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导练02 平面向量§2 .2 平面向量的线性运算第二课时 向量数乘运算及其几何意义目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业19 （点击进入）word板块 课时作业19 向量数乘运算及其几何意义
基础要求
1．已知B是线段AC的中点，则下列各式正确的是( )
A.＝－ B.＝
C.＝ D.＝
解析：画图帮助判断．
答案：D
2．(2019年河南省八校高一联考)点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
解析：∵＝λ＋，∴－＝λ.
∴＝λ.
∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．
答案：B
3．若＝3e1，＝5e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：由已知有＝，
∴AB∥DC，且|AB|≠|DC|，又∵||＝||，
∴ABCD是等腰梯形，选C.
答案：C
4．(2019年山西省高三适应性考试)设A，B，C，D四点都在同一个平面上，且＋4＝5，则( )
A.＝4 B.＝5
C.＝4 D.＝5
解析：由＋4＝5得－＝4(－)，即＝4.故选A.
答案：A
5．(2018年高考·课标全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
图1
解析：解法1：如图1所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
解法2：＝－＝－
＝－×(＋)＝－，故选A.
答案：A
6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若－＝λ( ＋)，λ∈[0，＋∞)，则直线AP一定过△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
解析：如图2，取BC的中点D并连结AD，
图2
则＋＝，－＝，
∵－＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，
∴＝λ，即A、P、D三点共线，
又∵AD为BC边上的中线，
∴直线AP一定过△ABC的重心，故选A.
答案：A
7．(2019年浙江省杭州市西湖月考)如图3，e1 ，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为( )
图3
A．3e1－2e2 B．－3e1－3e2
C．3e1＋2e2 D．2e1＋3e2
解析：观察图4可知：a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，
c＝e1＋2e2，
图4
∴a＋b＋c＝(e1＋2e2)＋(e1－2e2)＋(e1＋2e2)
＝3e1＋2e2.故选C.
答案：C
8．(2019年山西省临汾市二模)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则＋2＋3＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，
所以＋2＋3
＝(＋)＋×2(＋)＋×3×(＋)
＝＋＋＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝，
故选D.
答案：D
9．如图5，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用a、b表示、.
图5
解：解法1：＝
＝a，＝＝b，
∴＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝a＋b.
解法2：设＝x，＝y，则＋＝，
即x＋y＝a；
－＝，即y－x＝b，∴x＝(a－b)，
y＝(a＋b)，即＝(a－b)，＝(a＋b)．
10．如图6，在△ABC中，＝a，＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量.
图6
解：解法1：∵＝a，＝b，
则＝＝b，
∴＝＋＝a＋b，
而＝，
∴＝a＋b.
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F，
∵△AEF∽△ABC，＝＝a，
＝＝b，＝＝b，
∴＝＋＝a＋b.
能力要求
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：如图7，由定比分点的向量式得：＝＝＋，＝＋，＝＋，以上三式相加得＋＋＝－，选A.
图7
答案：A
2．下列命题中：( )
①a∥b?存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa；
②e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e；
③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b；
④a与b共线，b与c共线；则a与c共线；
⑤若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.
其中正确命题的序号是
A．①⑤ B．②③④
C．②⑤ D．①④⑤
解析：若a＝b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，①错，排除A、D；若m＝0，则对任意向量a，b都有ma＝mb，③错，排除B，本题选C.
答案：C
3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由＋＋＝0知M为△ABC的重心，
∴＝2，以，为邻边作平行四边形ABEC，则D为AE的中点，
图8
＝3，又＋＝，
∴＋＝3.
答案：B
4．(2019年四川省德阳市期中)已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则( )
图9
A.＝－－
B.＝－
C.＝－
D.＝－－
解析：∵＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，
∴＝，＝，
∴＝＋＝＋，
∵＋＝，－＝，
∴＝(－)＋(＋)
＝－.
故选C.
答案：C
5．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a、b表示)
解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，
＝a＋b，所以＝(a＋b)－(a＋b)
＝－a＋b.
答案：－a＋b
6．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝_________；y＝________．
解析：本小题主要考查向量的基本运算以及平面向量基本定理．由＝2及＝可得＝，＝.所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－.
又因为＝x＋y，由平面向量基本定理可知
x＝，y＝－.
答案： －
拓展要求
1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：由△ABE∽△FDE，知＝＝，故＝，而＝＋＝a－b，得＝＝a－b，
又＝＋＝a＋b，
图10
所以＝＋＝a＋b，故选D.
答案：D
2．(2019年湖北省武汉期末)如图11，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：
图11
①＋2；
②＋；
③＋；
④＋＋.
其中终点落在阴影区域内的向量的序号有( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
解析：由题意作平面向量的线性运算如下，
又∵当x≥0，y≥0，x＋y＝1时，
若＝x＋y，
图12
则点C在线段AB上；
∴＋2的向量的终点在阴影内；
∵＋
＝＋－；
∴＋的向量的终点不在阴影内；
∵＋＝＋＋；
∴＋的向量的终点在阴影内；
∵＋＋＝－，
∴＋＋的向量的终点不在阴影内；
故选B.
答案：B
