝－1.
∴2β＝π，β＝，
∴[f(β)]2－2＝[2sin(β－)]2－2
＝(2sin)2－2＝0.
证法2：
cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝……①.
cos(β＋α)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－……②.
①、②式相加得，cosαcosβ＝0.
∵0<α<β≤?cosβ＝0?β＝
∴f(β)＝?[f(β)]2－2＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解：(1)由题意得
f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin(2ωx－)
由周期为π，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(2x－)
由正弦函数的单调增区间得
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，
k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，
得到y＝2sin2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin2x＋1
令g(x)＝0，得：x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)
所以在每个周期上恰好有两个零点，
若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，
则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为4π＋＝.
