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导练01 三角函数§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业12 （点击进入）word板块 课件33张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 三角函数§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨图1—5—8温示提馨课时作业13 （点击进入）word板块 课时作业12 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
基础要求
1．(2019年山东济南一中期中)要得到函数y＝cos2x的图象只需将y＝cos的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则．则y＝cos2x只需向左平移个单位即可得y＝cos的图象，则y＝cos需右移个单位，得到y＝cos2x.
答案：B
2．函数y＝sinx图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)所得图象的解析式为( )
A．y＝sinx B．y＝sinx
C．y＝sin3x D．y＝3sinx
答案：C
3．(2019年江西省赣州市模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f(x)的图象( )
A．关于点(，0)对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于直线x＝对称
解析：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2(x－)＋φ]＝sin(2x－＋φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ＝－，故函数f(x)＝sin(2x－)，故当x＝时，函数f(x)＝sin＝1，故函数f(x)＝sin(2x－) 关于直线x＝对称，故选D.
答案：D
4．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ＝________．
解析：平移后函数的解析式为y＝sin(x＋φ)，依题意可得φ＝2kπ－，k∈Z，又0≤φ<2π，所以φ＝.
答案：
5．函数y＝－5sin(x＋)(x∈[0，])的值域为__________．
解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴≤sin(x＋)≤1，∴－5≤y≤－为所求．
答案：[－5，－]
能力要求
1．(2019年黑龙江省双鸭山市模拟)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵f(x)＝cos(2x＋φ)＝sin[＋(2x＋φ)]
＝sin(2x＋＋φ)，
∴f(x－)＝sin[2(x－)＋＋φ)]
＝sin(2x－＋φ)，
又f(x－)＝sin(2x＋)，
∴sin(2x－＋φ)＝sin(2x＋)，
∴φ－＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ＋，又－π≤φ＜π，
∴φ＝.故选A.
答案：A
2．(2019年唐山高一检测)为得到函数y＝cos的图象，只需将y＝sin2x的图象( )
A．向左平移π个长度单位
B．向右平移π个长度单位
C．向左平移π个长度单位
D．向右平移π个长度单位
解析：先将函数化为同名函数，y＝cos＝sin＝sin＝sin2.故只需将y＝sin2x的图象向左平移π个长度单位，即可得到y＝cos的图象．
答案：A
3．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]的简图是( )
解析：解法1：由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得函数的增区间：[kπ－，kπ＋](k∈ Z)，取k＝0得[－，]，只有A符合．
解法2：y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，其图象是由y＝sin2x的图象向右平移而得，A对．
解法3：令x＝0，得y＜0，知B、D错；
令x＝，得y＝0，故选A.
答案：A
4．如图1，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ( )
图1
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：由图象知2＝－3＋k，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值为3＋k＝8.
答案：C
5．函数y＝－sin的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是( )
A. B.
C. D.
解析：由4x＋＝kπ得，x＝－，k＝0时，
得点，k＝1时得点，故选A.
答案：A
6．(2019年吉林省模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋)(x∈[0, ])，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则x1＋2x2＋x3的值为( )
A．π B.
C. D.
解析：由题意x∈[0，]，则2x＋∈[，]，
画出函数的大致图象：
图2
由图得，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，
由2x＋＝得x＝，
由2x＋＝得x＝，
由图知，点(x1，0)与点(x2，0)关于直线x＝对称，
点(x2，0)与点(x3，0)关于直线x＝对称，
∴x1＋x2＝，x2＋x3＝，
即x1＋2x2＋x3＝＋＝，故选C.
答案：C
7．(2019年河北省石家庄模拟)函数y＝sin2x图象上的某点P(，m)可以由函数y＝cos(2x－)上的某点Q向左平移n(n＞0)个单位长度得到，则mn的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：函数y＝sin2x图象上的某点P(，m)可以由函数y＝cos(2x－)上的某点Q向左平移n(n＞0)个单位长度得到，
∴m＝sin(2·)＝.
故把函数y＝sin2x图象上的点P(，)，向右平移n个单位，可得Q(＋n，)，
根据Q在函数y＝cos(2x－)的图象上，
∴m＝cos[2(＋n)－]
＝cos(2n－)＝，
∴应有2n－＝，
∴n＝，则mn的最小值为，
答案：B
8．已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值为－3，试确定f(x)＝bsin的单调减区间．
解：∵－1≤cosx≤1，∴
解之得即
当a>0时，f(x)＝－sin(2x＋)
＝sin[π＋(2x＋)]＝sin(2x＋)．
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当a<0时，f(x)＝－sin(－2x＋)＝sin(2x－)
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z
∴当a>0时，f(x)的减区间为
[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)；
当a<0时，f(x)的减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－. 数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，
当k＝1时，θ取得最小值.
课时作业13 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
基础要求
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图1，则ω＝( )
图1
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由图可知＝，故T＝＝，∴ω＝4.
答案：B
2．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
解析：函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位得到y＝sin(x－)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)，故选C.
答案：C
3．(2019年广东省揭阳市期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f(x＋)是偶函数，下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．函数f(x)在[，π]上单调递增
解析：函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
∴函数f(x)的周期T＝π，故A错误；
∵ω＞0，∴ω＝2，
∴函数f(x＋)的解析式为
f(x)＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)，
∵函数f(x＋)是偶函数，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，解得φ＝.
∴f(x)＝sin(2x＋)．
∴由2x＋＝kπ，k∈Z，解得对称中心为
(－，0)，k∈Z，故B错误；
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得对称轴是
x＝＋，k∈Z，故C错误；
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，
故D正确．
答案：D
4．图2是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，则f(x)可以写成( )
图2
A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)
C．sin(x－1) D．sin(1－x)
解析：由图象过点(1，0)知A、B不满足，排除A、B.
由图象交y轴于正半轴，有f(0)>0，
而C项f(0)＝sin(－1)<0，排除C，选D.
答案：D
5．若y＝3sin(－2x＋)表示一个振动量，则它的振幅为__________，初相为__________．
解析：y＝3sin[π－(－2x＋)]＝3sin(2x＋)，
∴振幅A＝3，初相为.
答案：3
6．给出下列两种变换：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍；②向左平移个单位，现对函数y＝sinx的图象进行以上两种变换，先①后②得到图象的解析式是________；先②后①得到图象的解析式是________．
解析：y＝sinxy＝sin2x
y＝sin[2(x＋)]＝sin(2x＋)．
y＝sinxy＝sin(x＋)y＝sin(2x＋)．
答案：y＝sin(2x＋) y＝sin(2x＋)
能力要求
1．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x－2φ)，
又∵|f(x1)－g(x2)|＝2，
∴不妨2x1＝＋2kπ，2x2－2φ＝－＋2kπ，
∴x1－x2＝－φ，又∵|x1－x2|min＝，
∴－φ＝?φ＝，故选D.
答案：D
2．(2019年四川省资阳市模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω＞0.若 f(x)≤f()对x∈R恒成立，则ω的最小值为( )
A．2 B．4
C．10 D．16
解析：∵函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω＞0.
若f(x)≤f()对x∈R恒成立，
∴ω·＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝24k＋4，
故ω的最小值为4，故选B.
答案：B
3．(2019年广东汕头模拟)已知函数f(x)的部分图象如图3所示，则f(x)的解析式可能是( )
图3
A．f(x)＝2sin(－)
B．f(x)＝cos(4x＋)
C．f(x)＝2cos(－)
D．f(x)＝2sin(4x＋)
解析：由图知＝π，∵T＝＝4π.∴ω＝.排除B、D；又∵f(0)＝1，而由选项A求知f(0)＝－1不合要求，又排除A.故选C.
答案：C
4．(2019年湖北省襄阳四中模拟)将函数f(x)＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：函数f(x)＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位，可得y＝2sin(2x＋)的图象，再向上平移1个单位，得到g(x)＝2sin(2x＋)＋1的图象．
若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，
则g(x1)＝g(x2)＝3，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z，
由x1，x2∈[－2π，2π]，得：
x1，x2∈{－ ，－，，}，
当x1＝，x2＝－时，2x1－x2取最大值，
故选A.
答案：A
5．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．其中正确的命题的序号是________(把所有正确的命题序号都填上)．
解析：由图象知x1－x2是的整数倍，而T＝π，
∴x1－x2＝k·，k∈Z，①错；由诱导公式五得
f(x)＝4·cos[－(2x＋)]＝4cos(－2x)
＝4cos(2x－)，②正确；
∵点(－，0)的坐标满足函数解析式，
∴③正确，④错误．
答案：②③
6．(2019年上海市高三上学期期中)已知f(x)＝2sin(ωx)(ω＞0)在[－，]上单调递增，则ω的取值范围是________．
解析：f(x)＝2sin(ωx)(ω＞0)在[－，]上单调递增，则ω·≤，∴ω≤.
答案：(0，]
7．(2019年上海市六校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()．则f(x)的最小正周期为________．
解析：由f()＝f()可知函数f(x)的一条对称轴为x＝＝，
又f()＝－f()，则f(x)有对称中心(，0)，
由于f(x)在区间[，]上具有单调性，
则－≤T，所以T≥π，
从而T＝4(－)＝.
答案：
8．(2019年四川省资阳市期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图4所示：
图4
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间和对称中心坐标；
(3)将f(x)的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，]上的最大值和最小值．
解：(1)由图象可知解得，
又由于＝－，∴T＝π，
所以ω＝＝2，
由图象及五点法作图可知2×＋φ＝，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)－1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)－1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z，
由图知f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z得x＝－，k∈Z，
所以f(x)的对称中心的坐标为(－，－1)，k∈Z.
(3)由已知的图象变换过程可得g(x)＝2sin(x＋)，
因为0≤x≤，
所以≤x＋≤，
所以当x＋＝，即x＝时，
g(x)取得最小值g()＝－2，
当x＋＝，即x＝0时，
g(x)取得最大值g(0)＝.
9．(2019年湖北省黄冈期中)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解：(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin(x＋)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin(x＋)的图象．
图5
(2)∵x∈[0，3π]，∴x＋∈[，]，
sin(x＋)∈[－1，1]，
∵当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，
∴函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，
如图5所示：故方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为(－，)∪{1，－1}．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象与y轴交于点，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0，3)、(x0＋2π，－3)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数y＝sinx的图象依次经过哪些变换得到的．
解：(1)由题设知A＝3，
且T＝＝2[(x0＋2π)－x0]＝4π，得ω＝，
∴此时函数解析式为y＝3sin(x＋φ)．
将点代入上式，得＝3sinφ，
∵|φ|<，∴φ＝.
故所求函数解析式为f(x)＝3sin.
拓展要求
1．设三角函数f(x)＝sin(x＋)(k≠0)．
(1)写出f(x)的最大值M、最小值m与最小正周期T；
(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个最大值是M与一个最小值是m.
解：(1)∵f(x)＝sin(x＋)，(k≠0)，且x∈R，
∴M＝1，m＝－1，T＝.
(2)设x∈[n，n＋1]，n∈Z，按题意，当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间的长度，即
|(＋)－[＋]|≥2π，解得|k|≥10π.
所以最小的整数k＝32.
2．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg称为标准值．设某人在某一时刻的血压满足函数式p(t)＝125＋25sin(170πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试解答下列问题：
,图6)
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图．
解：(1)函数p(t)的周期T＝＝.
(2)此人每分钟心跳的次数为85.
(3)列表：
t
0
170πt
0
π
2π
p(t)
125
150
125
100
125
描点连线即得p(t)在一个周期内的简图(图略)．
