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导练01 三角函数§1.6 三角函数模型的简单应用第一课时 三角函数模型的简单应用（一）目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业14 （点击进入）word板块 课件19张PPT。同步导练/RJA·必修④ 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 三角函数§1.6 三角函数模型的简单应用第二课时 三角函数模型的简单应用（二）目标导向知识导学重点导析思维导悟温示提馨课时作业15 （点击进入）word板块 课时作业14 三角函数模型的简单应用(一)
基础要求
1．函数y＝sin|x|的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由于y＝sin|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称．
答案：B
2．函数y＝|sin(2x＋)|的周期是( )
A．2π B．π
C. D.
解析：画出y＝|sin(2x＋)|的草图，由图象知，选C.
答案：C
3．已知函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y－2＝0的相邻的两个公共点之间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B.
C. D.
解析：依题意得T＝，∴ω＝3.
答案：A
4．如图1，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)与时间t (s)的函数关系式为：s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需时间为( )
图1
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：单摆来回摆动一次所需时间正好是函数的一个周期．∵ω＝2π，∴T＝＝1.
答案：D
5．函数y＝|cos(2x＋)|的最小正周期是__________；函数y＝|tan(2x＋)|的最小正周期是__________．
答案：
能力要求
1．如图2一个半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
图2
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：依题意知，频率f＝4(圈/分)＝(圈/s)．
∴周期T＝＝15＝，∴ω＝.
又经分析得出A＝3.
答案：A
2．如图3，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
图3
解析：由题设，以OP为终边的角＝－＋t，
且P(2cos(－＋t)，2sin(－＋t))，
所以d＝2|sin(－＋t)|，
再结合三角函数的图象变换的知识就可以选择C.
答案：C
3．已知函数y＝2cosx(0≤x≤1 000π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析：先求0≤x≤2π围成的图形面积为4π，再乘以500，即得答案是2 000π.
答案：2 000π
4．如图4是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是__________．
图4
解析：依题意，设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)，则由图象知A＝2，＝0.5－0.1＝0.4，
∴T＝＝0.8，∴ω＝.∴y＝2sin(t＋φ)．
∵图象过点(0.1，2)，∴2sin(×0.1＋φ)＝2.
即sin(＋φ)＝1.显然φ＝满足上式，
∴所求解析式为y＝2sin(t＋)．
答案：y＝2sin(t＋)
5．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)上最高点为(2，)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6，0)，求函数解析式，并求函数取最小值时x的取值以及函数单调区间．
解：依题意知＝6－2＝4，∴T＝＝16，
∴ω＝，A＝.设曲线与x轴交点中离原点较近的一个点的横坐标是x0，则2－x0＝6－2，即x0＝－2.
∴φ＝－ωx0＝×(－2)＝，y＝sin.当＋＝2kπ＋，即x＝16k＋2时，y最大＝；当＋＝2kπ＋，即x＝16k＋10时，y最小＝－.由图可知：增区间为[16k－6，16k＋2]，减区间为[16k＋2，16k＋10](k∈Z)．
6．某体育馆用运动场的边角地建一个矩形的青少年游乐场，如图5所示，ABCD是边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的青少年游乐场，其中G、M分别在AB与AD上，H在圆弧上．设矩形AGHM的面积为S，∠HCF＝θ，试将S表示为θ的函数，并求当θ为多少时，青少年游乐场的面积最大，最大面积是多少？(提示：sinθ＋cosθ＝sin(θ＋))
图5
解：解题关键在于将AGHM矩形的两边HM、HG用参数θ表示出来．
由图可知，HM＝50－40cosθ，
HG＝50－40sinθ，
则S＝(50－40sinθ)(50－40cosθ)
＝1 600sinθcosθ－2 000(sinθ＋osθ)＋2 500(0≤θ≤)．
令sinθ＋cosθ＝t(1≤t≤)，
则sinθcosθ＝(t2－1)，
∴S＝1 600×(t2－1)－2 000t＋2 500
＝800t2－2 000t＋1 700
＝800＋450(1≤t≤)．
当t＝1，即θ＝0或θ＝时，S取最大值500.
故当t＝1，即θ＝0或θ＝时，这个青少年游乐场的面积最大，最大面积是500 m2.
拓展要求
设关于x的方程sin(2x＋)＝在[0，]内有两个不同根α、β，求α＋β的值及k的取值范围．
解：设C：y＝sin(2x＋)，l：y＝，在同一坐标系中作出它们的图象如图5.
图5
当≤<1时，即0≤k<1时，直线l与曲线C有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x＝对称，故α＋β＝.
综上可知，0≤k<1，且α＋β＝.
课时作业15 三角函数模型的简单应用(二)
基础要求
1．如图1，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ( )
图1
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：本题考查三角函数的图象和性质．
由图象知2＝－3＋k，解得k＝5，
所以这段时间水深的最大值为3＋k＝8.
答案：C
2．矩形ABCD所在的平面与地面垂直，A点在地面上，AB＝a，BC＝b，AB与地面成θ(0≤θ≤)角(如图2)，则点C到地面的距离函数h(θ)＝( )
图2
A．acosθ＋bsinθ B．asinθ＋bcosθ
C．|asinθ－bcosθ| D．|acosθ－bsinθ|
解析：过D作DE垂直于地面于E，则∠DAE＝－θ，所以h(θ)＝ABsinθ＋AD·sin(－θ)＝asinθ＋bcosθ.
答案：B
3．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acosωt＋b，根据以上数据，函数的解析式为________．
解析：由表中数据描出y＝f(t)的简图(图略)，由图容易判断A＝0.5，b＝1，T＝＝12，∴ω＝，
∴f(t)＝cost＋1为所求．
答案：f(t)＝cost＋1
能力要求
1．(2019年安徽蚌埠二模)直线y＝5与y＝－1在区间[0，π]上截曲线y＝Asin2x＋B(A>0，B>0)所得的线段长相等且不为0，则下列描述正确的是( )
A．A≤，B＝ B．A≤3，B＝2
C．A>，B＝ D．A>3，B＝2
解析：画图知，B＝＝2，且A>3.
答案：D
2．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[2，4]
解析：思路分析1：原问题可化归为方程4sin(2x＋1)－x＝0有实根的判断，进而可转化为考查函数y＝sin(2x＋1)与y＝的图象在给定区间上是否有交点．画出两函数的图象，便可判断选A，但其间涉及到对一些特殊数值的估计，需仔细．
思路分析2：可考虑用零点存在定理判断，其中三个区间上必存在零点，如选项C，∵f(0)＝4sin1>0，f(2)＝4sin5－2<0，∴f(x)在[0，2]必存在零点，但对选项B、D的判断，则需花点功夫，全取两个端点值，并不有效，需灵活取值．
答案：A
3．如图3，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车周围上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h (m)．则h关于t的表达式为__________．
图3
解析：设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cosθ＝，y＝－2cosθ＋2.
又θ＝×t即θ＝t，
所以y＝－2cost＋2，
h＝f(t)＝－2cost＋2.5.
答案：h＝－2cost＋2.5
4．方程sinx＝的解的个数为__________．
解析：画出y＝sinx与y＝的图象，观察图象求得．
答案：7个
5．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化．
(1)画出种群数量关于时间变化的图象；
(2)求出种群数量作为时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)．
解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图4
图4
(2)设表示该曲线的三角函数为y＝Asin(ωx＋α)＋b.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，
数量变化周期为12个月，所以振幅A＝＝100，
ω＝＝，b＝800，
又7月1日为种群数量达最高，
∴×7＋α＝.∴α＝－.
则种群数量关于时间t的函数表达式为
y＝800＋100sin(t－π)．
6．如图5所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面7个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为＝sin.
图5
(1)求正弦曲线的振幅；
(2)正弦曲线的周期是多少？
(3)如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出其关于d与t的关系式；
(4)P点第一次到达最高点大约有多少秒？
解：(1)A＝r＝10；(2)T＝＝15 s；
(3)由＝sin，得d＝bsin＋k.
b＝A＝10，T＝＝2πa＝15，∴a＝.
由于圆心离水面7个长度单位，所以k＝7.
∴d＝10sin＋7.
将t＝0时，d＝0代入上式，得sin＝0.7，
由计算器可知，h≈0.775，∴h≈1.85.
∴d＝10sin＋7.
(4)P点第一次到达最高点时，d＝17，
代入(3)中的解析式得，17＝10sin＋7，
即sin＝1，
∴＝，解得t＝5.6.
即P点第一次到达最高点大约用5.6秒．
拓展要求
1．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值M
D．可以取得最小值－M
解析：(特殊化方法)由题意知，可令ω＝1，φ＝0，
区间[a，b]为，M＝1，则f(x)＝sinx，
x∈，g(x)＝cosx，x∈，
显然g(x)当x∈时可取得最大值1.
答案：C
2．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：作出函数y＝及y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，发现共有8个交点(xi，yi)(i＝1，2，…，8并令x1答案：D
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在上的面积为(n∈N＋)，则
(1)函数y＝sin3x在上的面积为__________；
(2)函数y＝sin(3x－π)＋1在的面积为__________．
解析：(1)依题意，有y＝sin3x在[0，]上的面积为，
又∵y＝sin3x在[，]上的面积与[0，]上的相等，
∴y＝sin3x在[0，]上的面积为×2＝.
(2)y＝－sin3x＋1，它与x＝，x＝及x轴围成的图形如图6.
图6
图中①、②、③面积相等，由(1)知①的面积为S1＝，③补上②可看作一矩形，面积为S2＝π，故y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积为S1＋S2＝π＋.
答案：(1) (2)π＋
